Organisation du cours

Licence Professionnelle Automatisme et Robotique Session 2016 - Amiens

Fabio MORBIDI

Laboratoire MIS

Équipe Perception et Robotique Université de Picardie Jules Verne E-mail: [email protected]

ME 1.1

Organisation du cours

Date matin -

après midi CM TD Contrôle Lieu

15 oct. 2015 matin X Promeo

29 oct. 2015 matin X Promeo

10 déc. 2015 matin X X Promeo

11 déc. 2015 matin DS Promeo

28 jan. 2016 matin TP1 Dpt. EEA

11 fév. 2016 matin TP2 Dpt. EEA

10 mar. 2016 matin & a.m. X TP3 Dpt. EEA

Matin: 8h30-12h15, pause 10h15-10h30

Après midi: 13h15-17h00, pause 15h15-15h30

Plan du cours

•  Caractéristiques des robots (charge, volume de travail, répétabilité, masse, coût, etc.)

•  Les baies de commandes (structure de base, modes de marche), le pupitre mobile et

ses fonctions

•  Gammes de robots et secteurs d’activités

•  Étude d’une cellule spécifique de soudage par points [TDs]

•  Les cartes d’entrées/sorties et communication

•  Introduction

•  Espace articulaire et opérationnel

•  Les différentes systèmes d’axes et repères

scalaires

Notation

0 n×m ∈ R ^n×m I

_n

∈ R

^n×n

vecteur colonne de dimension

matrice avec lignes et colonnes

matrice identité matrice de zéros

n × n n × m n

n

a, λ, M ∈ R

A ∈ R

^n×m

A

^T

∈ R

^m×n

transposée de la matrice

x ∈ R

ⁿ

inverse de (de rang plein) B ∈ R

^n×n

A ∈ R

^n×m

, B

⁻¹

m

• Un manipulateur peut être représenté comme une chaîne cinématique de segments reliés par l'intermédiaire d'articulations rotoïdes ou prismatiques

•  Le mouvement résultant de la structure est obtenu par composition des mouvements élémentaires de chaque segment par rapport au précédent

•  Afin de manipuler un objet dans l'espace, il est nécessaire de décrire la position et l'orientation (pose) de l'effecteur

base

effecteur

x

e

y

e

z

e

Oe

θ

1

θ

2

θ

4

d

3

Objectif final: exprimer la pose de l’effecteur en fonction des variables Manipulateur

générique

?

Positionnement

La pose d'un solide (ou corps rigide) dans l'espace 3-D peut être complètement décrite par 6 paramètres indépendants:

•  3 paramètres indépendants définissent la position d'un point, noté O’, du solide dans le repère fixe O- xyz (par ex.

coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques)

•  3 paramètres indépendants déterminent l'orientation du solide autour du point O’ (par ex. angles d’Euler)

O O

y

z

z

y x

x

solide

solide

La position du point O’ du solide par rapport au repère fixe O- xyz

s’exprime par l’équation:

o

= o

_x

x + o

_y

y + o

_z

z

où sont les vecteurs unitaires (la norme est 1) des axes du repère O- xyz et sont le composants du vecteur le long de chacun des trois axes

x, y, z

o

_x

, o

_y

, o

_z

_o

_{∈ R}

³

repère fixe

• Afin de décrire l'orientation du solide, considérons un repère attaché au corps et exprimons ses vecteurs unitaires par rapport au repère O-

xyz

•  Soit O’-

x’y’z’

un tel repère avec origine O’ et soient les vecteurs unitaires des axes

•  Ces vecteurs sont exprimés par rapport au repère O-

xyz

par les équations:

x

, y

, z

x

= x

_x

x + x

_y

y + x

_z

z y

= y

_x

x + y

_y

y + y

_z

z z

= z

_x

x + z

_y

y + z

_z

z

• Sous forme compacte, les vecteurs unitaires qui décrivent

l'orientation du solide par rapport à O-

xyz,

peuvent être combinés dans la matrice 3 3:

x

, y

, z

R = [x

y

z

] =

⎡

⎢ ⎣

x

_x

y

_x

z

_x

x

_y

y

_y

z

_y

x

_z

y

_z

z

_z

⎤

⎥ ⎦ =

⎡

⎢ ⎣

x

^T

x y

^T

x z

^T

x x

^T

y y

^T

y z

^T

y x

^T

z y

^T

z z

^T

z

⎤

⎥ ⎦

qui est appelée matrice de rotation

Rotations élémentaires

•  Considérons les rotations qu’on peut obtenir à partir de rotations élémentaires autour des axes

x

,

y

,

z

•  Ces rotations sont positives s’ils sont faites autour des axes relatifs dans le sens anti-horaire

