UPJV, Département EEA M1 EEAII

UPJV, Département EEA M1 EEAII

Parcours ViRob

Fabio MORBIDI

Laboratoire MIS

Équipe Perception Robotique E-mail: [email protected]

Année Universitaire 2016/2017

Mardi 9h00-12h00, Mercredi 13h30-16h30, Salle 8

Plan du cours

Chapitre 1 : Introduction

1.1 Définitions

1.2 Constituants d’un robot 1.3 Classification des robots 1.4 Caractéristiques d’un robot 1.5 Générations de robots

1.6 Programmation des robots 1.7 Utilisation des robots

Chapitre 2 : Fondements Théoriques

2.1 Positionnement

•  Matrices de rotation et représentations de l’orientation

•  Matrices homogènes

Plan du cours

Chapitre 3 : Modélisation d’un Robot

2.2 Cinématique

•  Vitesse d’un solide

•  Vecteur vitesse de rotation

•  Mouvement rigide

•  Torseur cinématique

3.1 Modèle géométrique

•  Convention de Denavit-Hartenberg

•  Modèle géométrique direct

•  Modèle géométrique inverse 3.2 Modèle cinématique

•  Modèle cinématique direct

•  Modèle cinématique inverse 3.3 Modèle dynamique

•  Formulation de Lagrange

scalaires (nombres réels)

Notation

0 _n×m ∈ R ^n×m I _n ∈ R ^n×n

vecteur colonne de dimension

matrice avec lignes et colonnes

matrice identité matrice de zéros

norme euclidienne du vecteur

n × n n × m n

n

a, λ, M ∈ R

A ∈ R ^n×m

A ^T ∈ R ^m×n transposée de la matrice

produit scalaire des vecteurs x, y ∈ R

ⁿ

x ∈ R ⁿ

x =

x, x

déterminant et inverse de

x ∈ R

ⁿ

A ∈ R

^n×m

m

x × y produit vectoriel des vecteurs

det(A), A

⁻¹

A ∈ R

^n×n

x, y = x

^T

y

, x =

⎡

⎣ x

1

.. . x

n

⎤

⎦

x, y ∈ R

³

• 

Un manipulateur peut être représenté comme une chaîne cinématique de segments reliés par l'intermédiaire d'articulations rotoïdes ou prismatiques

•  Le mouvement résultant de la structure est obtenu par composition des mouvements élémentaires de chaque segment par rapport au précédent

•  Afin de manipuler un objet dans l'espace, il est nécessaire de décrire la position et l'orientation (pose) de l'effecteur

base

effecteur

x

e

y

e

z

e

Oe

θ

₁

θ

₂

θ

4

d

3

Objectif final: Exprimer la pose de l’effecteur en fonction des variables des articulations, par rapport à un repère donné (ex. le repère de la base)

Motivation

?

Robot générique à

n

articulations

q = [θ

1

, θ

2

, d

3

, θ

4

, . . .]

^T

∈ R

ⁿ

vecteur des variables articulaires

2.1 Positionnement

La pose d'un solide (ou corps rigide) dans l'espace 3D peut être complètement décrite par 6 paramètres indépendants:

•  3 paramètres indépendants définissent la position

d'un point, noté O’, du solide dans le repère fixe O- xyz

(ex. coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques)

•  3 paramètres indépendants déterminent l'orientation du solide autour du point O’ (par ex. les angles d’Euler)

O

O

y

z

z

y x

x

solide

repère fixe

solide

La position du point O’ du solide par rapport au repère fixe O- xyz

s’exprime par l’équation:

o = o _x x + o _y y + o _z z

où sont les vecteurs unitaires (la norme est 1) des axes du repère O- xyz et sont le composants du vecteur le long de chacun des trois axes

x, y, z

o

_x

, o

_y

, o

_z

o

∈ R

³

repère fixe

O-xyz

• Afin de décrire l'orientation du solide, considérons un repère attaché au corps et exprimons ses vecteurs unitaires par rapport au repère O-

xyz

•  Soit O

’

-

x’y’z’

un tel repère avec origine O’ et soient les vecteurs unitaires des axes

•  Ces vecteurs sont exprimés par rapport au repère O-

xyz

par les équations:

x

, y

, z

x

= x

_x

x + x

_y

y + x

_z

z y

= y

_x

x + y

_y

y + y

_z

z z

= z

_x

x + z

_y

y + z

_z

z

• 

Sous forme compacte, les vecteurs unitaires qui décrivent

l'orientation du solide par rapport à O-

xyz,

peuvent être combinés dans la matrice 3 3:

x

, y

, z

R = [x

y

z

] =

⎡

⎢ ⎣

x

_x

y

_x

z

_x

x

_y

y

_y

z

_y

x

_z

y

_z

z

_z

⎤

⎥ ⎦ =

⎡

⎢ ⎣

x

^T

x y

^T

x z

^T

x x

^T

y y

^T

y z

^T

y x

^T

z y

^T

z z

^T

z

⎤

⎥ ⎦

qui est appelée matrice de rotation

Propriétés des matrices de rotation

• 

Les colonnes d’une matrice de rotation sont orthogonales à deux à deux:

