D260 : Partie commune
Un cercle de diamètre 10 est inscrit dans un triangle et un carré. Démontrer que la surface de la partie commune à ces deux dernières figures est au moins égale à 87.
La partie commune est égale au carré, amputé de trois «coins», triangles rectangles dont l’hypoténuse est tangente au cercle. Si 2a est l’angle du point de contact, et en posant t=tana, l’aire d’un coin est :
A=r2(1-t)(1-tan(π/4-a))/2 , or tan(π/4-a)=(1-t)/(1+t), donc A/r2 =t(1-t)/(1+t) A est maximum pour a=π/8, t=tana=tan(π/4-a)=√2-1, avec A/r2=(√2-1)2 Ici r=5, et 3*25(√2-1)2=75(3-2√2)<13.
L’aire de la partie commune est donc supérieure à 100-13=87
Remarquons que les trois coins ne peuvent atteindre l’aire maximale (deux cotés seraient alors parallèles), donc l’aire de la partie commune est toujours strictement supérieure au minimum, 150√2-125.
