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Etudier le nombre de solutions puis résoudre ce système : 2 4 2

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Academic year: 2022

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(1)

SYSTEMES DEQUATIONS

CORRIGE - Lycée Notre Dame de La Merci – Montpellier

EXERCICE 4.1

Etudier le nombre de solutions puis résoudre ce système : 2 4 2

3 11

x y

x y

 

   

 Les coefficients de ce système donnent :

2 4 2 3 1

 

4 6 4 10

1 3

        

ce système possède un unique couple solution.

NB : On aurait également pu utiliser des vecteurs directeurs de ces deux droites,

1 4

u 2

et

2

3

u

 1

:

 

4 1 2        3 4 6 10 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires et les droites ne sont pas parallèles.

11 3

2

11 3

2 4 2 20

2 4 2 22 6 4 2 10 20

3 11 11 3 11 3 10

11 3 2 5 y

y y

x y y y y y

x y x x y x y

x

 

  

         

         

           

       

  

Vérification :

2x4y    2 5 4 2 10 8 2 3 5 3 2 5 6 11 xy     

Le couple   5; 2 est solution de ce système.

EXERCICE 4.2

Etudier le nombre de solutions puis résoudre ce système :

3 2 7

4 5 7

x y

x y

  

  

Les coefficients de ce système donnent :

3 2 3 5

   

2 4 10 8 2

4 5

         

ce système possède un unique couple solution.

NB : On aurait également pu utiliser des vecteurs directeurs de ces deux droites,

1 2

u 3

et

2

5

u

 4

 :

   

2       4 3 5 8 157

donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires, les droites ne sont pas parallèles

   

3 2 7

3 2 7 8 28

on ajoute les deux lignes

8

4 12

12 12

3 1 15 28 21

4 5 7 2 15 21

x y

x y x y

x y x y

x y x y

  

     

    

        

    

    

 

3 2 7 2 7 9

3 2 7 3 2 7

12 8 12 15 7 7 7

1

7

7 1

x y

x y x y

x y x y y y

      

      

  

              

  

9 3 3

1 x y

   

 

  

Vérification : 3             3 2   1 9 2 7

   

4 3 5 1 12 5 7

        

Le couple    3; 1  est solution de ce système.

(2)

SYSTEMES DEQUATIONS

EXERCICE 4.3

Etudier le nombre de solutions puis résoudre ce système :

5 2 11 10 4 9

x y

x y

 

  

Les coefficients de ce système donnent :

5 2 5 4

  

2 10

20 20 0

10 4

         

les droites sont parallèles ou confondues : il y a une infinité de solutions ou aucune solution.

NB : On aurait également pu utiliser des vecteurs directeurs de ces deux droites,

1 2

u 5

et

2 4 u 10

:

   

2   10       5 4 20 20  0

ces vecteurs sont colinéaires, les droites sont parallèles ou confondues

On trouve un point de la première droite (habituellement on prend

x0

ou

y

 0 ) :

Si

x0

alors

5 0 2 11 11

y y 2

     

, ce qui donne le point de coordonnées

0; 11 2

  

 

 

Ce point appartient-il à la deuxième droite ?

11 44

10 4 10 0 4 22

2 9

x y   2

            

Ce point n’appartient pas à la deuxième droite donc les deux droites sont parallèles et distinctes

 Ce système n’admet pas de solution : S 

EXERCICE 4.4

Etudier le nombre de solutions puis résoudre ce système :

2 4

3 6 12

x y

x y

  

   

Les coefficients de ce système donnent :

1 2 1 6

 

2 3 6 6 0

3 6

 

         

les droites sont parallèles ou confondues : il y a une infinité de solutions ou aucune solution.

NB : On aurait également pu utiliser des vecteurs directeurs de ces deux droites,

1 2 u 1

et

2 6 u 3

:

   

2 3         1 6 6 6 0

u2 3u1

: ces vecteurs sont colinéaires, les droites sont parallèles ou confondues On trouve un point de la première droite (habituellement on prend

x0

ou

y0

) :

Si

y0

alors

   x 2 0 4  x 4

, ce qui donne le point de coordonnées  4;0

Ce point appartient-il à la deuxième droite ?

 

3

x

 6

y

       3 4 6 0 12

Ce point appartient à la deuxième droite donc les deux droites sont confondues :

 Ce système admet une infinité de solutions toutes situées sur la droite d’équation  x 2y4

.

 

; tels que 2 4

S

x y

 

x y

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