La norme des colonnes d’une matrice de rotation est égale à 1:

En conséquence, est une matrice orthogonale, c’est-à-dire:

x

^T

y

= 0, y

^T

z

= 0, z

^T

x

= 0

x

^T

x

= 1, y

^T

y

= 1, z

^T

z

= 1 R

R

^T

R = I

3

Si on multiplie à droite chaque côté de l’équation précédente par on trouve que:

c’est-à-dire, la transposée d’une matrice de rotation est égale à son inverse

R

⁻¹

R

^T

= R

⁻¹

•  Si le repère est direct (on use la « règle de la main droite »):

det(R) = 1 SO(n) {R ∈ R

^n×n

: R

^T

R = I

n

, det(R) = 1}

Groupe spécial

orthogonal de dimension

n

Rotations élémentaires

•  Considérons les rotations qu’on peut obtenir à partir de rotations élémentaires autour des axes

x

,

y

,

z

•  Ces rotations sont positives s’ils sont faites autour des axes relatifs dans le sens anti-horaire (le sens contraire des aiguilles d'une montre)

Exemple :

le repère O-

xyz

est pivoté d’un angle

α

autour de l’axe

z

et O-

x’y’z’

est le repère qui résulte de cette rotation

Rotations élémentaires

•  Les vecteurs unitaires de O-

x’y’z’

peuvent être exprimés par rapport au repère O-

xyz

^comme:

x

=

⎡

⎢ ⎣

cos α sin α

0

⎤

⎥ ⎦ , y

=

⎡

⎢ ⎣

− sin α cos α

0

⎤

⎥ ⎦ , z

=

⎡

⎢ ⎣ 0 0 1

⎤

⎥ ⎦

•  La matrice de rotation de O-

x’y’z’

par rapport à O-

xyz

engendrée est donc:

R

z

(α) =

⎡

⎢ ⎣

cos α − sin α 0 sin α cos α 0

0 0 1

⎤

⎥ ⎦

De la même façon, on peut trouver la matrice de rotation autour de

l’axe

y

d’un angle

et la matrice de rotation autour de l’axe

x

d’un angle

Remarque: Ces matrices seront très utiles pour décrire des rotations dans l’espace 3D autour d’axes arbitraires

β γ

Rotations élémentaires: sommaire

R

z

(α) =

⎡

⎢ ⎣

cos α − sin α 0 sin α cos α 0

0 0 1

⎤

⎥ ⎦

Matrice de rotation autour de l’axe

x

d’un angle

Remarque:

Pour les rotations élémentaires, les propriétés suivantes sont vérifiées:

R

x

(γ ) =

⎡

⎢ ⎣

1 0 0

0 cos γ − sin γ 0 sin γ cos γ

⎤

⎥ ⎦

R

y

(β ) =

⎡

⎢ ⎣

cos β 0 sin β

0 1 0

− sin β 0 cos β

⎤

⎥ ⎦

Matrice de rotation autour de l’axe

y

d’un angle

Matrice de rotation autour de l’axe

z

^{d’un angle}

γ

β

α

R

_x

(−γ ) = R

^T_x

(γ), R

_y

(−β ) = R

^T_y

(β ), R

_z

(−α) = R

^T_z

(α)

à imprimer

Représentation d’un vecteur

Hypothèse simplificatrice: l’origine du repère du solide coïncide avec l'origine du repère fixe. Donc

On peut représenter le point 3D

P

comme:

p =

⎡

⎢ ⎣ p

_x

p

_y

p

_z

⎤

⎥ ⎦

par rapport à

O- xyz

par rapport à

O- x’y’z’

et

p

=

⎡

⎢ ⎣ p

_x

p

_y

p

_z

⎤

⎥ ⎦

o

= 0

3×1

= [0, 0, 0]

^T

Représentation d’un vecteur

Mais cela signifie que (rappel les équations précédentes):

représente la matrice de transformation qui permet d’exprimer les coordonnées du point P dans le repère O-

xyz

, en function des coordonnées du même point dans le repère O-

x’y’z’

Mais et sont deux représentations du même point P, donc

p p

p = R p

est une matrice orthogonale. Donc la transformation inverse est simplement:

R

p

= R

^T

p

R

p = p

_x

x

+ p

_y

y

+ p

_z

z

= x

y

z

p

Exemple:

Deux repères avec la même origine et une rotation relative d’un angle

α

autour de l’axe

z

p p

, : vecteurs des coordonnées du point P dans les

repères

O- xyz

et

O- x’y’z’

Remarque:

La matrice représente non seulement l'orientation d'un repère par rapport à un autre, mais elle décrit également la transformation d'un vecteur dans un repère en un autre avec la même origine

p

x

= p

_x

cos α − p

_y

sin α p

y

= p

_x

sin α + p

_y

cos α p

z

= p

_z

R

z

(α)

On trouve facilement que:

Représentation d’un vecteur

Composition de matrices de rotation

Problème: comment composer plusieurs rotations ?

