A376**** - Les forts et les faibles
Un entier n est par convention appelé "fort" si son nombre de diviseurs (y compris 1 et lui-même) est strictement supérieur aux nombres de diviseurs de tous les entiers qui lui sont inférieurs.
Si ce n'est pas le cas, cet entier est dit "faible".
Par exemple, 4 est fort car il a 3 diviseurs (1, 2, 4) et chacun des entiers 1, 2, 3 a au plus 2 diviseurs.
15 est faible car il a 4 diviseurs (1, 3, 5, 15) alors que 12 qui lui est inférieur en a 6 (1, 2, 3, 4, 6, 12).
Q1 - Le plus petit entier qui a exactement 28 diviseurs est-il fort ou faible ? Q2 - Trouver le plus petit entier fort qui a au moins 112 diviseurs.
Q3 - Déterminer le nombre d'entiers faibles strictement positifs ≤ 2019.
Q4 - Déterminer l'entier fort n < 100 000 qui a le plus grand nombre possible de diviseurs.
Q5 - Pour quelles valeurs de n, l'entier n! (factorielle de n) est-il fort ?
Proposition de Marc Humery
Préambule
Le « Tableau des nombres hautement composés dits forts » compris entre 2 et 6 746 328 388 800, est issu de :
« Highly composite numbers » by Srinivasa Ramanujan, Proceedings of the London Mathematical Society, 2, XIV, 1915
Manuscrit transcrit dans « The Ramanujan Journal », Volume 1, Issue 2, 1997 Par Jean-Louis Nicolas et Guy Robin
Q1 - Le plus petit entier qui a exactement 28 diviseurs est-il fort ou faible ? 1/ Établissement du plus petit entier Nmini ayant 28 diviseurs
N = Aa x Bb x Cc x … = décomposition en produit de facteurs premiers A, B, C, … 𝜏(N) = (a+1)(b+1)(c+1)… = nombre de diviseurs de N (1 et N inclus)
Supposons pour simplifier : 𝜏(N) = Uu x Vv (décomposition en produit de facteurs premiers)
On combine U et V afin d’exprimer 𝜏(N) sous forme de différents produits de k facteurs (k = 1 à u+v) 𝜏(N) = (U) x (Uu-1xVv) = (UxV) x (Uu-1xVv-1) = (U²) x (V) x (Uu-2xVv-1) = etc …
Soient Fk(U,V) les configurations égales au produit de k facteurs => 𝜏(N) = Fk(U,V) = ∏(ak+1)
En augmentant k, nombre de facteurs dans la décomposition de 𝜏(N), on réduit la valeur de ak donc des exposants des puissances des facteurs premiers présents dans N.
Voulant déterminer les plus petits N possibles, on prescrit dans la décomposition de N en facteurs premiers : + les plus petits nombres premiers possibles => A = 2 ; B = 3 ; C = 5 ; …
+ les plus grands exposants ak affectés aux plus petits nombres premiers
Hypothèse à forte probabilité : (pas toujours vraie dans certains cas)
Le plus souvent, N est minimum si la décomposition en facteurs premiers de 𝜏(N) est formulée sous la forme d’un produit éclaté de tous les facteurs premiers en écrivant toute puissance pr = p x p x … x p.
Application : 𝜏(N) = 28 = 2² x 7 ; kmax = 3 => 28 = 7 x 2 x 2 => N = 2a1x 3a2 x 5a3
F3(28) = 7 x 2 x 2 = (a1+1)(a2+1)(a3+1) => a1 = 6 ; a2 = 1 ; a3 = 1 => Nmini = (26 x 3 x 5) = 960 (vérifié)
2/ Nmini = 960 ayant 28 diviseurs est-il fort ou faible ?
Dans une table usuelle listant les diviseurs des nombres naturels, on trouve 2 nombres inférieurs à 960 ayant plus de 28 diviseurs :
N1 = 840 = (23 x 3 x 5 x 7) a 32 diviseurs N2 = 720 = (24 x 3² x 5) a 30 diviseurs
Conclusion : Le plus petit entier 960 ayant exactement 28 diviseurs est faible
Q2 - Trouver le plus petit entier fort qui a au moins 112 diviseurs.