Exemple : le repère O-

xyz

est pivoté d’un angle

α

autour de l’axe

z

et O-

x’y’z’

est le repère qui résulte de cette rotation

Rotations élémentaires

•  Les vecteurs unitaires de O-x’y’z’ peuvent être exprimés par rapport au repère O-xyz comme:

x =

⎡

⎢⎣

cosα sinα

0

⎤

⎥⎦, y =

⎡

⎢⎣

−sinα cosα

0

⎤

⎥⎦, z =

⎡

⎢⎣ 0 0 1

⎤

⎥⎦

•  La matrice de rotation de O-x’y’z’ par rapport à O-

xyz

engendrée est donc:

R

z

(α) =

⎡

⎢ ⎣

cos α − sin α 0 sin α cos α 0

0 0 1

⎤

⎥ ⎦

De la même façon, on peut trouver la matrice de rotation autour de

l’axe

y

d’un angle

et la matrice de rotation autour de l’axe

x

d’un angle

Remarque: ces matrices sont très utiles pour décrire des rotations dans l’espace 3D autour d’axes arbitraires

β γ

Rotations élémentaires: sommaire

R

z

(α) =

⎡

⎢ ⎣

cos α − sin α 0 sin α cos α 0

0 0 1

⎤

⎥ ⎦

Matrice de rotation autour de l’axe

x

d’un angle

Remarque:

Pour les rotations élémentaires, la propriété suivante est vérifiée:

R

x

(γ ) =

⎡

⎢ ⎣

1 0 0

0 cos γ − sin γ 0 sin γ cos γ

⎤

⎥ ⎦

R

y

(β ) =

⎡

⎢ ⎣

cos β 0 sin β

0 1 0

− sin β 0 cos β

⎤

⎥ ⎦

R

k

(−θ) = R

^T_k

(θ), k ∈ {x, y, z }

Matrice de rotation autour de l’axe

y

d’un angle

Matrice de rotation autour de l’axe

z

^{d’un angle}

γ

β

α

Représentation d’un vecteur

Hypothèse simplificatrice: l’origine du repère du solide coïncide avec l'origine du repère fixe. Donc

On peut représenter le point 3D P comme:

p =

⎡

⎢ ⎣ p

_x

p

_y

p

_z

⎤

⎥ ⎦

par rapport à O-

xyz

par rapport à O-

x’y’z’

et

p

=

⎡

⎢ ⎣ p

_x

p

_y

p

_z

⎤

⎥ ⎦

o

= 0

3×1

= [0, 0, 0]

^T

Représentation d’un vecteur

Mais cela signifie que (rappel les équations précédentes):

représente la matrice de transformation qui permet d’exprimer les coordonnées du point P dans le repère O-xyz, en function des coordonnées du même point dans le repère O-x’y’z’

Mais et sont deux représentations du même point P, donc

p p

p = R p

est une matrice orthogonale. Donc la transformation inverse est simplement:

R

p

= R

^T

p

R

p = p

_x

x

+ p

_y

y

+ p

_z

z

=

x

y

z

p

Représentation d’un vecteur

Exemple:

Deux repères avec la même origine et une rotation relative d’un angle

α

autour de l’axe

z

p p

, : vecteurs des coordonnées du point P dans les

repères O-

xyz

et O-

x’y’z’

Remarque:

La matrice représente non seulement l'orientation d'un repère par rapport à un autre, mais elle décrit également la transformation d'un vecteur dans un repère en un autre avec la même origine

p

_x

= p

_x

cos α − p

_y

sin α p

_y

= p

_x

sin α + p

_y

cos α p

_z

= p

_z

R

z

(α)

On trouve que:

Composition de matrices de rotation

Problème: Comment composer plusieurs rotations ?

