∫ ∫ , puis . En déduire le calcul des deux intégrales : 2. , puis 1. Démontrer que, pour tout nombre réel x : Centres étrangers – Série ES – Juin 1999 - Exercice

PanaMaths

Mai 2006

Centres étrangers – Série ES – Juin 1999 - Exercice 1. Démontrer que, pour tout nombre réel x :

2

1 1

x x

x

x x

e e e

e = − e

+ + , puis

1 1

x x

x

x x

e e e

e = − e

+ +

2. En déduire le calcul des deux intégrales :

ln2 2 0

I 1

x x

e dx

= ∫ + e ^{, puis}

0

J 1

x x

e dx

= ∫ + e ^.

PanaMaths

Mai 2006

Analyse

Du calcul intégral (donc du calcul de primitives) et des exponentielles … voici les principaux ingrédients de cet exercice.

Résolution

Æ Question 1.

Pour tout x réel, on a :

( )

2

2

1

1 1 1

1 1 1

x x

x x

x

x x x

x x x x

x

x x x

x x

x

e e

e e

e e e e

e e e e

e

e e e

e e

e

− = + −

+ + +

+ × −

= +

+ −

= +

= +

On a bien :

Pour tout x réel, = −

+ +

2

1 1

x x

x

x x

e e

e e e .

De façon analogue, on a, pour tout x réel :

( )

2 2 2

2

2 2 2

2 3 2

3

1

1 1 1

1 1 1

x x

x x

x

x x x

x x x x

x

x x x

x x

x

e e

e e

e e e e

e e e e

e

e e e

e e

e

− = + −

+ + +

+ × −

= +

+ −

= +

= +

On a bien :

Pour tout x réel, = −

+ +

3 2

2

1 1

x x

x

x x

e e

e e e .

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Mai 2006

A partir du premier résultat obtenu à la question 1, on a :

ln 2 2 ln 2

0 0

ln 2 ln 2

0 0

1 1

1

x x

x

x x

x x

x

e e

dx e dx

e e

e dx e dx

e

⎛ ⎞

= ⎜ − ⎟

+ ⎝ + ⎠

= −

+

∫ ∫

∫ ∫

1

x x

e

+e est de la forme

( ) ( )

' u x

u x avec ^{u x}

( )

( )

On en déduit :

( )

( ) ( )

( ) ( )

ln 2 ln 2

0 0

ln 2 0

1 ln 1

ln 1 ln 1

ln 1 2 ln 1 1 ln 3 ln 2

ln3 2

x

x x

e dx e

e

e e

⎡ ⎤

=⎣ + ⎦ +

= + − +

= + − +

= −

=

∫

D’où :

ln 2 2 ln 2 ln 2

0 0 0

ln 2 0

ln 2 0

1 1

ln3 2 ln3

2 2 1 ln3

2 1 ln3

2

x x

x

x x

x

e e

dx e dx dx

e e

e

e e

= −

+ +

=⎡ ⎤⎣ ⎦ −

= − −

= − −

= −

∫ ∫ ∫

Finalement :

= − 3 I 1 ln

2

PanaMaths

Mai 2006

ln 2 3 ln 2 2

2

0 0

ln 2 ln 2 2

2

0 0

ln 2 2 0

1 1

1 I

x x

x

x x

x x

x

x

e e

dx e dx

e e

e dx e dx

e e dx

⎛ ⎞

= ⎜ − ⎟

+ ⎝ + ⎠

= −

+

= −

∫ ∫

∫ ∫

∫

Or :

ln 2 ln 2

2 2 2ln 2 2 0 ln 4

0 0

1 1 1 1 1 1 1 3

1 4

2 2 2 2 2 2 2 2

x x

e dx=⎡⎢⎣ e ⎤⎥⎦ = e − e ^× = e − × = × − =

∫

D’où :

ln 2 3 ln 2

2

0 0

1 I

3 3

2 1 ln2

1 3

2 ln2

x

x x

e dx e dx

e = −

+

⎛ ⎞

= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

= +

∫ ∫

Finalement :

= +1 3

I ln

2 2