Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Cahier de texte
Semaine 16 (du 27 au 31 janvier)
Lundi 27 janvier : cours (2h45’)
Suite du chapitre 6 ≪Syst`emes lin´eaires≫
• Un syst`eme lin´eaire homog`ene `apinconnues (p∈N∗) poss`ede toujours une solution : (0, . . . ,0)∈Kp.
• D´efinition du syst`eme lin´eaire homog`ene associ´e `a un syst`eme lin´eaire.
• D´efinition d’une matrice de formatn×p((n, p)∈(N∗)2) `a coefficients dansK.
• D´efinitions de la matrice et de la matrice augment´ee associ´ees `a un syst`eme lin´eaire.
• D´efinition des op´erations ´el´ementaires sur les lignes d’un syst`eme lin´eaire (´echange de deux lignes, mul- tiplication d’une ligne par un scalaire non nul, ajout `a une ligne d’un multiple d’une autre ligne).
• D´efinition d’un syst`eme lin´eaire ´equivalent `a un autre (notation∼).
• La relation ∼ entre syst`emes lin´eaires de n ´equations `a p inconnues ((n, p) ∈ (N∗)2) est une relation d’´equivalence (i.e. est r´eflexive, sym´etrique et transitive).
• Deux syst`emes lin´eaires ´equivalents poss`edent le mˆeme ensemble solution.
Lundi 27 janvier : TD (1h15’)
Feuille de TD n˚11 ≪Calcul de primitives≫
• Correction de l’exercice 99.
• Correction de la question 12. et des questions 14.–20. de l’exercice 103.
Lundi 27 janvier : DS n˚4 (2h)
Th`emes
• Simplification de Arcsin(sin(x)) pour toutx∈[0,2π[.
• Etude des fonctions´ x7→Arctan(ex),x7→Arctan(sh(x)) et d’un lien entre icelles.
• Calculs de primitives.
Mardi 28 janvier : cours (2h)
D´ebut du chapitre 7 ≪Matrices≫
• Introduction . L’objet matrice.
. L’addition de deux matrices de mˆeme format.
. La multiplication d’une matrice par un scalaire.
. La multiplication de deux matrices (que l’on peut multiplier).
. Quelques≪bizarreries≫ du produit matriciel.
. Matrice 2×2 inversible et inverse d’une telle.
. Une application des matrices en dynamique des populations.
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Jeudi 30 janvier : cours (3h)
Suite du chapitre 6 ≪Syst`emes lin´eaires≫
• D´efinition des op´erations ´el´ementaires sur les lignes d’une matrice (´echange de deux lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire non nul, ajout `a une ligne d’un multiple d’une autre ligne).
• D´efinition d’une matrice (resp. matrice augment´ee) ´equivalente par lignes `a une autre (notation∼
L).
• La relation∼
L entre matrices (resp. matrices augment´ees) d’un format donn´e est une relation d’´equivalence (i.e. est r´eflexive, sym´etrique et transitive).
• Justification de la pr´esentation matricielle des r´esolutions de syst`emes lin´eaires (appliquer des op´erations
´el´ementaires sur les lignes d’un syst`eme lin´eaire≪revient au mˆeme≫ que d’effectuer ces mˆemes op´erations
´el´ementaires sur les lignes de la matrice augment´ee qui lui est associ´ee).
• D´efinition d’une matrice ´echelonn´ee par lignes.
• D´efinition d’un pivot d’une matrice ´echelonn´ee par lignes.
• D´efinition d’une matrice ´echelonn´ee par lignes r´eduite.
• Th´eor`eme de Gauß-Jordan : toute matrice est ´equivalente `a une unique matrice ´echelonn´ee par lignes r´eduite.
Devoirs
• Devoir libre n˚3 `a rendre pour le lundi 10 f´evrier.
Vendredi 31 janvier : conf´erence de Nalini Anantharaman ≪M´ecanique quantique ≫(2h)
Th`emes : ´evolution du mod`ele d’atome au cours du temps ; quantum ; ´emergence de la m´ecanique quantique ; introduction de la notion de matrice par Wigner pour d´efinir un observable ; principe d’incertitude d’Heisenberg ; cons´equences≪´etranges≫dudit principe ; interactions entre physique et math´ematiques.
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