1/ Détermination du plus petit entier qui a 112 diviseurs
𝜏(N) = 112 = 24 x 7 ; kMax = 5 => 112 = 7 x 2 x 2 x 2 x 2 => N= 2a1x 3a2 x 5a3 x7a4 x 11a5
F5(112) = 7 x 2 x 2 x 2 x 2 = (a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1)(a5+1) => a1 = 6 ; a2 = 1 ; a3 = 1 ; a4 = 1 ; a5 = 1
=> N1 = (26x 3 x 5 x7 x 11) = 73 920
Cependant avec la décomposition F4(112) à 4 facteurs de 𝜏(N), on obtient : F4(112) = 7 x 4 x 2 x 2 = (a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1) => a1 = 6 ; a2 = 3 ; a3 = 1 ; a4 = 1
=> N2 = (26 x 33 x 5 x 7) = 60 480 < N1 => Nmini = N2 = 60 480 = (26 x 33 x 5 x 7)
2/ Recherche du plus petit entier fort qui a au moins 112 diviseurs.
On cherche un nombre N’ < 60 480 tel que 𝜏(N’) ≥ 112
Dans le tableau cité en préambule, on trouve le plus petit nombre N’ ayant exactement 120 diviseurs : N’ = 55 440 = (24 x 3² x 5 x 7 x 11) => N’ est fort
Conclusion : 55 440 est le plus petit entier fort ayant au moins 112 diviseurs
Q3 - Déterminer le nombre d'entiers faibles strictement positifs ≤ 2019.
1/ Extrait du Tableau listant tous les nombres hautement composés (forts) inférieurs à 2019
2 = 2 4 = 2² 6 = 2 x 3 12 = 2² x 3
24 = 23 x 3 36 = 2² x 3² 48 = 24 x 3 60 = 2² x 3 x 5
120 = 23 x 3 x 5 180 = 2² x 3² x 5 240 = 24 x 3 x 5 360 = 23 x 3² x 5 720 = 24 x 3² x 5 840 = 23 x 3 x 5 x 7 1 260 = 2² x 3² x 5 x 7 1 680 = 24 x 3 x 5 x 7 N = 1 est un entier particulier fort.
2/ nombre d'entiers faibles strictement positifs ≤ 2019
Si on retire les 17 nombres forts des 2019 nombres entiers naturels, il reste 2002 entiers faibles Conclusion : le nombre d'entiers faibles strictement positifs ≤ 2019 est égal à 2002
Q4 - Déterminer l'entier fort n < 100 000 qui a le plus grand nombre possible de diviseurs.
Dans le Tableau cité en préambule, on trouve le nombre :
N = 83 160 = 23 x 33 x 5 x 7 x 11 < 100 000 ; N = 83 160 avec 128 = 27 diviseurs
Conclusion : 83 160 est l'entier fort n < 100 000 qui a le plus grand nombre possible de diviseurs
Q5 - Pour quelles valeurs de n, l'entier n! (factorielle de n) est-il fort ?
En comparant les factorielles successives avec les nombres hautement composés du tableau cité en préambule, on obtient les factorielles égales aux nombres forts suivants :
2! = 2
3! = 6 = 2 x 3 4! = 24 = 23 x 3 5! = 120 = 23 x 3 x 5 6! = 720 = 24 x 3² x 5 7! = 5 040 = 24 x 3² x 5 x 7
Conclusion : l'entier n! est fort pour n = 2 à 7
NB :
8! = 40 320 => 27 720 < 8! < 45 360 9! = 362 880 => 332 640 < 9! < 498 960
10! = 3 628 800 => 3 603 600 < 10! < 4 324 320
![n la donnée à lire //et i un indice pour parcourir l’intervalle [1..n] à la recherche des diviseurs de n Début //lecture des données Ecrire("Entrer un entier positif="](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)