UPJV, Département EEA M1 EEAII

UPJV, Département EEA M1 EEAII

Parcours ViRob

Fabio MORBIDI

Laboratoire MIS

Équipe Perception et Robotique E-mail: fabio.morbidi@u-picardie.fr

Année Universitaire 2015/2016

Mardi 9h00-12h00, Mercredi 13h30-16h30, Salle 8

Plan du cours

Chapitre 1 : Introduction

1.1 Définitions

1.2 Constituants d’un robot 1.3 Classification des robots 1.4 Caractéristiques d’un robot 1.5 Générations de robots

1.6 Programmation des robots 1.7 Utilisation des robots

Chapitre 2 : Fondements Théoriques

2.1 Positionnement

•  Rotation et représentations de la rotation

•  Attitude et matrices homogènes

Plan du cours

Chapitre 3 : Modélisation d’un Robot

2.2 Cinématique

•  Vitesse d’un solide

•  Vecteur vitesse de rotation

•  Mouvement rigide

•  Torseur cinématique

3.1 Modèle géométrique

•  Convention de Denavit-Hartenberg

•  Modèle géométrique direct

•  Modèle géométrique inverse 3.2 Modèle cinématique

•  Modèle cinématique direct

•  Modèle cinématique inverse 3.3 Modèle dynamique

•  Formulation de Lagrange

scalaires (nombres réels)

Notation

0 _n×m ∈ R ^n×m I _n ∈ R ^n×n

vecteur colonne de dimension

matrice avec lignes et colonnes

matrice identité matrice de zéros

norme euclidienne du vecteur

n × n n × m n

n

a, λ, M ∈ R

A ∈ R ^n×m

A ^T ∈ R ^m×n transposée de la matrice

produit scalaire des vecteurs x, y ∈ R ⁿ x ∈ R ⁿ

x =

x, x

déterminant et inverse de

x ∈ R ⁿ A ∈ R ^n×m

m

x × y produit vectoriel des vecteurs x, y ∈ R ⁿ det(A), A ⁻¹ A ∈ R ^n×n

x, y = x ^T y

, x =

⎡

⎣ x

.. . x

⎤

⎦

•  Un manipulateur peut être représenté comme une chaîne cinématique de segments reliés par l'intermédiaire d'articulations rotoïdes ou prismatiques

•  Le mouvement résultant de la structure est obtenu par composition des mouvements élémentaires de chaque segment par rapport au précédent

•  Afin de manipuler un objet dans l'espace, il est nécessaire de décrire la position et l'orientation (pose) de l'effecteur

base

effecteur

x

y

z

Oe

θ

θ

θ

d

Objectif final: Exprimer la pose de l’effecteur en fonction des variables des articulations, par rapport à un repère donné (ex. le repère de la base)

Manipulateur générique

Motivation

?

2.1 Positionnement

La pose d'un solide (ou corps rigide) dans l'espace 3-D peut être complètement décrite par 6 paramètres indépendants:

•  3 paramètres indépendants définissent la position

d'un point, noté O’, du solide dans le repère fixe O- xyz

(ex. coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques)

•  3 paramètres indépendants déterminent l'orientation du solide autour du point O’ (ex. angles d’Euler)

O

O

y

z

z

y x

x

solide

repère fixe

solide

La position du point O’ du solide par rapport au repère fixe O- xyz

s’exprime par l’équation:

o = o _x x + o _y y + o _z z

où sont les vecteurs unitaires (la norme est 1) des axes du repère O- xyz et sont le composants du vecteur le long de chacun des trois axes

x, y, z

o

, o

, o

o

∈ R

repère fixe

• 

Afin de décrire l'orientation du solide, considérons un repère attaché au corps et exprimons ses vecteurs unitaires par rapport au repère O

xyz

•  Soit O’- x’y’z’ un tel repère avec origine O’ et soient les vecteurs unitaires des axes

•  Ces vecteurs sont exprimés par rapport au repère O- xyz par les équations:

x

, y

, z

x = x _x x + x _y y + x _z z y = y _x x + y _y y + y _z z z = z _x x + z _y y + z _z z

