UPJV, Département EEA M1 EEAII

UPJV, Département EEA M1 EEAII

Parcours ViRob

Fabio MORBIDI

Laboratoire MIS

Équipe Perception et Robotique E-mail: fabio.morbidi@u-picardie.fr

Année Universitaire 2015/2016

Mardi 9h00-12h00, Mercredi 13h30-16h30, Salle 8

Plan du cours

Chapitre 1 : Introduction

1.1 Définitions

1.2 Constituants d’un robot 1.3 Classification des robots 1.4 Caractéristiques d’un robot 1.5 Générations de robots

1.6 Programmation des robots 1.7 Utilisation des robots

Chapitre 2 : Fondements Théoriques 2.1 Positionnement

•  Rotation et représentations de la rotation

•  Attitude et matrices homogènes

Plan du cours

Chapitre 3 : Modélisation d’un Robot

2.2 Cinématique

•  Vitesse d’un solide

•  Vecteur vitesse de rotation

•  Mouvement rigide

•  Torseur cinématique

3.1 Modèle géométrique

•  Convention de Denavit-Hartenberg

•  Modèle géométrique direct

•  Modèle géométrique inverse 3.2 Modèle cinématique

•  Modèle cinématique direct

•  Modèle cinématique inverse 3.3 Modèle dynamique

•  Formulation de Lagrange

Positionnement

solide repère fixe

Pour décrire la pose d’un solide dans l’espace 3D, on a besoin de connaître:

•  [Translation] Position d’un point sur le solide (O’) par rapport au repère fixe

•  [Rotation] Composants des vecteurs unitaires du repère attaché au solide

avec origine O’, par rapport au repère fixe (l’attitude du solide)

•  P : point générique dans l’espace 3D

•  , : coordonnées du point P par rapport au repère 0 et 1

•  : vecteur qui décrit l’origine du repère 1 par rapport au repère 0

• 

: matrice de rotation du repère 1 par rapport au repère 0

p

p

o

R

Repère 0

Repère 1

Soit:

Matrices homogènes

•  On peut écrire la position du point P par rapport au repère 0 comme:

p ⁰ = o ⁰ ₁ + R ⁰ ₁ p ¹ Transformation de coordonnées

(translation + rotation) d’un vecteur entre le repère 1 et le repère 0

Matrices homogènes

Matrices homogènes

•  La présence conjointe de produits et de sommes dans l'équation

est peu commode pour effectuer des calculs systématiques, dus par exemple à des changements successifs de repères. On lui préfère une représentation

matricielle de dimension 4, basée sur les coordonnées homogènes

•  La représentation en coordonnées homogènes consiste à doter toute notation vectorielle d'un facteur d'échelle en introduisant une coordonnée supplémentaire

p

= o

+ R

p

alors la représentation du point P à l'aide de coordonnées homogènes est faite par:

p =

⎡

⎣ a b c

⎤

⎦

avec a = x

w , b = y

w , c = z w

,

p =

⎡

⎢ ⎢

⎣ x y w z

⎤

⎥ ⎥

⎦

•  Soit par exemple, un point P de l'espace, rapporté à un repère fixé, donné

par la relation:

•  Pour avoir une représentation compacte de la relation entre les coordonnées du même point dans deux repères, nous utilisons donc la représentation

homogène suivante:

p = p 1

On rajoute une 4e coordonnée, de valeur équale à 1, au vecteur

Matrices homogènes

“tilde”

p

•  En pratique, on choisit un facteur d'échelle unitaire ( w = 1 )

p

•  Si on utilise cette représentation pour les vecteurs et , on peut écrire la transformation de coordonnées en utilisant une seule matrice 4 × 4:

•  Puisque et , la matrice appartient au groupe spécial euclidien de dimension 3:

p

p

A

= R

o

0

1

Matrice de

transformation homogène

o

∈ R

R

∈ SO(3) A

SE(3) = R

× SO(3)

•  La pose du repère 1 par rapport au repère 0 est définie par la couple:

(o ⁰ ₁ , R ⁰ ₁ )

