UPJV, Département EEA M1 EEAII

UPJV, Département EEA M1 EEAII

Parcours ViRob

Fabio MORBIDI

Laboratoire MIS

Équipe Perception et Robotique E-mail: fabio.morbidi@u-picardie.fr

Année Universitaire 2015/2016

Mardi 9h00-12h00, Mercredi 13h30-16h30, Salle 8

Plan du cours

Chapitre 1 : Introduction

1.1 Définitions

1.2 Constituants d’un robot 1.3 Classification des robots 1.4 Caractéristiques d’un robot 1.5 Générations de robots

1.6 Programmation des robots 1.7 Utilisation des robots

Chapitre 2 : Fondements Théoriques 2.1 Positionnement

•  Rotation et représentations de la rotation

•  Attitude et matrices homogènes

Plan du cours

Chapitre 3 : Modélisation d’un Robot

2.2 Cinématique

•  Vitesse d’un solide

•  Vecteur vitesse de rotation

•  Mouvement rigide

•  Torseur cinématique

3.1 Modèle géométrique

•  Convention de Denavit-Hartenberg

•  Modèle géométrique direct

•  Modèle géométrique inverse 3.2 Modèle cinématique

•  Modèle cinématique direct

•  Modèle cinématique inverse 3.3 Modèle dynamique

•  Formulation de Lagrange

Modèle géometrique direct pour manipulateurs industriels

Exemples

Remarques:

•  L’origine du repère 0 est située à l’intersection des axes z

et z

de façon que

•  L’origine du repère 2 est située à l’intersection des axes z

et z

2 – Manipulateur sphérique

θ 1

θ 2

d ₁ = 0

O

O

Nous avons deux articulations rotoïdes et une articulation prismatique, donc il faut déterminer trois matrices de transformation

Segment a _i α _i d _i θ _i

1 0 ^_ π ^{/2 0 θ} 1

2 0 π ^/2 d ₂ ^* θ ₂ 3 0 0 d ₃ ⁰

Manipulateur sphérique

Tableau des paramètres de DH (* : d ₂ n’est pas une variable)

A ⁰ ₁ (θ ₁ ) =

R z (θ 1 )R x (−π/2) 0 3×1

0 _1×3 1

=

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

cos θ ₁ 0 − sin θ ₁ 0 sin θ 1 0 cos θ 1 0

0 −1 0 0

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

La 1ère transformation est:

segm.

artic. i ^{– 1}

segm.

artic. i artic. i ^{+ 1}

θ i

a _i

a _i−1

Transformation homogène de DH

A ⁱ⁻¹ _i

=

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

cos θ i − sin θ i 0 0 sin θ i cos θ i 0 0

0 0 1 d i

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦ A ⁱ _i

=

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

1 0 0 a i

0 cos α i − sin α i 0 0 sin α i cos α i 0

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

A ⁱ⁻¹ _i (q _i )

axe i

d _i

Manipulateur sphérique

A ⁰ ₁ (θ ₁ ) =

R z (θ 1 )R x (−π/2) 0 3×1

0 _1×3 1

=

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

cos θ ₁ 0 − sin θ ₁ 0 sin θ 1 0 cos θ 1 0

0 −1 0 0

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

En effet, graphiquement:

x ₀

y ₀ z ₀

x ₁

z ₁

y ₁ z _1’

y _1’

x _1’

z _1’

Dans notre cas a ₁ = 0, α 1 = ^_ π ^/2, d ₁ = 0 et θ ₁ ^{≠ 0}

y _1’

x _1’

θ 1

−π/2

Manipulateur sphérique

Graphiquement:

x ₁

z ₁

y ₂ y ₁

A ¹ ₂ (θ ₂ ) =

⎡

⎢ ⎢

⎣ R _z (θ ₂ )R _x (π/2) 0 0 d 2

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎦ =

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

cos θ ₂ 0 sin θ ₂ 0 sin θ ₂ 0 − cos θ ₂ 0

0 1 0 d ₂

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

z ₂

d ₂

x ₂

Maintenant, a ₂ = 0, α 2 = π ^/2, d ₂ ≠ 0 et θ 2 ≠ 0 (2ème ligne du tableau de DH):

