D1952 UNE BELLE CONIQUE
Problème proposé par Dominique Roux
On donne trois points A', B', C' et un cercle de centre O
On construit les projections orthogonales A, B, C sur les côtés du triangle A'B'C', d'un point M qui parcourt le cercle.
Montrer que le centre de gravité du triangle ABC décrit une conique dont on précisera la nature et le centre.
On construit les projections orthogonales A, B, C sur trois droites DA , DB ,DC , d'un point M qui parcourt un cercle de centre O, de rayon R.
Chacune des droites est définie par un point et un vecteur unitaire :
DA (A'',u), DB (B'',v), DC (C'',w) avec A'' = projection orthogonale de O sur DA , B'' = projection orthogonale de O sur DB , C'' = projection orthogonale de O sur DC .
Soit g centre de gravité du triangle fixe A''B''C'', et G centre de gravité du triangle variable ABC.
Vecteur gG = 1/3.(Vecteur A''A +Vecteur B''B +Vecteur C''C ) Évaluons les composantes du vecteur A''A :
Partant de vecteur OM (Rcos t, R sin t) et vecteur u (cos a, sin a), on obtient :
vect A''A = R.cos(t-a).vect u composantes de vect A''A : [R.cos(t-a).cos a,R.cos(t-a).sin a]
Les composantes de vect gG sont : (R/3).[cos(t-a).cos a + cos(t-b).cos b + cos(t-c).cos c]
(R/3).[cos(t-a).sin a + cos(t-b).sin b + cos(t-c).sin c ] que des calculs trigonométriques transformeraient en : [ R1.cos(t – φ1), R2.cos(t – φ2) ] ,
R1et R2 étant des amplitudes, et φ1et φ2 étant des déphasages, il est clair que le centre de gravité G décrit une ellipse de centre g.
Sur cette figure, le vecteur gG est le 1/3 de la somme des vecteurs A''A, B''B, C''C.
On obtiendrait de même une ellipse (exceptionnellement raplatie en un segment ) si la projection était oblique au lieu d'être orthogonale.
On pourrait encore modifier l'énoncé en projetant M sur n droites et en cherchant le lieu du centre de gravité des n points projetés.
