Devoir surveill´ e n˚6

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1 − 2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Devoir surveill´ e n˚6

Dur´ee : 1 heure

L’usage de la calculatrice est interdit.

Le bar`eme prendra significativement en compte :

• la pr´esentation,

• la clart´e des explications,

• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,

• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.

Question de cours : Enoncer le th´´ eor`eme des accroissements finis.

Probl`eme :La calculatrice ´etant interdite, on rappelle que : 2< e < 3.

Soit f la fonction d´efinie par :

f: R\ {−2} →R; x7→ e^x 2 +x.

1. ´Etudier les limites ´eventuelles de f aux bornes de son ensemble de d´efinition.

2. Montrer que f est d´erivable sur R\ {−2}.

3. Calculer f⁰(x) pour tout x∈R\ {−2}.

4. ´Etudier les variations de f sur R\ {−2}.

5. Dresser le tableau de variations de f surR\ {−2}.

6. Montrer quef([0 ; 1])⊂ [0 ; 1], i.e. que :

∀x∈[0 ; 1] f(x)∈[0 ; 1].

7. (a) Montrer que f⁰ est d´erivable sur R\ {−2}.

(b) D´eterminer le sens de variation de f⁰ sur ]−2,+∞[.

(c) En d´eduire que :

∀x∈[0 ; 1] 0≤f⁰(x)≤ 2e 9 . 8. Montrer que :

∀x∈[0 ; 1] ∀y ∈[0 ; 1] |f(x)−f(y)| ≤ 2e

9 |x−y|.

9. Montrer qu’il existe un unique α appartenant `a [0 ; 1] tel que : e^α

2 +α =α.

10. Grˆace au r´esultat de la question 6, on peut d´efinir une suite (u_n)n∈N par u₀ ∈[0 ; 1] et la relation de r´ecurrence

u_n+1 = e^un 2 +u_n

valable pour toutn ∈N. On a alorsu_n ∈[0 ; 1] pour toutn ∈N. (a) Montrer que :

∀n ∈N |un+1−α| ≤ 2e

9 |un−α|

(b) En d´eduire, `a l’aide d’un raisonnement par r´ecurrence, que :

∀n ∈N |u_n−α| ≤

2e

9

n

|u₀−α|.

(c) En d´eduire que la suite (u_n)n∈N converge vers α.