π/2

θ 2

Manipulateur sphérique

Conclusion:

y ₂ z ₂

d ₃

x ₂

y ₃ z ₃

x ₃

T ⁰ ₃ (q) = A ⁰ ₁ A ¹ ₂ A ² ₃ =

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

c 1 c 2 −s 1 c 1 s 2 c 1 s 2 d 3 − s 1 d 2

s 1 c 2 c 1 s 1 s 2 s 1 s 2 d 3 + c 1 d 2

−s 2 0 c 2 c 2 d 3

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

où q = [ θ 1 , θ 2 , d 3 ] ^T

Évidemment, la 3ème articulation n’a pas d’influence sur l’orientation de l’effecteur

A ² ₃ (d 3 ) =

⎡

⎢ ⎢

⎣ I 3

0 0 d ₃ 0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎦ =

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 d ₃ 0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

c ₁ = cos θ ₁ , s ₁ = sin θ ₁

et

Enfin, a ₃ = 0, α 3 = 0 ^, d ₃ ≠ 0 et θ

= 0 (3ème ligne du tableau):

Remarques:

•  L’orientation du vecteur unitaire est déterminée uniquement par la 1ère articulation, car l’axe de la 2ème articulation z

est parallèle à l’axe y

•  Dans le manipulateur sphérique, le repère 3 peut représenter le repère d’un effecteur, autrement dit

Manipulateur sphérique

θ 1

θ ₂

y ⁰ ₃

T ³ _e = I 4

y 3

y ₃ ⁰

3 – Manipulateur SCARA à 4 DDL

Exercice:

1.  Déterminer les paramètres de DH du manipulateur

2.  Calculer le modèle géométrique direct du manipulateur

3. Les coordonnées d’un point P dans le repère 0 de le la base, sont:

Déterminer les coordonnées du même point dans le référentiel de l’effecteur

θ 1

4. Écrire une fonction MATLAB qui prend en entrée les valeurs des variables articulaires du robot et les coordonnées du point P dans le repère de la base, et renvoie les coordonnées du point P dans le repère de l’effecteur

p ⁰ = [1, 0, 0] ^T .

Remarques:

•  Le manipulateur anthropomorphe correspond à un manipulateur planaire à deux segments avec une rotation supplémentaire autour d’un axe du plan

•  L’origine du repère 0 est située à l’intersection des axes z

et z

de façon que

•  Les axes z

et z

sont parallèles et pour les axes x

et x

on peut faire le même choix que pour le manipulateur planaire à 3 segments déjà étudié

4 - Manipulateur anthropomorphe

θ ₁

θ 2 θ ₃

a 3

d 1 = 0

a 2

O

Nous avons trois articulations rotoïdes La 1ère transformation est:

Segment a _i α _i d _i θ _i

1 0 π ^{/2 0 θ} 1

2 a ₂ 0 ^{0 θ} 2

3 a ₃ 0 0 θ ₃

Manipulateur anthropomorphe

Paramètres de DH

A ⁰ ₁ (θ ₁ ) =

R _z (θ ₁ )R _x (π/2) 0 _3×1 0 _1×3 1

=

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

cos θ 1 0 sin θ 1 0 sin θ ₁ 0 − cos θ ₁ 0

0 1 0 0

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

En effet, graphiquement:

x ₁ z ₁

y ₁ z ₀

A ⁰ ₁ (θ ₁ ) =

R _z (θ ₁ )R _x (π/2) 0 _3×1 0 _1×3 1

=

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

cos θ ₁ 0 sin θ ₁ 0 sin θ ₁ 0 − cos θ ₁ 0

0 1 0 0

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

Manipulateur anthropomorphe

Nous avons a ₁ = 0, α 1 = π ^/2, d ₁ = 0 et θ ₁ ^{≠ 0} (1ère ligne du tableau de DH):