•  Sous forme compacte, les vecteurs unitaires qui décrivent

l'orientation du solide par rapport à O- xyz, peuvent être combinés dans la matrice 3 3:

x

, y

, z

R = [x

y

z

] =

⎡

⎢ ⎣

x

y

z

x

y

z

x

y

z

⎤

⎥ ⎦ =

⎡

⎢ ⎣

x

x y

x z

x x

y y

y z

y x

z y

z z

z

⎤

⎥ ⎦

qui est appelée matrice de rotation

Propriétés des matrices de rotation

•  Les colonnes d’une matrice de rotation sont orthogonales à deux à deux:

La norme des colonnes d’une matrice de rotation est égale à 1:

En conséquence, est une matrice orthogonale, c’est-à-dire:

x

y

= 0, y

z

= 0, z

x

= 0

x

x

= 1, y

y

= 1, z

z

= 1 R

R

R = I

Si on multiplie à droite chaque côté de l’équation précédente par on trouve que:

c’est-à-dire, la transposée d’une matrice de rotation est égale à son inverse

R

R

= R

•  Si le repère est direct (on use la « règle de la main droite »): det(R) = 1 SO(n) {R ∈ R

: R

R = I

, det(R) = 1} Groupe spécial

orthogonal de

dimension n

Rotations élémentaires

•  Considérons les rotations qu’on peut obtenir à partir de rotations élémentaires autour des axes x , y , z

•  Ces rotations sont positives s’ils sont faites autour des axes relatifs dans le sens anti-horaire (dans le sens contraire des aiguilles d'une montre)

Exemple : le repère O- xyz est pivoté d’un angle α autour de l’axe z

et O- x’y’z’ est le repère qui résulte de cette rotation

Rotations élémentaires

•  Les vecteurs unitaires de

x’y’z’ peuvent être exprimés par rapport au repère O- xyz ^comme:

x

=

⎡

⎢ ⎣

cos α sin α

0

⎤

⎥ ⎦ , y

=

⎡

⎢ ⎣

− sin α cos α

0

⎤

⎥ ⎦ , z

=

⎡

⎢ ⎣ 0 0 1

⎤

⎥ ⎦

•  La matrice de rotation de

x’y’z’ par rapport à O- xyz engendrée est donc:

R

(α) =

⎡

⎢ ⎣

cos α − sin α 0 sin α cos α 0

0 0 1

⎤

⎥ ⎦

De la même façon, on peut trouver la matrice de rotation autour de

l’axe y d’un angle et la matrice de rotation autour de l’axe x d’un angle

Remarque: Ces matrices seront très utiles pour décrire des rotations dans l’espace 3D autour d’axes arbitraires

β γ

Rotations élémentaires: sommaire

R

(α) =

⎡

⎢ ⎣

cos α − sin α 0 sin α cos α 0

0 0 1

⎤

⎥ ⎦

Matrice de rotation autour de l’axe x d’un angle

Remarque:

Pour les rotations élémentaires, les propriétés suivantes sont vérifiées:

R

(γ ) =

⎡

⎢ ⎣

1 0 0

0 cos γ − sin γ 0 sin γ cos γ

⎤

⎥ ⎦

R

(β ) =

⎡

⎢ ⎣

cos β 0 sin β

0 1 0

− sin β 0 cos β

⎤

⎥ ⎦ Matrice de rotation autour de l’axe y d’un angle

Matrice de rotation autour de l’axe z ^{d’un angle}

γ

β

α

R

(−γ ) = R

(γ), R

(−β ) = R

(β ), R

(−α) = R

(α)

Représentation d’un vecteur

Hypothèse simplificatrice: l’origine du repère du solide coïncide avec l'origine du repère fixe. Donc

On peut représenter le point 3D P comme:

p =

⎡

⎢ ⎣ p

p

p

⎤

⎥ ⎦ par rapport à O- xyz

par rapport à O- x’y’z’

et

p

=

⎡

⎢ ⎣ p

p

p

⎤

⎥ ⎦

o

= 0

= [0, 0, 0]