•  Nous avons 6 paramètres: 3 définissant la translation et

3 définissant la rotation (par ex. les angles de roulis-tangage-lacet)

Matrices homogènes

Exemple 1 (Simple rotation autour de l’axe z )

Matrices homogènes

y₁

x₁

O₁ z₀

y₀

x₀

O₀

x₁

O₁

z₀

y₀

x

O₀

z₁

α

Exemple 2 (Simple translation)

1

z₁

o

A ⁰ ₁ =

R z (α) 0 3×1

0 1×3 1

A ⁰ ₁ =

I 3 o ⁰ ₁ 0 _1×3 1

•  La transformation d’un vecteur du repère 1 au repère 0 est exprimée par une seule matrice qui contient la matrice de rotation du repère 1 par rapport au repère 0 et le vecteur de translation de l’origine du repère 0 à l’origine du repère 1:

•  La transformation inverse entre le repère 0 et le repère 1 est décrite par la matrice qui vérifie l’équation:

Matrices homogènes

p ⁰ = A ⁰ ₁ p ¹

A

p

= A

p

= (A

)

p

•  En utilisant les propriétés des matrices partitionnées*, on trouve que:

(A

)

= (R

)

−(R

)

o

0

1

= R

−R

o

0

1

Remarque*

M =

A B

C D

∈ R

, M

=

(A − BD

C)

−A

B(D − CA

B)

−D

C(A − BD

C)

(D − CA

B)

A ∈ R

, D ∈ R

Attention: les matrices homogènes ne satisfont pas la propriété d’orthogonalité. En conséquence, en général:

En conclusion :

Matrices homogènes

•  Une matrice homogène permet d’exprimer la transformation

de coordonnées entre deux repères génériques sous forme compacte

A ⁻¹ = A ^T

•  Si les repères ont la même origine la matrice homogène

se réduit à la matrice de rotation définie précédemment (taille 4 × 4)

•  Comme pour les matrices de rotation, on peut composer une

séquence de transformations de coordonnées grâce au produit matriciel:

p

= A

A

· · · A

p

où A

est la matrice de transformation qui met en rélation la déscription d’un point dans le repère avec la

déscription du même point dans le repère i i − 1

•  Soit une matrice de rotation variable dans le temps

•  Si on calcule la derivée par rapport au temps, nous trouvons (règle de la derivée du produit):

2.2 Cinématique

•  Grâce à la propriété d’orthogonalité de la matrice , on a:

•  Soit

Elle est une matrice antisymétrique. En effet:

R(t)

R(t) R

(t) = I

R(t) ˙ R

(t) + R(t) ˙ R

(t) = 0

S(t) R(t) ˙ R

(t)

S(t) + S

(t) = 0

•  Si on multiplie à droite chaque côté de l’équation précédente par

on trouve: R(t)

R(t) = ˙ S(t) R(t)

Ainsi on a écrit la derivée de la matrice de rotation en fonction de la matrice de rotation elle-même

R = R(t)

Interpretation physique

•  La derivée par rapport au temps de est:

2.2 Cinématique

•  Soit un vecteur constant et

•  Si le vecteur est la vitesse angulaire (ou de rotation) du repère

par rapport au repère “fixe” au temps , nous savons de la mécanique que:

•  Donc l’opérateur décrit le produit vectoriel entre le vecteur et le vecteur

•  Les éléments de symétriques par rapport à la diagonale principale répresentent les composants du vecteur:

p

p(t) = R(t) p

p(t)

p(t) = ˙ ˙ R(t) p

= S(t) R(t) p

ω(t) R(t)

˙

p(t) = ω (t) × R(t)p

S(t) ω

R(t)p

S(t)

ω = [ω

, ω

, ω

]

t

2.2 Cinématique

qui justifie l’expression:

S =

⎡

⎢ ⎣

0 −ω

ω

ω

0 −ω

−ω

ω

0

⎤

⎥ ⎦

S(t) = S(ω(t))

•  On peut donc réécrire l’équation précédente:

R ˙ = S(ω )R

c’est-à-dire:

Interpretation physique

2.2 Cinématique

Exemple

On considère la matrice de rotation élémentaire autour de l’axe z.