Considérons trois repères O-x₀ y₀ z₀, O-x₁ y₁ z₁ , O-x₂ y₂z₂ avec la même origine O coordonnées d’un point

P

dans les trois repères

p

⁰

, p

¹

, p

²

∈ R

³

:

O-x₀ y₀ z₀ O-x₁ y₁ z₁

O-x₂ y₂ z₂

O

P

Composition de matrices de rotation

Soit la matrice de rotation du repère

R

^j_i

par rapport au repère

Donc

De la même façon, on obtient

p

¹

= R

¹₂

p

²

p

⁰

= R

⁰₁

p

¹

p

⁰

= R

⁰₂

p

²

Mais alors:

R

⁰₂

= R

⁰₁

R

¹₂

i j

Composition de matrices de rotation

Considérons un repère initialement aligné avec O-x₀ y₀ z₀

La rotation définie par peut être interprétée comme obtenue en deux étapes:

1.  Tourne le repère avec pour l’aligner avec O-x₁ y₁ z₁

2.  Tourne le repère, maintenant aligné avec O-x₁ y₁ z₁, en utilisant pour l’aligner avec O-x₂ y₂ z₂

R

⁰₂

R

⁰₁

R

¹₂

Remarque:

•  La rotation d'ensemble peut être exprimée comme une séquence de rotations partielles

•  Chaque rotation est définie par rapport à la précédente

•  Le repère par rapport à lequel la rotation se produit est appelé repère courant

• La composition de rotations successives est obtenue par multiplication à droite des matrices de rotation en suivant l'ordre donné des rotations

•  Avec notre notation, on a que:

R

^j_i

= (R

ⁱ_j

)

⁻¹

= (R

ⁱ_j

)

^T

Composition de matrices de rotation

Remarque:

•  Les rotations successives peuvent aussi être specifiées toujours par rapport au repère initiale

•  On dit donc que les rotations sont faites par rapport au repère fixe

•  La composition de rotations successives est obtenue par multiplication à gauche des singles matrices de rotation en suivant l’ordre donné des

matrices de rotation

Problème de base: le produit matriciel n’est pas commutatif !

•  Deux rotations, en général, ne commutent pas et la composition dépend de l’ordre des singles rotations:

R

⁰₁

R

¹₂

= R

¹₂

R

⁰₁

Composition de matrices de rotation

•  Rotations successives d'un objet autour des axes du repère courant

a)

b)

=

Composition de matrices de rotation

•  Rotations successives d'un objet autour des axes du repère fixe

a)

b)

=

Matrices homogènes

solide repère fixe

Pour décrire la pose (ou attitude) d’un solide dans l’espace 3D, on a besoin de connaître:

•  [Translation] Position d’un point sur le solide (O’) par rapport au repère fixe

•  [Rotation] Composants des vecteurs unitaires du repère attaché au corps avec origine O’, par rapport au repère fixe

•  : point générique dans l’espace 3D

•  , : coordonnées du point P par rapport au repère 0 et 1

•  : vecteur qui décrit l’origine du repère 1par rapport au repère 0

•  : matrice de rotation du repère 1 par rapport au repère 0

p

⁰

p

¹

o

⁰₁

R

⁰₁

Repère 0

Repère 1

Soit:

Matrices homogènes

P

•  On peut écrire la position du point

P

par rapport au repère 0 comme:

p

⁰

= o

⁰₁

+ R

⁰₁

p

¹ Transformation de coordonnées

(translation + rotation) d’un vecteur entre le repère 0 et le repère 1

Matrices homogènes

•  Pour avoir une représentation compacte de la relation entre les coordonnées du même point P dans les deux repères, nous pouvons introduire la

représentation homogène d’un vecteur générique :

p

p =

p

1

On rajoute une 4ème coordonnée valant 1 au vecteur

Matrices homogènes

“tilde”

p

•  Si on utilise cette représentation pour les vecteurs et , on peut écrire la transformation de coordonnées en utilisant une seule matrice 4 × 4:

p

⁰

p

¹

A

⁰₁

=

R

⁰₁

o

⁰₁

0

1×3

1

Matrice de

transformation homogène

•  La pose (ou attitude) du repère 1 par rapport au repère 0 est définie par la couple:

(o

⁰₁

, R

⁰₁

)