Représentation d’un vecteur

Mais cela signifie que (rappel les équations précédentes):

représente la matrice de transformation qui permet d’exprimer les coordonnées du point P dans le repère

xyz , en function des coordonnées du même point dans le repère

x’y’z’

Mais et sont deux représentations du même point P, donc p p

p = R p

est une matrice orthogonale. Donc la transformation inverse est simplement: R

p = R ^T p

R

p = p

x

+ p

y

+ p

z

= x

y

z

p

Représentation d’un vecteur

Exemple:

Deux repères avec la même origine et une rotation relative d’un angle α

autour de l’axe z

p p , : vecteurs des coordonnées

du point P dans les

repères O- xyz et O- x’y’z’

Remarque:

La matrice représente non seulement l'orientation d'un repère par rapport à un autre, mais elle décrit également la transformation d'un vecteur dans un repère en un autre avec la même origine

p

= p

cos α − p

sin α p

= p

sin α + p

cos α p

= p

R

(α)

On trouve facilement que:

Composition de matrices de rotation

Problème: comment composer plusieurs rotations ?

Considérons trois repères O

x

y

z

,

,

avec la même origine O coordonnées d’un point P dans les trois repères

p

, p

, p

∈ R

:

O-x

y

z

O-x

y

z

O-x

y

z

O

P

Composition de matrices de rotation

Soit la matrice de rotation du repère R

par rapport au repère

Donc

De même, on obtient:

p ¹ = R ¹ ₂ p ²

p ⁰ = R ⁰ ₁ p ¹ p ⁰ = R ⁰ ₂ p ²

Mais alors:

R ⁰ ₂ = R ⁰ ₁ R ¹ ₂

i j

Composition de matrices de rotation

Considérons un repère initialement aligné avec

La rotation définie par peut être interprétée comme obtenue en deux étapes:

1.  Tourne le repère avec pour l’aligner avec O-x

y

z

2.  Tourne le repère, maintenant aligné avec O-x

y

z

, en utilisant pour l’aligner avec O-x

y

z

R

R

R

Remarque:

•  La rotation d'ensemble peut être exprimée comme une séquence de rotations partielles

•  Chaque rotation est définie par rapport à la précédente

•  Le repère par rapport à lequel la rotation se produit est appelé repère courant

•  La composition de rotations successives est obtenue par multiplication à droite des matrices de rotation en suivant l'ordre donné des rotations

•  Avec notre notation, on a que:

R

= (R

)

= (R

)

Composition de matrices de rotation

Remarque:

•  Les rotations successives peuvent aussi être specifiées toujours par rapport au repère initiale

•  On dit donc que les rotations sont faites par rapport au repère fixe

•  La composition de rotations successives est obtenue par multiplication à gauche des singles matrices de rotation en suivant l’ordre donné des

matrices de rotation

Problème de base: le produit matriciel n’est pas commutatif !

•  Deux rotations, en général, ne commutent pas et la composition dépend de l’ordre des singles rotations, à savoir:

R

R

= R

R

Composition de matrices de rotation

Exemple:

R

(π/4) = ,

⎡

⎢ ⎣

1 0 0

0 √

2/2 − √ 2/2 0 √

2/2 √ 2/2

⎤

⎥ ⎦ R

(π/6) =

⎡

⎢ ⎣

√ 3/2 0 1/2

0 1 0

−1/2 0 √ 3/2

⎤

⎥ ⎦

R

(π/6) R

(π/4) =

⎡

⎢ ⎣

√ 3/2 √

2/4 √ 2/4

0 √

2/2 − √ 2/2

−1/2 √

6/4 √ 6/4

⎤

⎥ ⎦

≠

R

(π/4) R

(π/6) =

⎡

⎢ ⎣

√ 3/2 0 1/2

√ 2/4 √

2/2 − √ 6/4

− √

2/4 √

2/2 √ 6/4

⎤

⎥ ⎦

Composition de matrices de rotation

•  Rotations successives d'un objet autour des axes du repère courant

a)

b)

=

Composition de matrices de rotation

•  Rotations successives d'un objet autour des axes du repère fixe

a)

b)

=

Représentations de la rotation: introduction

•  Les matrices de rotation fournissent une description redondante de l’orientation d’un corps

