Matrices homogènes

UPJV, Département EEA M1 EEAII

Parcours ViRob

Fabio MORBIDI

Laboratoire MIS

Équipe Perception Robotique E-mail: fabio.morbidi@u-picardie.fr

Mardi 9h00-12h00, Mercredi 13h30-16h30, Salle 8

Plan du cours

Chapitre 1 : Introduction

1.1 Définitions

1.2 Constituants d’un robot 1.3 Classification des robots 1.4 Caractéristiques d’un robot 1.5 Générations de robots

1.6 Programmation des robots 1.7 Utilisation des robots

Chapitre 2 : Fondements Théoriques

2.1 Positionnement

•  Matrices de rotation et représentations de l’orientation

•  Matrices homogènes

Plan du cours

Chapitre 3 : Modélisation d’un Robot

2.2 Cinématique

•  Vitesse d’un solide

•  Vecteur vitesse de rotation

•  Mouvement rigide

•  Torseur cinématique

3.1 Modèle géométrique

•  Convention de Denavit-Hartenberg

•  Modèle géométrique direct

•  Modèle géométrique inverse 3.2 Modèle cinématique

•  Modèle cinématique direct

•  Modèle cinématique inverse 3.3 Modèle dynamique

solide repère fixe

Pour décrire la pose d’un solide dans l’espace 3D, on a besoin de connaître:

•  [Translation] Position d’un point sur le solide (O’) par rapport au repère fixe

•  [Rotation] Composants des vecteurs unitaires du repère attaché au solide avec origine O’, par rapport au repère fixe (attitude ou orientation du solide)

O-xyz

Matrices homogènes

•  P : point générique dans l’espace 3D

•  , : coordonnées du point P par rapport au repère 0 et 1

•  : vecteur qui décrit l’origine du repère 1par rapport au repère 0

p⁰ p¹ o⁰₁

Repère 0

Repère 1

Soit:

Matrices homogènes

•  On peut écrire la position du point P par rapport au repère 0 comme:

p

= o

+ R

p

(translation + rotation) d’un vecteur entre le repère 1 et le repère 0

Matrices homogènes

Repère 0

Repère 1

Matrices homogènes

•  La présence conjointe de produits et de sommes dans l'équation:

est peu pratique pour effectuer des calculs systématiques, dûs par exemple à des changements successifs de repère. On lui préfère une représentation

matricielle, basée sur les coordonnées homogènes

•  La représentation en coordonnées homogènes consiste à doter toute notation vectorielle d'un facteur d'échelle, en introduisant une coordonnée supplémentaire

p⁰ = o⁰₁ + R⁰₁ p¹

Alors la représentation du point P à l'aide de

coordonnées homogènes est faite par:

p =

⎡

⎣ a bc

⎤

⎦

où a = x

w, b = y

w, c = z w

.

•  Soit par exemple un point P de l'espace, rapporté à un repère fixe, donné par:

p =

⎡

⎢⎢

⎣ xy z

⎤

⎥⎥

⎦

•  Pour avoir une représentation compacte de la relation entre les coordonnées du même point P dans deux repères, nous utilisons donc la représentation homogène suivante:

p = p 1

On rajoute une 4ième coordonnée, de valeur égale à 1, au vecteur

Matrices homogènes

“tilde”

p

•  En pratique, on choisit un facteur d'échelle unitaire (à savoir )

p

w = 1

•  Si on utilise cette représentation pour les vecteurs et , on peut écrire la transformation de coordonnées en utilisant une seule matrice 4 × 4:

•  Puisque et , la matrice appartient au groupe spécial euclidien de dimension 3:

p⁰ p¹

A⁰₁ = R⁰₁ o⁰₁ 01×3 1

Matrice de

transformation homogène

o⁰₁ ∈ R³ R⁰₁ ∈ SO(3) A⁰₁

SE(3) = R³ × SO(3)

•  La pose du repère 1 par rapport au repère 0 est définie par le couple:

(o

, R

)

Nous avons 6 paramètres: 3 définissant la translation et 3 définissant la rotation (par ex. les angles de roulis-tangage-lacet)

Matrices homogènes

Exemple 1 (Rotation simple autour de l’axe z⁾

y₁

x₁

O₁ z₀

y₀

x₀

O₀

x₁

O₁

z₀

y₀ O₀

z₁

α

Exemple 2 (Translation simple) _y

1

z₁

o⁰₁

A

=

R

(α) 0

0

1

A

=

I

o

0

1

Matrices homogènes

•  La transformation d’un vecteur du repère 1 au repère 0 est exprimée par une seule matrice qui contient la matrice de rotation du repère 1 par rapport au repère 0 et le vecteur de translation de l’origine du repère 0 à l’origine du repère 1:

•  La transformation inverse entre le repère 0 et le repère 1 est décrite par la matrice qui vérifie l’équation:

Matrices homogènes

p

= A

p

A¹₀

p¹ = A¹₀ p⁰ = (A⁰₁)⁻¹ p⁰

•  En utilisant les propriétés des matrices partitionnées*, on trouve que:

(A⁰₁)⁻¹ = (R⁰₁)^T −(R⁰₁)^To⁰₁ 0_1×3 1

= R¹₀ −R¹₀ o⁰₁ 0_1×3 1

*Remarque

M =

A B

C D

∈ R^mn×mn, M⁻¹ =

(A −BD⁻¹C)⁻¹ −A⁻¹B(D −CA⁻¹B)⁻¹

−1 −1 −1 −1 −1

Attention: les matrices homogènes ne satisfont pas la propriété d’orthogonalité. En conséquence, en général:

En conclusion:

•  Une matrice homogène permet d’exprimer la transformation

de coordonnées entre deux repères génériques sous forme compacte

A

= A

•  Si les repères ont la même origine, la matrice homogène

se réduit à la matrice de rotation définie précédemment (voir l’Exemple 1)

•  Comme pour les matrices de rotation, on peut composer une

séquence de transformations de coordonnées grâce au produit matriciel:

p⁰ = A⁰₁ A¹₂ · · · Aⁿ⁻¹_n pⁿ

où Aⁱ⁻¹_i est la matrice de transformation qui met en rélation la déscription d’un point dans le repère avec la

déscription du même point dans le repère i i − 1

Matrices homogènes

Plan du cours

Chapitre 1 : Introduction

1.1 Définitions

1.2 Constituants d’un robot 1.3 Classification des robots 1.4 Caractéristiques d’un robot 1.5 Générations de robots

1.6 Programmation des robots 1.7 Utilisation des robots

Chapitre 2 : Fondements Théoriques 2.1 Positionnement

•  Matrices de rotation et représentations de l’orientation

Plan du cours

Chapitre 3 : Modélisation d’un Robot

2.2 Cinématique

•  Vitesse d’un solide

•  Vecteur vitesse de rotation

•  Mouvement rigide

•  Torseur cinématique

3.1 Modèle géométrique

•  Convention de Denavit-Hartenberg

•  Modèle géométrique direct

•  Modèle géométrique inverse 3.2 Modèle cinématique

•  Modèle cinématique direct

•  Modèle cinématique inverse 3.3 Modèle dynamique

•  Soit une matrice de rotation variable dans le temps

• Si on calcule la derivée par rapport au temps, nous trouvons (règle de la derivée du produit):

Cinématique

•  Grâce à la propriété d’orthogonalité de la matrice , on a que:

•  Soit

Elle est une matrice antisymétrique. En effet:

R(t)

R(t)R^T(t) = I₃

R(t)˙ R^T(t) + R(t) ˙R^T(t) = 0_3×3

S(t) R(t)˙ R^T(t)

S(t) + S^T(t) = 03×3

•  Si on multiplie à droite chaque côté de l’équation précédente par

on trouve: R(t)

R(t) =˙ S(t) R(t)

Ainsi on a écrit la derivée de la matrice de rotation en fonction

R = R(t)

Interpretation physique

• La derivée par rapport au temps de est:

•  Soit un vecteur constant et

•  Si le vecteur est la vitesse angulaire (ou de rotation) du repère

par rapport au repère “fixe” au temps , nous savons de la mécanique que:

•  Donc l’opérateur décrit le produit vectoriel entre le vecteur et le vecteur

•  Les éléments de symétriques par rapport à la diagonale principale répresentent les composants du vecteur:

p p(t) = R(t)p p(t)

p(t) = ˙˙ R(t)p = S(t)R(t)p

ω(t) R(t)

˙

p(t) = ω(t) × R(t)p

S(t) ω

R(t)p S(t)

ω = [ωx, ωy, ωz]^T t

Cinématique

qui justifie l’expression:

S =

⎡

⎢⎣

0 −ωz ωy

ωz 0 −ωx

−ωy ωx 0

⎤

⎥⎦

S(t) = S(ω(t))

•  On peut donc réécrire l’équation précédente:

R˙ = S(ω)R

C’est-à-dire:

Cinématique

Interpretation physique

Exemple

On considère la matrice de rotation élémentaire autour de l’axe z.

