Un entier n est par convention appelé "fort" si son nombre de diviseurs (y compris 1 et lui-même) est strictement supérieur aux nombres de diviseurs de tous les entiers qui lui sont inférieurs. Si ce n'est pas le cas, cet entier est dit "faible".
Par exemple, 4 est fort car il a trois diviseurs (1,2,4) et chacun des entiers 1,2,3 a au plus deux diviseurs.
15 est faible car il a 4 diviseurs (1,3,5,15) alors que 12 qui lui est inférieur en a 6 (1,2,3,4,6,12).
Q₁ Le plus petit entier qui a exactement 28 diviseurs est-il fort ou faible?
Q₂ Trouver le plus petit entier fort qui a au moins 112 diviseurs.
Q₃ Déterminer le nombre d'entiers faibles strictement positifs ≤ 2019.
Q₄ Déterminer l'entier fort n < 100 000 qui a le plus grand nombre possible de diviseurs.
Q₅ Pour quelles valeurs de n, l'entier n! (factorielle de n) est-il fort?
Les suites A002182 et A002183 de l’OEIS donnent la liste des nombres forts et du nombre de diviseurs correspondants.
Q1 : Le plus petit nombre ayant 28 (=22*7) diviseurs est 26*3*5=3840, qui plus grand que le plus petit ayant 30 (2*3*5) diviseurs, qui est 24*32*5=720 : il est donc faible.
Q2 : La valeur immédiatement supérieure à 112 dans la suite des nombres de diviseurs est 120=23*3*5, le nombre fort correspondant étant 24*32*5*7*11=55440.
Q3 : Il y a 17 entiers forts inférieurs à 2019 (1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 1260 et 1680) donc 2002 entiers faibles.
Q4 : Le plus grand entier fort inférieur à 100000 est 83160=23*33*5*7*11 qui a donc 128 diviseurs.
Q5 : Pour n≤7, l’entier n! est fort (1, 2, 6, 24, 120, 720 et 5040 pour 1, 2, 4, 8, 16, 30 et 60 diviseurs) : au delà, dès 8!=40320=27*32*5*7 qui a 96 diviseurs, le nombre de facteurs 2 est trop important (par exemple 27720=23*32*5*7*11 a aussi 96 diviseurs et 11<24)