•  En effet, la matrice de rotation comprend 9 éléments:

•  Mais il y a 6 relations indépendantes entre ces éléments (contraintes de orthogonalité et de normalité des colonnes)

R

R =

⎡

⎢ ⎣

r

r

r

r

r

r

r

r

r

⎤

⎥ ⎦

r

r

+ r

r

+ r

r

= 0 r

r

+ r

r

+ r

r

= 0 r

r

+ r

r

+ r

r

= 0

r

+ r

+ r

= 1 r

+ r

+ r

= 1 r

+ r

+ r

= 1

Conclusion: 3 paramètres sont suffisantes pour décrire l'orientation d'un corps

Une représentation de l'orientation en fonction de 3 paramètres indépendants

est dite représentation minimale

Représentations de la rotation: introduction

•  Une représentation minimale de l’orientation peut être obtenue en utilisant un ensemble de trois angles

•  Une matrice de rotation générique peut être obtenue en composant une séquence opportune de 3 rotations élémentaires. Attention: il faut garantir que deux rotations successives ne sont pas faites autour d’axes parallèles

•  Ca veut dire que 12 ensembles différentes d’angles sont admissibles parmi les 3

= 27 combinaisons possibles

•  Chaque ensemble représente une triplet d’angles d’Euler φ = [ϕ, θ, ψ]

Deux triplets d’angles d’Euler très utilisées sont:

1.  Les angles ZYZ

2.  Les angles ZYX ou roulis-tangage-lacet (roll-pitch-yaw, en anglais)

Leonhard Euler (1707–1783)

Représentation roulis-tangage-lacet

•  Représentation de l'orientation utilisée en aéronautique pour décrire l’attitude d’un avion

•  Les angles représentent des rotations définies dans un repère fixe attaché au centre de masse de l’avion φ = [ϕ, θ, ψ ]

x

y z

lacet (yaw)

roulis (roll) tangage

(pitch)

θ ϕ

ψ

La rotation décrite par les angles de roulis, tangage et lacet est obtenue comme composition de 3 rotations élémentaires:

• Tourner le repère d’un angle autour de l’axe x (lacet): rotation définie par

• Tourner le repère d’un angle autour de l’axe y (tangage): rotation définie par

• Tourner le repère d’un angle autour de l’axe z (roulis): rotation définie par

La rotation finale est obtenue en composant les rotations par rapport au repère fixe, et peut être calculée en multipliant à gauche les matrices de rotation élémentaires:

Représentation roulis-tangage-lacet

ψ

θ

R

(ϕ) ϕ R

(θ) R

(ψ)

R(φ) = R

(ϕ) R

(θ) R

(ψ ) =

⎡

⎢ ⎣

c

c

c

s

s

− s

c

c

s

c

+ s

s

s

c

s

s

s

+ c

c

s

s

c

− c

s

−s

c

s

c

c

⎤

⎥ ⎦

où, pour plus de simplicité: c

= cos ϕ, s

= sin θ

Problème inverse: determiner les angles de roulis, tangage et lacet qui correspondent à une matrice de rotation donnée:

Représentation roulis-tangage-lacet

R =

⎡

⎢ ⎣

r

r

r

r

r

r

r

r

r

⎤

⎥ ⎦

Si on compare cette expression avec , on trouve que la solution, pour , est: R(φ)

ϕ = Atan2(r

, r

) θ = Atan2

− r

,

r

+ r

ψ = Atan2(r

, r

)

ϕ = Atan2(−r

, −r

) θ = Atan2

− r

, −

r

+ r

ψ = Atan2(−r

, −r

)

L’autre solution équivalente pour , est:

θ ∈ (−π/2, π/2)

θ ∈ (π/2, 3π/2)

R

Remarque 1:

•  Si les solutions précédentes sont dégénerés: dans ce cas on peut seulement déterminer la somme ou difference de et

•  Les configurations qui correspondent aux angles caractérisent les singularities de représentation des angles d’Euler

Représentation roulis-tangage-lacet

•  est la fonction arctangente à 2 arguments

•  calcule l’arctangente du rapport y/x mais elle utilise le signe des arguments pour determiner le bon quadrant de l’angle Remarque 2:

cos θ = 0

ψ ϕ

θ = ± π/2

x y

x’

y’

A

B

… angle A ou B ?

