Matrices homogènes

UPJV, Département EEA

M1 3EA, Parcours RoVA, EC15

Fabio MORBIDI

Laboratoire MIS

Équipe Perception Robotique E-mail: fabio.morbidi@u-picardie.fr

Lundi 14h00-16h30 (CM ou TD, salle CURI 305) Lundi 14h00-17h00 (TP, salle TP204)

Plan du cours

Chapitre 1 : Introduction

1.1 Définitions

1.2 Constituants d’un robot 1.3 Classification des robots 1.4 Caractéristiques d’un robot 1.5 Générations de robots

1.6 Programmation des robots 1.7 Utilisation des robots

Chapitre 2 : Fondements Théoriques

2.1 Positionnement

•  Matrices de rotation et autres représentations de l’orientation

•  Transformations homogènes

Chapitre 3 : Modélisation d’un Robot

2.2 Cinématique

•  Vitesse d’un solide

•  Vecteur vitesse de rotation

•  Mouvement rigide

•  Torseur cinématique

3.1 Modèle géométrique

•  Convention de Denavit-Hartenberg

•  Modèle géométrique direct

•  Modèle géométrique inverse 3.2 Modèle cinématique

•  Modèle cinématique direct

•  Modèle cinématique inverse

Plan du cours

solide repère fixe

Pour décrire la pose d’un solide dans l’espace 3D, on a besoin de connaître:

•  [Translation] Position d’un point sur le solide (O’) par rapport au repère fixe

•  [Rotation] Composants des vecteurs unitaires du repère attaché au solide avec origine O’, par rapport au repère fixe

O-xyz

Introduction

• P : point générique dans l’espace 3D

•  , : coordonnées du point P par rapport au repère 0 et 1, respectivement

•  : vecteur qui décrit l’origine du repère 1 par rapport au repère 0

•  : matrice de rotation du repère 1 par rapport au repère 0

p⁰ p¹ o⁰₁ R⁰₁

Repère 0

Repère 1

Soit:

Introduction

On peut écrire la position du point P par rapport au repère 0, comme:

p⁰ = o⁰₁ + R⁰₁ p¹ Transformation de coordonnées d’un vecteur entre le repère 1 et le repère 0 Repère 0

Remarque: Ce type de transformation conserve les distances.

On parle donc de transformation ou de mouvement de corps rigide

Repère 1

Introduction

Matrices homogènes

•  La présence conjointe de produits et de sommes dans l'équation

est peu pratique pour effectuer des calculs systématiques, dûs par exemple à des changements successifs de repère. On lui préfère une représentation

matricielle, basée sur les coordonnées homogènes

•  La représentation en coordonnées homogènes consiste à doter toute notation vectorielle d'un facteur d'échelle, en introduisant une coordonnée supplémentaire

p⁰ = o⁰₁ + R⁰₁ p¹

Alors la représentation du point P à l'aide de

coordonnées homogènes est faite par:

p =

⎡

⎣ a bc

⎤

⎦

où .

•  Soit par exemple P un point dans l’espace 3D de coordonnées:

p =

⎡

⎢⎢

⎣ xy wz

⎤

⎥⎥

⎦ ^avec w = 0

x = wa, y = wb, z = wc

•  Pour avoir une représentation compacte de la relation entre les coordonnées du même point P dans deux repères, on utilise donc la représentation

homogène suivante:

p = p 1

On rajoute une 4^e coordonnée de valeur égale à 1 au vecteur

Matrices homogènes

“tilde”

p

•  En pratique, on choisit un facteur d'échelle unitaire (à savoir ) w = 1

p ∈ R³

•  Si on utilise cette représentation pour les vecteurs et , on peut écrire la transformation de coordonnées en utilisant une seule matrice 4 × 4:

•  Comme et , la matrice appartient au groupe spécial euclidien de dimension 3:

p⁰ p¹

A⁰₁ = R⁰₁ o⁰₁ 01×3 1

Matrice de

transformation homogène

o⁰₁ ∈ R³ R⁰₁ ∈ SO(3) A⁰₁

SE(3) = R³ × SO(3)

•  La pose du repère 1 par rapport au repère 0 est définie par le couple:

Nous avons 6 paramètres au total: 3 définissant la translation et 3 définissant la rotation (par ex. les angles de roulis-tangage-lacet)

(o

, R

)

Notation: on utilisera les symboles ou pour indiquer une matrice homogène A T

Matrices homogènes

Exemple 1 (Rotation pure autour de l’axe )

y₁

x₁

O₁

z₀

y₀

x₀

O₀

x₁

O₁

z₀

y₀ x₀

O₀

z₁

α

Exemple 2 (Translation simple) y₁ z₁

o⁰₁

A⁰₁ =

Rz(α) 03×1

01×3 1

A⁰₁ =

I3 o⁰₁ 01×3 1

Matrices homogènes

z

Exemple 1 (Rotation pure autour de l’axe )

y₁

x₁

O₁

z₀

y₀

x₀

O₀

x₁

O₁

z₀

y₀ x₀

O₀

z₁

α

Exemple 2 (Translation simple) y₁ z₁

o⁰₁

A⁰₁ =

Rz(α) 03×1

01×3 1

A⁰₁ =

I3 o⁰₁ 01×3 1

Matrices homogènes

z

Exemple 3 (Rotation et translation)

A⁰₁ = Rz(α) o⁰₁ 01×3 1

O₁

z₀

y₀ x

O₀

z₁

o⁰₁

y₁

x₁

α

•  La transformation d’un vecteur du repère 1 au repère 0 est exprimée par une seule matrice qui contient la matrice de rotation du repère 1 par rapport au repère 0 et le vecteur de translation de l’origine du repère 0 à l’origine du repère 1:

•  La transformation inverse entre le repère 0 et le repère 1 est décrite par la matrice qui vérifie l’équation:

p⁰ = A⁰₁ p¹

A¹₀

p¹ = A¹₀ p⁰ = (A⁰₁)⁻¹ p⁰

•  En utilisant les propriétés des matrices partitionnées*, on trouve que:

(A⁰₁)⁻¹ = (R⁰₁)^T −(R⁰₁)^To⁰₁ 0_1×3 1

= R¹₀ −R¹₀ o⁰₁ 0_1×3 1

M =

A B C D

∈ R^mn×mn, M⁻¹ =

(A−BD⁻¹C)⁻¹ −A⁻¹B(D−CA⁻¹B)⁻¹

−D⁻¹C(A−BD⁻¹C)⁻¹ (D−CA⁻¹B)⁻¹

A ∈ R^m×m, D ∈ R^n×n sont deux matrices inversibles

Matrices homogènes

où Si

Attention: les matrices homogènes ne satisfont pas la propriété d’orthogonalité. En conséquence, en général:

En conclusion:

•  Une matrice homogène permet d’exprimer la transformation

de coordonnées entre deux repères génériques sous forme compacte

•  Si les repères ont la même origine, la matrice homogène se réduit

à la matrice de rotation (4 × 4) définie précédemment (voir l’Exemple 1)

•  Comme pour les matrices de rotation, on peut composer une

séquence de transformations de coordonnées grâce au produit matriciel:

p⁰ = A⁰₁ A¹₂ · · · Aⁿ⁻¹_n pⁿ

où Aⁱ⁻¹_i est la matrice de transformation qui met en relation la description d’un point dans le repère avec la