•  La pose est définie par 6 paramètres:

•  3 définissant la translation

•  3 définissant la rotation

Matrices homogènes

•  La transformation d’un vecteur du repère 0 au repère 1 est exprimée par une seule matrice qui contient la matrice de rotation du repère 1 par rapport au repère 0 et le vecteur de translation de l’origine du repère 0 à l’origine du repère 1:

•  La transformation inverse entre le repère 0 et 1 est décrite par la matrice qui satisfait l’équation:

Matrices homogènes

p

⁰

= A

⁰₁

p

¹

A

¹₀

p

¹

= A

¹₀

p

⁰

= (A

⁰₁

)

⁻¹

p

⁰

•  En utilisant les propriétés des matrices partitionnées on trouve que:

(A

⁰₁

)

⁻¹

=

(R

⁰₁

)

^T

−(R

⁰₁

)

^T

o

⁰₁

0

_1×3

1

=

R

¹₀

−R

¹₀

o

⁰₁

0

_1×3

1

Attention: les matrices homogènes ne satisfont pas la propriété d’orthogonalité. En conséquence, en général:

En conclusion:

Matrices homogènes

•  Une matrice homogène permet d’exprimer la transformation de coordonnées entre deux repères sous forme compacte

A

⁻¹

= A

^T

•  Si les repères ont la même origine la matrice homogène se réduite à la matrice de rotation précédemment définie

•  Comme pour les matrices de rotation, on peut composer une séquence de transformations de coordonnées grâce au produit matriciel:

p

⁰

= A

⁰₁

A

¹₂

· · · A

ⁿ⁻¹_n

p

ⁿ

où

A

ⁱ⁻¹_i est la matrice de transformation qui met en rélation la déscription d’un point dans le repère avec la

déscription du même point dans le repère

i i − 1

base

effecteur

θ

1

θ

2

θ

4

d

3

Modèle géométrique direct: etant données les positions articulaires (distance resp. angle pour une articulation prismatique resp. rotoïde) trouver la pose de l’effecteur par rapport à la base

Modèle géométrique

Modèle géométrique inverse: etant donnée une pose de l’effecteur par rapport à la base, trouver, si elles existent, l’ensembles de positions articulaires qui permettent de générer cette pose

Modèle géométrique direct

Manipulateur à chaîne ouverte avec n + 1 segments liés par n articulations

•  Par convention, le segment 0 est fixé au sol

•  Assumption: chaque articulation fournit à la structure mécanique 1 DDL qui corresponde à la variable de l’articulation

Fixé au sol

1.  Définir les repères associés à chaque segment:

2.  Determiner la transformation de coordonnées entre deux segments consecutifs

3. Determiner, d’une façon recursive, la transformation totale entre le repère n et le repère 0, c’est-à-dire:

Procedure pour déterminer le modèle géométrique direct:

Modèle géométrique direct

A

ⁱ⁻¹_i

(q

_i

), i ∈ {1, . . . , n}

0, 1, . . . , n

T

⁰_n

(q) = A

⁰₁

(q

₁

) A

¹₂

(q

₂

) · · · A

ⁿ⁻¹_n

(q

_n

)

Mais:

•  Comment définir les repères avec des manipulateurs complexes, avec un grand nombre d’articulations ?

•  Il faut trouver une procedure systematique et générale 1.  Définir les repères associés à chaque segment:

Procedure à suivre pour déterminer le modèle géométrique direct:

θ

1

θ

₂

θ

4

d

3

Modèle géométrique direct

0, 1, . . . , n

segm.

artic.

i

^{– 1}

segm.

artic.

i

artic.

i

^{+ 1}

θ

i

a

i

a

_i−1

Transformation homogène de DH

Aⁱ⁻¹_i =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

cosθi −sinθi 0 0 sinθi cosθi 0 0

0 0 1 di

0 0 0 1

⎤

⎥⎥

⎥⎦

1ère étape

Aⁱ_i =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

1 0 0 ai

0 cosαi −sinαi 0 0 sinαi cosαi 0

0 0 0 1

⎤

⎥⎥

⎥⎦

A ⁱ⁻¹ _i (q _i )

A

ⁱ⁻¹_i

= A

ⁱ⁻¹_i

A

ⁱ_i

2ème étape

; ;