θ 1

π/2

Pour les deux articulations rotoïdes restantes (2 et 3):

Manipulateur anthropomorphe

A ⁱ⁻¹ ₁ (θ i ) =

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

cos θ i − sin θ i 0 a i cos θ i

sin θ i cos θ i 0 a i sin θ i

0 0 1 0

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦ , i ∈ {2, 3}

Conclusion:

où

T ⁰ ₃ (q) = A ⁰ ₁ A ¹ ₂ A ² ₃ =

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

c 1 c 23 −c 1 s 23 s 1 c 1 (a 2 c 2 + a 3 c 23 ) s 1 c 23 −s 1 s 23 −c 1 s 1 (a 2 c 2 + a 3 c 23 )

s 23 c 23 0 a 2 s 2 + a 3 s 23

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

q = [θ 1 , θ 2 , θ 3 ] ^{T et} c 23 = cos(θ 2 + θ 3 ), s 23 = sin(θ 2 + θ 3 )

Remarque: Puisque z ₃ est aligné avec z ₂ , le repère 3 ne coïncide pas avec un repère admissible pour l’effecteur. Pour y rémedier, il faut définir une transformation constante appropriée

A ⁱ⁻¹ _i (θ _i )

T ³ _e

5 - Poignet de type rotule (ou poignet sphérique)

•  Les variables des articulations sont numérotées à partir de “4” car le poignet est typiquement monté sur un porteur à 3 DDL d’un manipulateur à 6 DDL

•  Les 3 axes des articulations rotoïdes sont concourants (c'est-à-dire, les axes se coupent en un même point, Q, bleu dans la figure ci-dessus)

•  Si les axes z ₃ , z ₄ , z ₅ ont été fixés et l’axe x ₃ a été choisi, la direction de x ₄ et x ₅ reste indéterminée

θ 4

θ ₅

θ 6

Q

Nous avons trois articulations rotoïdes

Segment a _i α _i d _i θ _i

4 0 ^_ π ^{/2 0 θ} 4

5 0 π ^{/2 0 θ} 5

6 0 0 d ₆ ^* θ ₆

Poignet de type rotule

Paramètres de DH

A ³ ₄ (θ ₄ ) =

R z (θ 4 )R x (−π/2) 0 3×1

0 1×3 1

=

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

cos θ 4 0 − sin θ 4 0 sin θ 4 0 cos θ 4 0

0 −1 0 0

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

La 1ère transformation est (cf. la 1ère transformation du manip. sphérique):

Graphiquement:

Poignet de type rotule

A ³ ₄ (θ 4 ) =

R z (θ 4 )R x (−π/2) 0 3×1

0 1×3 1

=

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

cos θ 4 0 − sin θ 4 0 sin θ 4 0 cos θ 4 0

0 −1 0 0

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

x ₄

z ₄ z ₃

x ₃

θ 4

θ 5

θ 6

−π/2

θ ₄

Graphiquement:

Poignet de type rotule

x ₄

z ₄

x ₅

z ₅ A ⁴ ₅ (θ ₅ ) =

R z (θ 5 )R x (π/2) 0 3×1

0 1×3 1

=

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

cos θ 5 0 sin θ 5 0 sin θ 5 0 − cos θ 5 0

0 1 0 0

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

θ 4

θ 5

θ 6

π/2

θ ₅

La 2ème transformation est:

Graphiquement:

Poignet de type rotule

y ₅

x ₅

z ₅

θ 4

θ 5

θ 6

y ₆ x ₆

z ₆ d ₆

A ⁵ ₆ (θ ₆ ) =

⎡

⎢ ⎢

⎣ R _z (θ ₆ ) 0 0 d ₆ 0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎦ =

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

cos θ ₆ − sin θ ₆ 0 0 sin θ ₆ cos θ ₆ 0 0

0 0 1 d 6

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

θ ₆

Enfin:

Conclusion:

Poignet de type rotule

θ 4

θ 5

θ 6

où

T ³ ₆ (q) = A ³ ₄ A ⁴ ₅ A ⁵ ₆ =

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

c ₄ c ₅ c ₆ − s ₄ s ₆ −c 4 c ₅ s ₆ − s ₄ c ₆ c ₄ s ₅ c ₄ s ₅ d ₆ s ₄ c ₅ c ₆ + c ₄ s ₆ −s 4 c ₅ s ₆ + c ₄ c ₆ s ₄ s ₅ s ₄ s ₅ d ₆

−s 5 c ₆ s ₅ s ₆ c ₅ c ₅ d ₆

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦ q = [θ ₄ , θ 5 , θ 6 ] ^T

Remarque: Les vecteurs unitaires du repère 6 coïncident avec les vecteurs

unitaires d’un repère admissible pour l’effecteur

6 - Manipulateur anthropomorphe avec poignet de type rotule

θ 4

θ 5

θ 6

θ

θ 3

θ

Manipulateur anthropomorphe

Poignet de type rotule

+

Problème: le repère 3 du porteur ne peut pas coïncider avec le repère 3 du poignet de type rotule

T ⁰ ₆ = T ⁰ ₃ T ³ ₆

T ⁰ ₃

T ³ ₆

a 3

Porteur

Solution 1: On interpose une matrice de transformation constante entre and qui permet d’aligner les deux repères

Deux solutions possibles pour determiner : T ⁰ ₆

T ⁰ ₃ T ³ ₆

Solution 2: On redéfinit les repères de toute la structure en utilisant la convention de Denavit-Hartenberg

θ ₄ θ 5

θ ₆

θ ₁

θ 3

θ 2

Manipulateur anthropomorphe avec poignet de type rotule

Si on adopte la Solution 2, nous obtenons les paramètres de DH suivants:

Segment a

α

d

^θ

1 0 π /2 0 θ

2 a

0 0 θ

3 0 π /2 0 θ

4 0

π /2 d

^θ

5 0 π /2 0 θ

6 0 0 d

^θ

•  Les lignes 3 et 4 du tableau sont différentes des lignes correspondantes des tableaux de DH du manipulateur anthropomorphe et du poignet

•  Il faut modifier les matrices de transformation relatives (pas toutes les autres):

A ² ₃ (θ 3 ) =

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

cos θ 3 0 sin θ 3 0 sin θ 3 0 − cos θ 3 0

0 1 0 0

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦ , A ³ ₄ (θ 4 ) =

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

cos θ 4 0 − sin θ 4 0 sin θ 4 0 cos θ 4 0

0 −1 0 d 4

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

Manipulateur anthropomorphe avec poignet de type rotule

Conclusion:

avec

p ⁰ ₆ =

⎡

⎢ ⎣

a 2 c 1 c 2 + d 4 c 1 s 23 + d 6

c 1 (c 23 c 4 s 5 + s 23 c 5 ) + s 1 s 4 s 5 a 2 s 1 c 2 + d 4 s 1 s 23 + d 6

s 1 (c 23 c 4 s 5 + s 23 c 5 ) − c 1 s 4 s 5 a 2 s 2 − d 4 c 23 + d 6 (s 23 c 4 s 5 − c 23 c 5 )