description du même point dans le repère i i − 1

Matrices homogènes

A^T = A⁻¹

Plan du cours

Chapitre 1 : Introduction

1.1 Définitions

1.2 Constituants d’un robot 1.3 Classification des robots 1.4 Caractéristiques d’un robot 1.5 Générations de robots

1.6 Programmation des robots 1.7 Utilisation des robots

Chapitre 2 : Fondements Théoriques

2.1 Positionnement

•  Matrices de rotation et autres représentations de l’orientation

•  Transformations homogènes

Chapitre 3 : Modélisation d’un Robot

2.2 Cinématique

•  Vitesse d’un solide

•  Vecteur vitesse de rotation

•  Mouvement rigide

•  Torseur cinématique

3.1 Modèle géométrique

•  Convention de Denavit-Hartenberg

•  Modèle géométrique direct

•  Modèle géométrique inverse 3.2 Modèle cinématique

•  Modèle cinématique direct

•  Modèle cinématique inverse

Plan du cours

•  Soit une matrice de rotation variable dans le temps

• Si on calcule la derivée par rapport au temps, nous trouvons (rappel la règle de la derivée du produit):

Cinématique

•  Grâce à la propriété d’orthogonalité de la matrice , on a que:

•  Soit

Elle est une matrice antisymétrique. En effet:

R(t)

R(t)R^T(t) = I₃

R(t)˙ R^T(t) + R(t) ˙R^T(t) = 03×3

S(t) R(t)˙ R^T(t)

S(t) + S^T(t) = 0_3×3

•  Si on multiplie à droite chaque côté de l’équation précédente par

on trouve: R(t)

R(t) =˙ S(t) R(t)

Ainsi on a écrit la derivée de la matrice de rotation en fonction de la matrice de rotation elle-même

R = R(t)

Interprétation physique

• La derivée par rapport au temps de est:

•  Soit un vecteur constant et

•  Si le vecteur est la vitesse angulaire (ou de rotation) du repère

par rapport au repère “fixe” au temps , nous savons de la mécanique que:

•  Donc l’opérateur décrit le produit vectoriel entre le vecteur et le vecteur

•  Les éléments de symétriques par rapport à la diagonale principale répresentent les composants du vecteur:

p p(t) = R(t)p p(t)

˙

p(t) = ˙R(t)p = S(t)R(t)p

ω(t) R(t)

p(t) =˙ ω(t) × R(t)p

R(t)pS(t)

S(t)

ω = [ωx, ωy, ωz]^T t

Cinématique

ω(t)

qui justifie l’expression:

S =

⎡

⎢⎣

0 −ωz ωy

ωz 0 −ωx

−ωy ωx 0

⎤

⎥⎦

S(t) = S(ω(t))

•  On peut donc réécrire l’équation précédente:

R˙ = S(ω)R

C’est-à-dire:

Cinématique

Exemple

On considère la matrice de rotation élémentaire autour de l’axe .

Si l’angle , on trouve que: α = α(t)

Donc

ω =

⎡

⎢⎣ 0 0

˙ α

⎤

⎥⎦

qui exprime la vitesse angulaire du repère autour de l’axe S(t) = ˙R_z(α(t))R^T_z (α(t))

=

⎡

⎣−α˙ sinα −α˙ cosα 0

˙

αcosα −α˙ sinα 0

0 0 0

⎤

⎦

⎡

⎣ cosα sinα 0

−sinα cosα 0

0 0 1

⎤

⎦ =

⎡

⎣0 −α˙ 0

˙

α 0 0

0 0 0

⎤

⎦ = S(ω(t))

Cinématique

z

z

˙ α

x y

z

•  La transformation de coordonnées d’un point P entre les repères 0 et 1 est:

•  Si on calcule la dérivée par rapport au temps de cette expression, on trouve:

Repère 0

Repère 1

p⁰ = o⁰₁ + R⁰₁ p¹

p˙ ⁰ = ˙o⁰₁ + R⁰₁ p˙¹ + ˙R⁰₁ p¹

Mouvement de corps rigide

Cinématique

•  Si on utilise l’expression de la dérivée d’une matrice et on spécifie la dépendance à l’égard de la vitesse angulaire, on trouve que:

Repère 0

Repère 1

p˙ ⁰ = ˙o⁰₁ + R⁰₁ p˙ ¹ + S(ω⁰₁)R⁰₁ p¹

•  Enfin, si on note le vecteur , nous concluons que: r⁰₁ p˙⁰ = ˙o⁰₁ + R⁰₁ p˙ ¹ + ω⁰₁ × r⁰₁

R⁰₁ p¹

Cinématique

Mouvement de corps rigide

Cas particulier: Si est fixe par rapport au repère 1, on trouve que:

Repère 0

Repère 1

car

p˙ ⁰ = ˙o⁰₁ + ω⁰₁ × r⁰₁ p¹

˙

p¹ = 0

Cinématique

Mouvement de corps rigide

O₁

• P est un point d’un solide en mouvement par rapport au repère 0

•  Le repère 1 est attaché au solide

•  Le mouvement du repère 1

par rapport au repère 0 est le suivant:

1.  Rotation de vitesse autour de 2.  Translation de vitesse suivant

3.  Pour , repère 0 repère 1 Exemple

Nous avons que:

p¹ = [1, 0, 0]^T

ω

v v

≡

ω

R⁰₁(t) =

⎡

⎢⎣

cos(ωt) 0 sin(ωt)

0 1 0

−sin(ωt) 0 cos(ωt)

⎤

⎥⎦, o⁰₁ =

⎡

⎢⎣ 0 vt

0

⎤

⎥⎦

˙

p⁰(t) = ˙o⁰₁(t) + ˙R⁰₁(t)p¹ =

⎡

⎢⎣ 0 v 0

⎤

⎥⎦+

⎡

⎢⎣

−ωsin(ωt) 0 ωcos(ωt)

0 0 0

−ωcos(ωt) 0 −ωsin(ωt)

⎤

⎥⎦

⎡

⎢⎣ 1 0 0

⎤

⎥⎦ =

⎡

⎢⎣

−ωsin(ωt) v

−ωcos(ωt)

⎤

⎥⎦ p˙⁰(0) =

0, v, −ω_T

En particulier ...

P

, p˙¹ = 0

t = 0

Solide

Cinématique

y₀ y₀

z0

x₀ y₀

O0

x₁ y₁

z1

O₁ Soit le repère 0 fixe et le repère 1 attaché à un solide

indeformable. Le torseur cinématique décrivant le mouvement du solide par rapport au repère 0 est défini par:

Définition (torseur cinématique)

Deux cas particuliers:

1) Si , alors le torseur est une rotation pure atour d’un axe, et le torseur devient: o˙⁰₁ = 0

2) Si , c’est-à-dire le solide ne tourne pas mais il glisse dans la direction ω⁰₁ = 0 uniquement, le torseur devient:

˙ o⁰₁

Cinématique Solide

(glisseur)

V = o⁰₁ × ω⁰₁ ω⁰₁

V o˙⁰₁ + o⁰₁ × ω⁰₁

ω⁰₁

∈ R⁶

o⁰₁

V = o˙⁰₁ 03×1

z0

x₀

y0

O0

x1

y1

z1

Vocabulaire anglophone

torseur = screw; torseur cinématique = twist; torseur statique = wrench

•  Le torseur cinématique représente la vitesse d’un solide comme une vitesse angulaire autour d’un axe et une vitesse linéaire le long du même axe

•  Le torseur cinématique permet de représenter de façon pratique le champ des vitesses d'un solide indéformable en un instant donné

•  Le torseur cinématique décrit la cinématique du solide indépendamment des causes du mouvement

•  La loi de composition des mouvements permet de combiner plusieurs torseurs cinématiques

The Theory of Screws (1876) Robert Stawell Ball

(1840-1913)

Cinématique

•  Le torseur cinématique est un membre de la famille des torseurs. D’autres torseurs utilisés en mécanique:

  Torseur statique ou d’action (ensemble des forces et couples qui résultent de l’application des lois de Newton sur un solide)

  Torseur cinétique   Torseur dynamique