Série 2éme :homothétie et division euclidienne - Web Education

LYCEE SECONDAIRE

IBN SINA

MENZEL BOURGUIBA

Série d’exercices

n° 9

Date : Février 2011 Proposé par : M. Zemzemi Jamel Bettaher 2 ème Sc 2 , 3 Exercice 1 :

1) a- Déterminer le reste de la division euclidienne de 123456 par 11 . b- Déterminer le reste de la division euclidienne de 654321 par 11 . 2) Soit l’entier naturel , N=13b20a , avec a et b sont deux chiffres.

a- Déterminer le chiffres a pour que N soit divisible par 8.

b- Déterminer alors le chiffre b pour que N soit divisible par 8 et 11. 3) Soit n un entier naturel .

a- Vérifier que : 3







2



n - n = n + 2 n - 2n + 3 - 6.

b- En déduire les valeurs possibles de n pour lesquelles

3

n - n

n + 2 est un entier .

Exercice 2 :

n désigne un entier naturel. On pose : a = 2 n +1 et b = n + 3. 1) a- Calculer : 2 b - a .

b- Montrer que dans É : si d divise a et b alors d =1 ou d = 5. 2) a- Montrer que si 5 divise a et b alors 5 divise n – 2.

b- Démontrer que si 5 divise n – 2 alors 5 divise a et b .

3) Déterminer alors toutes les valeurs de n pour lesquelles 5 divise a et b.

Exercice 3 :

Soit ABC un triangle tel que AB = AC = 5 et BC = 6 . On pose I = B*C Soit f l’application du plan P dans lui même qui a pour tout point M associe le point M ’ tel que :

MM’ = 2MA + MB + MC .

1) a- Montrer que f admet un seul point invariant G .Prouver que G = A*I , construire G .

b- Montrer que f est une homothétie que l’on caractérisera.

2) Soit M un point de [BC] tel que BM =4 .On désigne par

 

C et

 

C les ' cercles de diamètre

respectifs



MB et





MC . Une droite (D) passant par M recoupe



 

C en E et

 

C en F . '

a- Montrer que (BE) est parallèle à (CF) .

b- Les droites (BF) et (CE) se coupent en P . Trouver l’ensemble des points P .

3) Montrer que le cercle

 

C est l’image du cercle '

 

C par une homothétie dont- on précisera le centre et le rapport.

Exercice 4 :

On considère la figure ci-contre constituée d'un triangle ABC et d'un carré BCDE de centre O. La droite (AE) coupe [BC] en I et la droite (AD) coupe [BC] en J.

Les perpendiculaires en I et J à (BC) coupent respectivement [AB] en L et [AC] en K.

Soit h l’ homothétie de centre A et qui transforme E en I.

1) a- Déterminer l’ image de (ED) par h . En déduire h(D).

b- Quelle est l’ image (CD) par h ? Justifier .

c- En déduire h(C).

2) a- Quelle est l'image de (BE) par h ? Justifier. b- En déduire h(B).

3) Prouver que LFKL est un carre. 4) Soit O ' le centre du carré IJKL.

a- Préciser l’ image du cercle (C) circonscrit au carré BCDE.

b- Démontrer que les points A , O et O ’ sont alignes.

J