Si l’angle , on trouve que: α = α(t)

Donc

ω =

⎡

⎢⎣ 0 0

˙ α

⎤

⎥⎦

qui exprime la vitesse angulaire du repère autour de l’axe z S(t) = ˙Rz(α(t))R^T_z (α(t))

=

⎡

⎣−α˙ sinα −α˙ cosα 0

˙

αcosα −α˙ sinα 0

0 0 0

⎤

⎦

⎡

⎣ cosα sinα 0

−sinα cosα 0

0 0 1

⎤

⎦ =

⎡

⎣0 −α˙ 0

˙

α 0 0

0 0 0

⎤

⎦ = S(ω(t)) z

x y

Cinématique

•  La transformation de coordonnées d’un point P entre les repères 0 et 1 est:

•  Si on calcule la dérivée par rapport au temps de cette expression, on trouve:

Repère 0

Repère 1

p⁰ = o⁰₁ + R⁰₁ p¹

˙

p⁰ = ˙o⁰ + R⁰ p˙¹ + ˙R⁰ p¹

Mouvement rigide

Cinématique

•  Si on utilise l’expression de la dérivée d’une matrice et on spécifie la dépendance à l’égard de la vitesse angulaire, on trouve que:

Repère 0

Repère 1

˙

p⁰ = ˙o⁰₁ + R⁰₁ p˙ ¹ + S(ω⁰₁)R⁰₁ p¹

•  Enfin, si on note le vecteur , nous concluons que: r⁰₁

˙

p⁰ = ˙o⁰ + R⁰ p˙ ¹ + ω⁰ × r⁰

R⁰₁ p¹

Cinématique

Mouvement rigide

Cas particulier: Si est fixé par rapport au repère 1, on trouve que:

Repère 0

Repère 1

car

˙

p⁰ = ˙o⁰₁ + ω⁰₁ × r⁰₁ p¹

˙

p¹ = 0

Cinématique

Mouvement rigide

•  P est un point d’un solide

en mouvement par rapport au repère 0

•  Le repère 1 est attaché au solide

•  Le mouvement du repère 1

par rapport au repère 0 est le suivant:

1.  Translation de vitesse ^{suivant y}₀

2.  Rotation de vitesse autour de y₀ 3.  Pour , repère 0 repère 1 Exemple

On a que:

z₁

y₁

x₁ O₁

z₀

y₀

x₀ O₀

p¹ = [1, 0, 0]^T

ω

v v

≡

ω

R⁰₁(t) =

⎡

⎢⎣

cos(ωt) 0 sin(ωt)

0 1 0

−sin(ωt) 0 cos(ωt)

⎤

⎥⎦, o⁰₁ =

⎡

⎢⎣ 0 vt

0

⎤

⎥⎦

p˙⁰(t) = ˙o⁰₁(t) + ˙R⁰₁(t)p¹ =

⎡

⎢⎣ 0 v

⎤

⎥⎦+

⎡

⎢⎣

−ωsin(ωt) 0 ωcos(ωt)

0 0 0

⎤

⎥⎦

⎡

⎢⎣ 1 0

⎤

⎥⎦ =

⎡

⎢⎣

−ωsin(ωt) v

⎤

⎥⎦

˙

p⁰(0) =

0, v, −ω_T Noter que

P

, p˙¹ = 0

t = 0

Solide

Cinématique

Soit le repère 0 fixe et le repère 1 attaché à un solide.

Le torseur cinématique décrivant le mouvement du solide par rapport au repère 0 est défini par:

Définition (torseur cinématique)

Cas particuliers:

1) Si , alors le torseur est une rotation pure atour d’un axe, et le torseur devient: o˙⁰₁ = 0

2) Si , c’est-à-dire le solide ne tourne pas mais il glisse dans la direction uniquement, alors le torseur devient: ω⁰₁ = 0

o˙⁰₁

Cinématique

z₁

y₁

x₁ O₁

z₀

y₀

x₀ O₀

Solide

V o⁰₁ × ω⁰₁ + ˙o⁰₁ ω⁰₁

∈ R⁶

V = o⁰₁ × ω⁰₁ ω⁰₁

V = o˙⁰₁

Vocabulaire anglophone

•  Torseur : screw

• Le torseur cinématique permet de représenter de façon pratique le champ des vitesses d'un solide indéformable en un instant donné

•  Le torseur cinématique décrit la cinématique du solide, indépendamment des causes du mouvement

•  Torseur cinématique : twist

•  Torseur statique ou d’action (nous avons ici la force et le moment exercés par un solide sur un autre): wrench

The Theory of Screws (1876) Robert Stawell Ball

(1840-1913)

Cinématique

•  De façon similaire à la composition de matrices homogènes, pour les torseurs il existe la loi de composition des mouvements

Remarques