Exercice 1 Un peu d’ordre

b 2 13 Devoirsurveillédemathématiquesn°1:CORRIGÉ

Jeudi5otobre2006 - Durée:2heures

L

Exercice 1 Un peu d’ordre

Nousonsidèreronsonnuslesrésultatssuivants:

Dénition Soientaetbdeuxnombresréelsquelonques.

Nousdironsqueaestsupérieuràblorsqueladifférenea¡bestpositive.Onnoteraalors

a>^b

Théorème1 Soitaetbdeuxréelsvérianta>b.Soitunréelquelonque.Alorsonatoujours aÅ>bÅ

Théorème2 Onpeutmultiplierparunmêmenombreréel......lesdeuxmembresd'uneinégalitésansenhangerlesens.

Théorème3 Sionmultiplielesdeuxmembresd'uneinégalitéparunmêmenombre......,alorsl'inégalitéhangedesens.

a. Complétezles......desthéorèmes2et3pourqu'ilssoientorrets.

Théorème2 OnpeutmultiplierparunmêmenombreréelPOSITIFlesdeuxmembresd'uneinégalitésansenhan-

gerlesens.

Théorème3 Sion multiplie les deuxmembresd'uneinégalité parunmême nombre NÉGATIF,alorsl'inégalité

hangedesens.

b. Refor mulezlethéorème1sousfor med'unephraseenlangageourant,surlemodèledesénonésdesthéorèmes2

et3.

Onpeutadditionnerunmêmenombreauxdeuxmembresd'uneinégalitésansenhangerlesens.

. Résolvezlesinéquationssuivantes.Vousjustierezhaquealulenitantladénitionoulethéorèmequevous

utilisez.

i) ¡3xÅ5>^¡37

¡3xÅ5¡5>^{¡37¡5 d0aprèsleth.1}

¡3x >^¡42

¡3x

¡3

6

¡42

¡3 d

0

aprèsleth3

x 6¹⁴

SÆ℄¡1;14℄

ii) 1

2

x¡36^5x

1

2

x¡3Å36^{5xÅ3 d0aprèsleth.1}

1

2

x 6^5xÅ3

1

2

x¡5x 6^{5xÅ3¡5x d0aprèsleth.1}

¡ 9

2 x 6³

¡ 9

2 x£

¡2

9

>^3£

¡2

9 d

0

aprèsleth3

x>^¡2

3

SÆ[¡

2

;Å1[

donnerdesexemplesquiillustrentetteproposition.

26³

¡36⁵

¡1Æ2¡36^3¡5Æ¡2

Voustenterezensuitedeladémontrerdansleasgénéral.

Supposonsquea>^bet>^{d.Celasigniequea¡bet¡dsontpositifsd'aprèsladénition.Orsionadditionne}

deuxnombrespositifs,lerésultatestpositif.Ainsi,onobtientsuessivement

(a¡b)Å(¡d)>⁰

a¡bÅ¡d >⁰

(aÅ)¡(bÅd)>⁰

aÅ>^{bÅd d'aprèsladénition}

L

Exercice 2

Ondonne:tÆ( p

2¡ p

7)(

p

2Å p

7) uÆ 1

2 Å

7

5

£ 3

4 vÆ

2

3 Å1

2¡ 1

6

a. Calulert,uetvetdonnerlesrésultatssouslafor melaplussimplepossible.

tÆ( p

2¡ p

7)(

p

2Å p

7)Æ

¡p

2

¢

2

¡

¡p

7

¢

2

Æ2¡7Æ¡5

uÆ 1

2 Å

7

5

£ 3

4 Æ

1

2 Å

7£3

5£4 Æ

1

2 Å

21

20 Æ

10

20 Å

21

20 Æ

31

20

vÆ 2

3 Å1

2¡ 1

6 Æ

2

3 Å

3

3 12

6

¡ 1

6 Æ

5

3

11

6 Æ

5

3

£ 6

11 Æ

5£6

3£11 Æ

10

11

b. Compléterletableaui-dessousàl'aidedessymboles2(appar tient)etÝ(n'appar tientpas):

Ensembles

N Z D Q R

t

62 2 2 2 2

u

62 62 2 2 2

v

62 62 62 2 2

L

Exercice 3

a. Lenombre1,555est-ilunnombrerationnel?Justier.