⎤

⎥ ⎦

et les trois colonnes de la matrice de rotation sont: R ⁰ ₆ R ⁰ ₆ (: , 1) =

⎡

⎢ ⎣ c 1

c 23 (c 4 c 5 c 6 − s 4 s 6 ) − s 23 s 5 c 6

+ s 1 (s 4 c 5 c 6 + c 4 s 6 ) s 1

c 23 (c 4 c 5 c 6 − s 4 s 6 ) − s 23 s 5 c 6

− c 1 (s 4 c 5 c 6 + c 4 s 6 ) s 23 (c 4 c 5 c 6 − s 4 s 6 ) + c 23 s 5 c 6

⎤

⎥ ⎦

R ⁰ ₆ (: , 2) =

⎡

⎢ ⎣ c 1

− c 23 (c 4 c 5 s 6 + s 4 c 6 ) + s 23 s 5 s 6

+ s 1 (−s 4 c 5 s 6 + c 4 c 6 ) s 1

− c 23 (c ₄ c 5 s 6 + s 4 c 6 ) + s 23 s 5 s 6

− c 1 (−s ₄ c 5 s 6 + c 4 c 6 )

−s ₂₃ (c ₄ c 5 s 6 + s 4 c 6 ) − c 23 s 5 s 6

⎤

⎥ ⎦

R ⁰ ₆ (: , 3) =

⎡

⎢ ⎣ c 1

c 23 c 4 s 5 + s 23 c 5

+ s 1 s 4 s 5

s 1

c 23 c 4 s 5 + s 23 c 5

− c 1 s 4 s 5

s ₂₃ c ₄ s ₅ − c ₂₃ c ₅

⎤

⎥ ⎦ Note: si on met dans

on trouve le point d’intersection Q des axes du poignet de type rotule

Manipulateur anthropomorphe avec poignet de type rotule Cf. TD2

p ⁰ ₆ T ⁰ ₆ =

R ⁰ ₆ p ⁰ ₆ 0 _1×3 1

d ₆ = 0

•  Le développement du manipulateur DLR (le DLR est le centre aérospatial allemand) est à la base du robot LBR (“Lightweight Robot”) iiwa de KUKA

•  Le manipulateur DLR a 7 DDL (comme le bras humain), donc il est intrinsèquement redondant

•  Essentiellement, on a rajoutée une septième articulation rotoïde (colorée dans la figure ci-dessus) au manipulateur anthropomorphe avec poignet de type rotule

7 - Manipulateur DLR

θ 4

θ 5

θ 6

θ 1

θ 3

θ 7

θ 2

Paramètres de DH

Segment a

α

d

^θ

1 0 π /2 0 θ

2 0 π /2 0 θ

3 0 π /2 d

θ

4 0 π /2 0 θ

5 0 π /2 d

^θ

6 0 π /2 0 θ

7 0 0 d

^θ

Robot LBR de KUKA

Manipulateur DLR

Paramètres de DH

Manipulateur DLR

On trouve que ( ):

A ⁱ⁻¹ _i (θ _i ) =

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

cos θ _i 0 sin θ _i 0 sin θ i 0 − cos θ i 0

0 1 0 d _i

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦ , i ∈ {1, . . . , 6}

En revanche, puisque : α 7 = 0

A ⁶ ₇ (θ 7 ) =

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

cos θ 7 − sin θ 7 0 0 sin θ 7 cos θ 7 0 0

0 0 1 d 7

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

Conclusion:

T ⁰ ₇ (q) = A ⁰ ₁ (q ₁ ) A ¹ ₂ (q ₂ ) · · · A ⁶ ₇ (q ₇ )

α _i = π/2, i ∈ {1, . . . , 6}

Espace articulaire et opérationnel d’un robot

Objectif: spécifier une tâche pour l’effecteur d’un manipulateur à n articulations

base

effecteur

θ 1

θ 2

θ 4

d 3

On peut décrire la pose de l’effecteur du robot avec un vecteur m × 1 (m ≤ n):

x e =

p _e

φ _e

Position de l’effecteur

Orientation de l’effecteur: on utilise une représentation minimale (par ex.

les angles d’Euler)

Le vecteur est défini dans l’espace où la tâche du manipulateur est specifiée x e

Cet espace est appelé espace opérationnel

Espace articulaire et opérationnel d’un robot

est défini. On a si l’articulation est rotoïde et si l’articulation est prismatique

