SYSTEMES D’EQUATIONS
CORRIGE - Lycée Notre Dame de La Merci – Montpellier
EXERCICE 4.1
Etudier le nombre de solutions puis résoudre ce système : 2 4 2
3 11
x y
x y
Les coefficients de ce système donnent :
2 4 2 3 1
4 6 4 101 3
ce système possède un unique couple solution.
NB : On aurait également pu utiliser des vecteurs directeurs de ces deux droites,
1 4u 2
et
23
u 1
:
4 1 2 3 4 6 10 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires et les droites ne sont pas parallèles.
11 3
211 3
2 4 2 20
2 4 2 22 6 4 2 10 20
3 11 11 3 11 3 10
11 3 2 5 y
y y
x y y y y y
x y x x y x y
x
Vérification :
2x4y 2 5 4 2 10 8 2 3 5 3 2 5 6 11 x y Le couple 5; 2 est solution de ce système.
EXERCICE 4.2
Etudier le nombre de solutions puis résoudre ce système :
3 2 74 5 7
x y
x y
Les coefficients de ce système donnent :
3 2 3 5
2 4 10 8 24 5
ce système possède un unique couple solution.
NB : On aurait également pu utiliser des vecteurs directeurs de ces deux droites,
1 2u 3
et
25
u 4
:
2 4 3 5 8 157
donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires, les droites ne sont pas parallèles
3 2 7
3 2 7 8 28
on ajoute les deux lignes
8
4 12
12 12
3 1 15 28 21
4 5 7 2 15 21
x y
x y x y
x y x y
x y x y
3 2 7 2 7 9
3 2 7 3 2 7
12 8 12 15 7 7 7
1
7
7 1
x y
x y x y
x y x y y y
9 3 3
1 x y
Vérification : 3 3 2 1 9 2 7
4 3 5 1 12 5 7
Le couple 3; 1 est solution de ce système.
SYSTEMES D’EQUATIONS
EXERCICE 4.3
Etudier le nombre de solutions puis résoudre ce système :
5 2 11 10 4 9x y
x y
Les coefficients de ce système donnent :
5 2 5 4
2 10
20 20 010 4
les droites sont parallèles ou confondues : il y a une infinité de solutions ou aucune solution.
NB : On aurait également pu utiliser des vecteurs directeurs de ces deux droites,
1 2u 5
et
2 4 u 10
:
2 10 5 4 20 20 0
ces vecteurs sont colinéaires, les droites sont parallèles ou confondues
On trouve un point de la première droite (habituellement on prend
x0ou
y 0 ) :
Si
x0alors
5 0 2 11 11y y 2
, ce qui donne le point de coordonnées
0; 11 2
Ce point appartient-il à la deuxième droite ?
11 44
10 4 10 0 4 22
2 9
x y 2
Ce point n’appartient pas à la deuxième droite donc les deux droites sont parallèles et distinctes
Ce système n’admet pas de solution : S
EXERCICE 4.4
Etudier le nombre de solutions puis résoudre ce système :
2 43 6 12
x y
x y
Les coefficients de ce système donnent :
1 2 1 6
2 3 6 6 03 6
les droites sont parallèles ou confondues : il y a une infinité de solutions ou aucune solution.
NB : On aurait également pu utiliser des vecteurs directeurs de ces deux droites,
1 2 u 1
et
2 6 u 3:
2 3 1 6 6 6 0
u2 3u1
: ces vecteurs sont colinéaires, les droites sont parallèles ou confondues On trouve un point de la première droite (habituellement on prend
x0ou
y0) :
Si
y0alors
x 2 0 4 x 4, ce qui donne le point de coordonnées 4;0
Ce point appartient-il à la deuxième droite ?
3
x 6
y 3 4 6 0 12
Ce point appartient à la deuxième droite donc les deux droites sont confondues :
Ce système admet une infinité de solutions toutes situées sur la droite d’équation x 2y4
.
; tels que 2 4
S