Oui!1,555Æ 1555

1000 Æ

1555

10 3

b. Existe-t-ildesnombresdéimauxquinesoientpasrationnels?Justier.

Non!d2D()dÆ a

10 p

avea2Zetp2N,dond s'ér itommelequotientdedeuxentiers:'esttoujoursun

rationnel.

. Existe-t-ildesnombresrationnelsquinesoientpasdéimaux?Justier.

Oui!1/

3

2Qmais1/

3

Æ0,33,donn'estpasundéimal.

L

Exercice 4

a. Ér iresouslafor med'unproduitdepuissanesdenombrespremiers:

xÆ5 2

£5 9

£10

¡2

Æ5 2Å9

£(5£2)

¡2

Æ5 11

£5

¡2

£2

¡2

Æ5 9

£2

¡2

yÆ (¡1)

3

£2 3

£(3£2 3

) 2

(3 3

3

£(2 3£(¡2)

Æ

¡2 3

£3 2

£2 3£2

3 3£3

£2

¡6 Æ

¡2 3

£3 2

£2 6

3 9

£2

¡6 Æ¡2

3Å6¡(¡6)

£3 2¡9

Æ¡2 15

£3

¡7

b. Ér iresouslafor mea bÅ,avea,b ,desentiersetbétantlepluspetitpossible:

MÆ p

288¡ p

162Æ p

3£3£2£2£2£2£2¡ p

3£3£3£3£2Æ p

3 2

£4 2

£2¡ p

9 2

£2Æ p

3 2

£ p

4 2

£ p

2¡ p

9 2

£ p

2

Æ3£4£ p

2¡9 p

2Æ(12¡9) p

2Æ3 p

2

PÆ(3 p

5¡2) 2

Æ

¡

3 p

5

¢

2

¡2£3 p

5£2Å2 2

Æ9£5¡12 p

5Å4Æ45¡12 p

5Å4Æ¡12 p

5Å49

L

Exercice 5

Complétezavel'undessymbolessuivants:Ç,È,Æ.(Auunejustiationn'estdemandée)

15

11 Ç

19

11

¡5

24 È

¡7

24

15

11 È

15

13

¡15

21 Æ

¡3£5

3£7 Æ

¡25

35 Æ

¡5£5

5£7 Æ

5

7

¼

3

È1È0,99

3

p

10¡1 Æ

3

¡p

10Å1

¢

¡p

10¡1

¢

¡p

10Å1

¢ Æ

3

¡p

10Å1

¢

³

p

10 2

¡1 2

´

Æ 3

¡p

10Å1

¢

(10¡1) Æ

3

¡p

10Å1

¢

9 Æ

p

10Å1

3

L

Exercice 6

Quelaluleffetue-t-onsiontapesurlaalulatr ie:

C(5+4)m3M5+6

Donnezlerésultat.

p

5Å4£ 3

5 Å6Æ

p

9£ 3

5

Å6Æ3£ 3

5 Å6Æ

9

5 Å

30

5 Æ

39

5

L

Exercice 7

a. Ondonnelesinter vallesIÆ℄¡3;3℄etJÆ℄¡1;1℄

i) Compléterave2ouÝ: ¡¼'¡3,162I

p

2¡1'0,42J

ii) Dessinerenver tl'inter valleIetenrougel'inter valleJsurladroitegraduée:

−1

−2

−3

−4

−5

−6 1 2 3 4 5 6

0 IÆ℄¡3;3 ℄ JÆ℄¡1;1 ℄

iii) Déter minerI\JetI[JI\JÆ℄¡3;1℄I[JÆ℄¡1;3℄

b. Ondonnelesinter vallesIÆ℄¡1;4[etJÆ[¡3;Å1[

i) Dessinerenver tl'inter valleIetenrougel'inter valleJsurladroitegraduée:

−1

−2

−3

−4

−5

−6 1 2 3 4 5 6

0

JÆ[ ¡3;Å1[

IÆ℄¡1;4 [

ii) Déter minerI\JetI[JI\JÆII[JÆJ

QUESTIONBONUS(FACULT ATIVE)

Dequellefrationirrédutible0,123123est-illedéveloppementdéimal?Expliquezvotreméthode.

PosonsxÆ0,123123.Alors100xÆ123,123123et100x¡xÆ99xÆ123,d'oùxÆ 123