Chapitre 1
Fonction exponentielle
1.1 Équation différentielle
a. Méthode d’Euler, construction du graphe d’une solution approchée
Dans de nombreux problèmes, on est amené à déterminer une fonction proportionnelle à sa dérivée : désintégration des noyaux des atomes d’un corps radioactif, datation au carbone 14, évolution d’une population où la croissance est proportionnelle au nombre d’habitants, etc.
On s’intéresse donc àl’équation différentielle f′=k f, aveckun réel non-nul. Le problème est de trouver une fonction la satisfaisant.
Avec k= 1, on recherche une fonctionf dérivable surRvérifiant pour toutx,f′(x) =f(x) etf(0) = 1 .
En prenant un pas suffisamment petit, la méthode d’Euler permet d’obtenir la courbe d’une fonction affine par morceaux proche de celle d’une solution.
b. Fonction exponentielle
Propriété 1 (Résultat préliminaire.)
Si, pour tout réelx,f′(x) =f(x)etf(0) = 1, alorsf ne s’annule pas surR.
■ Démonstration :
Soit φ la fonction définie sur R par φ(x) = f(x)×f(−x). La fonction φ est dérivable et on a pour tout x ∈ R φ(x) =f(x)×f(−x)
φ′(x) =f′(x)×f(−x) +f(x)×[−f′(−x)]
φ′(x) =f′(x)×f(−x)−f(x)×f′(−x) φ′(x) = 0.
La fonctionφest constante surR, orφ(0) =f(0)×f(0) = 1, donc pour tout réel x, φ(x) = 1.
D’où f(x)×f(−x) = 1, et finalement pour tout réelx,f(x)6= 0.
Remarque : on en déduit aussi que pour tout réelx,f(−x) = 1 f(x).
Théorème 1
Il existe une unique fonctionf, dérivable surR, telle que f′ =f et f(0) = 1.
Cette fonction est appeléefonction exponentielleet est notéeexp.
■ Démonstration :
• Existence
L’existence de la fonction exponentielle est pour l’instant admise. La méthode d’Euler permet d’obtenir la courbe d’une fonction affine par morceaux proche de celle de l’exponentielle.
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CHAPITRE 1. FONCTION EXPONENTIELLE
• Unicité
Si g est une fonction telle queg′=g etg(0) = 1, la fonctionh= g
f est définie (carf ne s’annule pas sur R, cf. prop.1) et est dérivable sur R. On ah′= g′f −gf′
f2 or f′ =f et g′=g, d’où h′ = 0 et donchest constante surR. Pour tout réelx,h(x) =h(0) = 1 c’est-à-direg(x) =f(x) et doncf =g.
Théorème 2 Soitkun réel donné.
Il existe une unique fonctionf, dérivable surR, telle que f′ =kf etf(0) = 1.
Cette fonctionf est définie surRparf(x) = exp(kx).
■ Démonstration :
Soit la fonctionf définie sur Rparf(x) = exp(kx) aveckréel donné.
On af(0) = exp(0) = 1 de plus pour tout réelxon af′(x) =kexp(kx) =kf(x). La fonctionf est bien une solution de l’équation différentiellef′ =kf avecf(0) = 1.
• Unicité
Sigest une fonction telle queg′=kgetg(0) = 1, comme la fonction exponentielle ne s’annule pas, on peut définir pour tout réelx, la fonctionφ(x) = g(x)
exp(kx). La fonctionφest dérivable surRet on a
φ′(x) = g′(x) exp(kx)−kg(x) exp(kx) exp(kx)2
φ′(x) = kg(x)−kg(x) exp(kx) φ′(x) = 0.
La fonctionφest constante surR, orφ(0) = g(0) exp(0) = 1.
On en déduit que pour tout réel x, φ(x) = 1 soit g(x)
exp(kx) = 1 et doncg(x) = exp(kx) Théorème 3
Soitf une fonction non-nulle et dérivable sur R. Les propositions suivantes sont équivalentes : (1) Pour tous réelsxety,f(x+y) =f(x)×f(y).
(2) Il existe un réelktel que pour tout réelx,f(x) =exp(kx).
■ Démonstration : Prop. (1)⇒Prop. (2)
Soitf une fonction non-nulle dérivable surRtelle que pour tous réels xet y, f(x+y) =f(x)×f(y) 1. Montrer quef(0) = 1
2. Soity un réel fixé etφla fonction définie surRparφ(x) =f(x+y) =f(x)f(y).
Montrer queφest dérivable surRet calculerφ′(x).
3. Calculerφ′(0) et déduire que pour tout réels y, f′(y) =kf(y) aveckun réel à déterminer.
4. Conclure que pour tous réelsxety,f(x) = exp(kx)×f(y) (2) Prop. (2)⇒Prop.(1)
Soitf une fonction non-nulle et dérivable surRtelle qu’il existe un réelktel que pour tout réelx,f(x) =exp(kx).
1. Montrer que pour tout réelx,f′(x) =kf(x).
2. Soity un réel fixé etg la fonction définie surRparg(x) =f(x+y)f(−x) Montrer queg est dérivable surRet calculerg′(x).
3. Calculerg(0) et déduire que pour tousxety réels,f(x+y)f(−x) =f(y).
4. Conclure que pour tous réelsxety,f(x+y) =f(x)×f(y) (1) 2
CHAPITRE 1. FONCTION EXPONENTIELLE
1.2 Propriétés
Les théorèmes précedents ont pour conséquences :
Propriété 2 1. exp(0) = 1
2. La fonctionexpest dérivable pour tout réelx, exp′(x) = exp(x)
3. Pour tout réelx,exp(x)>0
4. La fonction exp est strictement croissante surR 5. Pour tous réelsaetbexp(a+b) = exp(a)×exp(b)
6. Pour tous réelsaetbexp(a−b) =exp(a) exp(b) 7. exp(−b) = 1
exp(b)
8. exp(ka) = [exp(a)]k, aveck∈Z 9. expa
n
= [exp(a)]n1 = pn
exp(a), avecn∈N∗
1.3 Le nombre e et la notation e
xOn pose e = exp(1) on a obtenu grâce à la méthode d’Euler une approximation de e, care= lim
n→+∞
1 + 1
n n
e≈2,71828182845904523536 et que pour tout entierk,
exp(k) = exp(k×1) = (exp(1))k=ek on note alors,par convention, que
exp(x) =ex
Il a reste à vérifier que les propriétés vues précédemment sont conformes à l’usage de la notation puissance.
Propriété 3
Pour tous réelsx,y et entier relatifn:
• e0= 1
• e−x= 1 ex
• ex+y= ex×ey
• ex−y= ex ey
• (ex)n= enx
1.4 Étude de la fonction exponentielle
a. Limites en −∞ et + ∞
Propriété 4
x→−∞lim ex= 0 lim
x→+∞ex= +∞
■ Démonstration :
1. Étudier la fonctionf : x7→ex−xet en déduire que lim
x→+∞ex= +∞.
2. Utiliser lim
x→+∞ex= +∞pour en déduire que lim
x→−∞ex= 0
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CHAPITRE 1. FONCTION EXPONENTIELLE
b. Sens de variation et représentation graphique
La fonction exponentielle est strictement croissante surRet sa courbe representativeC dans un repère orthogonal admet l’axe des abscisses comme asymptote horizontale.
x −∞ +∞
exp
0
+∞
O ~ı
~
C
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