Atan2(y, x) =

⎧ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎩

arctan(y/x) x > 0

arctan(y/x) + π x ≥ 0, x < 0 arctan(y/x) − π y < 0, x < 0

+π/2 y > 0, x = 0

−π/2 y < 0, x = 0

non defini y = 0, x = 0 arctan(y/x) = arctan(y

/x

)

Atan2(y, x) Atan2(y, x)

y ≥ 0

Représentation angle/axe

•  Une représentation non minimale de l’orientation peut être obtenue en utilisant 4 parametrès qui expriment une rotation d’un angle autour d’un axe

générique dans l’espace 3D

•  Cette représentation est utile, par exemple, pour planifier la trajectoire de l’effecteur d’un manipulateur

θ

x

y z

r

O

θ Vecteur unitaire ( ) de l’axe de rotation dans le repère O- x y z

L’angle est considéré comme positif θ

si la rotation autour de l’axe r est faite dans le sens anti-horaire

r = 1

r = [r _x , r _y , r _z ] ^T

Représentation angle/axe

Proprieté R(θ, r) =

⎡

⎢ ⎣

r

(1 − c

) + c

r

r

(1 − c

) − r

s

r

r

(1 − c

) + r

s

r

r

(1 − c

) + r

s

r

(1 − c

) + c

r

r

(1 − c

) − r

s

r

r

(1 − c

) − r

s

r

r

(1 − c

) + r

s

r

(1 − c

) + c

⎤

⎥ ⎦

•  Une rotation d’un angle autour de l’axe ne peut pas être distinguée d’un rotation d’un angle autour de l’axe

•  La représentation angle/axe n’est pas unique !

Matrice de rotation d’un angle autour de l’axe r (à nouveau, pour plus de simplicité ) θ

R(−θ, −r) = R(θ, r)

−θ −r

r θ

, s

= sin θ

c

= cos θ

Représentation angle/axe

Problème inverse: determiner l’angle et l’axe qui correspondent à une matrice de rotation donnée:

R =

⎡

⎢ ⎣

r

r

r

r

r

r

r

r

r

⎤

⎥ ⎦

•  Si on obtient:

θ = arccos

r

+ r

+ r

− 1 2

r = 1 2 sin θ

⎡

⎢ ⎣

r

− r

r

− r

r

− r

⎤

⎥ ⎦ sin θ = 0

angle

axe R

•  Si , les équations précédentes ne sont pas définies

Pour resoudre le problème inverse, il faut travailler avec l’expression

spécifique de la matrice R et trouver des formules de resolution pour les deux cas et

Si (zéro rotation), le vecteur unitaire r est arbitraire (singularité)

sin θ = 0

θ = 0 θ = π

θ = 0

Quaternions

•  Les inconvénients de la représentation angle/axe peuvent être surmontés par une autre représentation à 4 parametrès, le quaternion unitaire, defini par:

Q = {η, }

où

η = cos(θ/2)

= [

,

,

]

= sin(θ/2) r

avec la contrainte

η

+

+

+

= 1

dont le nom de quaternion unitaire

•  Une rotation de autour de donne le même quaternion que celui

associé à une rotation de autour de . Le problème de non-unicité de la représentation angle/axe est réglé

−θ θ

−r r

: partie scalaire du quaternion

: partie vectorielle du quaternion

•  Matrice de rotation associée à un quaternion unitaire donné:

William R. Hamilton (1806–1865)

i

= j

= k

= ijk = −1

Broom Bridge, Royal Canal, Dublin

•  Il y a également des formules pour le problème inverse.

R(η, ) =

⎡

⎢ ⎣

2(η

+

) − 1 2(

− η

) 2(

+ η

) 2(

+ η

) 2(η

+

) − 1 2(

− η

) 2(

− η

) 2(

+ η

) 2(η

+

) − 1

⎤

⎥ ⎦ Q = {η, }

Quaternions

(16 October 1843)