A20062. Horloge ambigu¨ e
Tromp´es par le “design” trop moderne de cette horloge, les gens prennent l’une pour l’autre l’aiguille des heures et l’aiguille des minutes, et croient l’horloge arrˆet´ee car indiquant une mauvaise heure. Une fa¸con de se d´etrom- per est d’observer quelque temps le mouvement relatif des aiguilles. Le plus souvent, on pourrait aussi rectifier son erreur sans prendre ce temps, mais
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a condition d’observer assez attentivement la position des deux aiguilles.
Cependant, `a certains instants, cette observation de la position instantan´ee des aiguilles ne permet pas de savoir l’heure. Quels sont ces instants ? Solution
Comptons en fractions de tour (de 0 `a 1) les anglesh etmque l’aiguille des heures et l’aiguille des minutes font, au moment de l’observation, `a partir de leur position `a midi. Comme l’aiguille des minutes fait 12 tours quand l’aiguille des heures en fait un, le nombre 12h−m est entier, c’est le nombre de fois o`u l’aiguille des minutes a repass´e par sa position `a midi.
Ayant deux nombresxetyentre 0 et 1, ils d´esignent la position des aiguilles s’ils satisfont 12y−x ou 12x−y entier, et celle de ces conditions qui est satisfaite permet de savoir quelle est l’aiguille des heures, et donc de savoir l’heure, qui est 12h (exprim´ee en heures et fractions d’heure `a partir de midi).
Il y a ambigu¨ıt´e si `a la fois 12y−x et 12x−y sont entiers, c’est alors le cas de 143x et 143y. Les instants correspondants sont ceux o`u 143h est entier avec m6=h.
Aux instants o`uh=n/143 (n= 1 `a 142),mest ´egal `a la partie fractionnaire de 12n/143, mais si 11h(=n/13) est entier,m=het il n’y a pas confusion.
Donc les instants d’ambigu¨ıt´e sont obtenus pour n= 1 `a 142 non multiple de 13, ce qui fait 132 instants en un tour de 12 heures.
A un entierncorrespond l’instant d’observation 12n/143 (exprim´e en heures et fractions d’heure). L’instant avec lequel on peut le confondre correspond `a h0 = partie fractionnaire de 12n/143, d’o`u l’heure (erron´ee) 12h0 =nheures (`a un multiple de 12 pr`es) et la fraction d’heuren/143.
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