D260-Partie commune
Un cercle de diamètre 10 est inscrit dans un triangle et un carré. Démontrer que la surface de la partie commune à ces deux dernières figures est au moins égale à 87.
Solution proposée par Maurice Bauval
La figure est tracée par rapport à un repère orthonormé avec des axes parallèles aux côtés du carré et l’origine au centre du cercle ( cercle qui sera désigné par ). Désignons par D une tangente à en un point E du premier quadrant. D partage le plan en 2 demi-plans P et P’, P contenant le cercle , et P’ qui ne le contient pas.
L’intersection du carré et de P’ est un triangle rectangle MAN (éventuellement aplatit) de surface S.
Equation de D : x(1-t^2) + 2ty = 5(1+t^2) avec 0<t<1, t est la tangente de ½ angle (Ox,OE).
Coordonnées de M : x=5, y = 5/(2t)[1+t^2 – (1-t^2)] = 5t. MA=5(1-t) Coordonnées de N : y=5 x = 5(1-t)^2 / (1-t^2) = 5(1-t)/(1+t) NA =5*2t/(1+t).
S = 25t(1-t)/(1+t) , dS/dt = (1 - 2t - t^2) / (1+t)^2 .
On vérifie que dS/dt s’annule et change de signe quand 2t/(1-t^2) =1, c’est-à-dire t = tangente(/8) = 2 - 1, ou (Ox, OE) = /4.
Comme on le pressentait, S est maximum quand AMN est rectangle isocèle.
Ce maximum est 25(2 – 1)(2 - 2)/2 = 25(3 - 22). Smax = 25(3 - 22).
Si les points de contact des 3 côtés du triangle avec le cercle sont situés dans 3 quadrants différents, la surface de la partie commune au triangle et au carré est supérieure ou égale à 100 - 3 Smax = 100 - 75(3 - 22) environ 87,13.
Si 2 des points de contact sont dans le même quadrant, il faut que le 3ème point de contact soit dans le quadrant opposé, ( s’il est dans l’un des 2 quadrants voisins, n’est pas inscrit mais exinscrit au triangle ) alors la surface de la partie commune est strictement supérieure à 100 - 75(3 - 22).
Si l’un des côtés du triangle et l’un des côtés du carré ont même support, la surface de la partie commune est supérieure ou égale à 100 – 2 Smax = 100 – 50(3 - 22) soit environ 91,42
La surface demandée est dans tous les cas strictement supérieure à 87.