Si l’angle , on trouve que: α = α(t)

Donc

ω =

⎡

⎢ ⎣ 0 0

˙ α

⎤

⎥ ⎦

qui exprime la vitesse angulaire du repère autour de l’axe z S(t) = ˙ R

(α(t))R

(α(t))

=

⎡

⎣ − α ˙ sin α − α ˙ cos α 0

˙

α cos α − α ˙ sin α 0

0 0 0

⎤

⎦

⎡

⎣ cos α sin α 0

− sin α cos α 0

0 0 1

⎤

⎦ =

⎡

⎣ 0 − α ˙ 0

˙

α 0 0

0 0 0

⎤

⎦ = S(ω(t)) z

x

y

•  La transformation de coordonnées d’un point P entre les repères 0 et 1 est:

•  Si on calcule la dérivée par rapport au temps de cette expression, on trouve:

Repère 0

Repère 1

2.2 Cinématique

p

= o

+ R

p

˙

p

= ˙ o

+ R

p ˙

+ ˙ R

p

Mouvement rigide

•  Si on utilise l’expression de la dérivée d’une matrice et on spécifie la dépendance à l’égard de la vitesse angulaire, on trouve:

Repère 0

Repère 1

2.2 Cinématique

˙

p

= ˙ o

+ R

p ˙

+ S(ω

) R

p

•  Enfin, si on note le vecteur , nous concluons que: r

˙

p

= ˙ o

+ R

p ˙

+ ω

× r

R

p

Mouvement rigide

Cas particulier: Si est fixé par rapport au repère 1, on trouve:

Repère 0

Repère 1

2.2 Cinématique

car

˙

p

= ˙ o

+ ω

× r

p

Mouvement rigide

˙

p

= 0

•  P est un point d’un solide

en mouvement par rapport au repère 0

•  Le solide est lié au repère 1

•  Le mouvement du repère 1

par rapport au repère 0 est le suivant:

1.  Translation de vitesse ^{suivant y}

2.  Rotation de vitesse autour de y

3.  Pour , repère 0 repère 1

Exemple

2.2 Cinématique

On a:

z₁

y₁

x₁ O₁

z₀

y₀

x₀ O₀

p

= [1, 0, 0]

ω

v v

≡

ω

R

(t) =

⎡

⎢ ⎣

cos(ωt) 0 sin(ωt)

0 1 0

− sin(ωt) 0 cos(ωt)

⎤

⎥ ⎦ , o

=

⎡

⎢ ⎣ 0 vt

0

⎤

⎥ ⎦

p ˙

(t) = ˙ o

(t) + ˙ R

(t) p

=

⎡

⎢ ⎣ 0 v 0

⎤

⎥ ⎦ +

⎡

⎢ ⎣

−ω sin(ωt) 0 ω cos(ωt)

0 0 0

−ω cos(ωt) 0 −ω sin(ωt)

⎤

⎥ ⎦

⎡

⎢ ⎣ 1 0 0

⎤

⎥ ⎦ =

⎡

⎢ ⎣

−ω sin(ωt) v

−ω cos(ωt)

⎤

⎥ ⎦

˙

p

(0) =

0, v, −ω

P

, p ˙

= 0

t = 0

Le torseur cinématique du repère 1 par rapport au repère 0 est défini par le vecteur vitesse de translation de l’origine du repère 1 par rapport au repère 0

ainsi que par le vecteur vitesse de rotation du repère 1 par rapport au repère 0:

Définition (torseur cinématique):

2.2 Cinématique

Torseur cinématique du repère 1 par rapport au repère 0

C ⁰ ₁ o ˙ ⁰ ₁ ω ⁰ ₁

∈ R ⁶

Comme pour le matrices homogènes, il y a des formules de composition

des torseurs cinématiques (par ex. pour composer le torseur cinématique

du repère 1 par rapport au repère 0, avec le torseur cinématique du repère 2

par rapport au repère 1)