On peut écrire le modèle géométrique direct, de manière alternative, comme:

En revanche, l’espace articulaire (ou espace de configuration) dénote l’espace où le vecteur des variable d’articulation

où la fonction , non linéaire en général, permet de calculer les variables dans l’espace opérationnel à partir des variables dans l’espace articulaire

q i = θ i q _i = d _i

f (·)

x e = f (q)

Si , c’est-à-dire la dimension de l’espace opérationnel est plus petite que

la dimension de l’espace articulaire, on dit que le robot est intrinsèquement redondant. Pour un robot industriel standard à 6 DDL:

q = [ q ₁ , . . . , q _n ] ^T

m < n

m = n = 6

Génération de mouvement

La tâche de déplacement d'un robot est spécifiée en définissant un chemin que le robot doit suivre

Un chemin est une séquence de points définis soit dans l'espace opérationnel (afin de situer l’effecteur), soit dans l'espace articulaire du robot (afin d'indiquer les valeurs des paramètres des articulations)

Ces points peuvent être :

•  Programmés par apprentissage

•  Issus d'une base de données d'un système de CAO, etc.

Le problème de la génération de mouvement est de calculer les séquences

souhaitées (consigne) de variables articulaires ou de variables liées à l’effecteur qui assurent le passage du robot par le chemin désiré

Chemin

Les trajectoires d'un robot peuvent être classifiées comme suit :

1.  Les mouvements entre 2 points avec des mouvements libres entre les points 2.  Les mouvements entre 2 points via une séquence de points intermédiaires 3.  Les mouvements entre 2 points, la trajectoire étant contrainte entre les

points (par ex. trajectoire rectiligne)

4.  Les mouvements entre 2 points via des points intermédiaires, la trajectoire étant contrainte entre les points intermédiaires

P ₀

P _f

Génération de mouvement

•  Dans les deux premiers cas, la génération de mouvement peut se faire directement dans l'espace articulaire: elle se traduit par une séquence de positions articulaires constituant les consignes des asservissements

•  Dans les deux derniers cas, la trajectoire étant fixée à tout instant dans

l'espace opérationnel, il est préférable de raisonner dans cet espace La loi de commande engendrée doit ensuite être transformée en

consignes articulaires par le changeur de coordonnées

Génération de mouvement dans l'espace articulaire.

q(t)

q _f q _r (t)

Génération de mouvement

La génération de mouvement dans l'espace articulaire présente plusieurs avantages :

•  Le mouvement est minimal sur chaque articulation

•  Elle nécessite moins de calcul en ligne (au sens où il n'y a pas de changeur de coordonnées. Pas besoin des modèles)

•  Le mouvement n'est pas affecté par le passage sur des configurations singulières

•  Les contraintes de vitesse et de couples maximaux sont connues avec précision puisqu'elles correspondent aux limites physiques des actionneurs

Génération de mouvement dans l'espace opérationnel.

x e (t) q(t)

q _r (t)

x ef

Génération de mouvement

En contrepartie:

•  La géométrie de la trajectoire dans l'espace articulaire ne peut être imposée.

Entre deux points donnés, l’effecteur se déplace de façon imprévisible mais répétitive (ce qui peut occasionner des collisions lorsque le robot évolue dans un environnement encombré)

•  Ce type de mouvement est par conséquent approprié pour réaliser des déplacements rapides dans un espace dégagé

La génération de mouvement dans l'espace opérationnel permet de contrôler la géométrie de la trajectoire (par ex. mouvement rectiligne)

Par contre :

•  Elle implique la transformation en coordonnées articulaires de chaque point de la trajectoire

•  Elle peut être mise en échec lorsque la trajectoire calculée passe par une position singulière

•  Elle peut être mise en échec chaque fois que les points de la trajectoire

engendrée ne sont pas dans le volume accessible du robot ou chaque fois

que la trajectoire impose une reconfiguration du mécanisme (changement

d'aspect en cours de trajectoire)