Considérons trois repères O-

x

₀

y

₀

z

₀

,

^O-x₁ y₁ z₁ , O-x₂ y₂z₂ avec la même origine O coordonnées d’un point

P

dans les trois repères

p

⁰

, p

¹

, p

²

∈ R

³

:

O-x₀ y₀ z₀ O-x₁ y₁ z₁

O-x₂ y₂ z₂

O

P

Composition de matrices de rotation

Soit la matrice de rotation du repère

R

^j_i

par rapport au repère Donc

De même, on obtient:

p

¹

= R

¹₂

p

²

p

⁰

= R

⁰₁

p

¹

p

⁰

= R

⁰₂

p

²

Mais alors:

R

⁰₂

= R

⁰₁

R

¹₂

i j

Composition de matrices de rotation

Considérons un repère initialement aligné avec O-x₀ y₀ z₀

La rotation définie par peut être interprétée comme obtenue en deux étapes:

1.  Tourne le repère avec pour l’aligner avec O-x₁ y₁ z₁

2.  Tourne le repère, maintenant aligné avec O-x₁ y₁ z₁, en utilisant pour l’aligner avec O-x₂ y₂ z₂

R

⁰₂

R

⁰₁

R

¹₂

Remarque 1:

•  La rotation d'ensemble peut être exprimée comme une séquence de rotations partielles

•  Chaque rotation est définie par rapport à la précédente

•  Le repère par rapport à lequel la rotation se produit est appelé repère courant

• 

La composition de rotations successives est obtenue par multiplication à droite des matrices de rotation en suivant l'ordre donné des rotations

Composition de matrices de rotation

Remarque 2:

•  Les rotations successives peuvent aussi être specifiées toujours par rapport au repère initiale

•  On dit donc que les rotations sont faites par rapport à un repère fixe

•  La composition de rotations successives est obtenue par multiplication à gauche des singles matrices de rotation en suivant l’ordre donné des rotations

Problème fondamental: le produit matriciel n’est pas commutatif !

•  Deux rotations, en général, ne commutent pas et la composition dépend de l’ordre des singles rotations, à savoir:

R

⁰₁

R

¹₂

= R

¹₂

R

⁰₁

Conformément à notre notation, nous avons que:

R

^j_i

= (R

ⁱ_j

)

⁻¹

= (R

ⁱ_j

)

^T

Remarque 3:

Composition de matrices de rotation

Exemple:

R

_x

(π/4) =

,

⎡

⎢ ⎣

1 0 0

0 √

2/2 − √ 2/2 0 √

2/2 √ 2/2

⎤

⎥ ⎦ R

_y

(π/6) =

⎡

⎢ ⎣

√ 3/2 0 1/2

0 1 0

−1/2 0 √ 3/2

⎤

⎥ ⎦

R

y

(π/6) R

x

(π/4) =

⎡

⎢ ⎣

√ 3/2 √

2/4 √ 2/4

0 √

2/2 − √ 2/2

−1/2 √

6/4 √ 6/4

⎤

⎥ ⎦

R

_x

(π/4) R

_y

(π/6) =

⎡

⎢ ⎣

√ 3/2 0 1/2

√ 2/4 √

2/2 − √ 6/4

− √

2/4 √

2/2 √ 6/4

⎤

⎥ ⎦

=

Composition de matrices de rotation

•  Rotations successives d'un objet autour des axes du repère courant

a)

b)

=

Composition de matrices de rotation

•  Rotations successives d'un objet autour des axes du repère fixe

a)

b)

=

Représentations de l’orientation

•  Les matrices de rotation fournissent une description redondante de l’orientation d’un corps

•  En effet, une matrice de rotation comprend 9 éléments:

•  Mais il y a 6 relations indépendantes entre ces éléments (les contraintes d’orthogonalité et de normalité des colonnes):

R

R =

⎡

⎢ ⎣

r

11

r

12

r

13

r

21

r

22

r

23

r

31

r

32

r

33

⎤

⎥ ⎦

r

11

r

12

+ r

21

r

22

+ r

31

r

32

= 0 r

11

r

13

+ r

21

r

23

+ r

31

r

33

= 0 r

12

r

13

+ r

21

r

23

+ r

31

r

33

= 0

r

₁₁²

+ r

₂₁²

+ r

²₃₁

= 1 r

₁₂²

+ r

₂₂²

+ r

²₃₂

= 1 r

₁₃²

+ r

₂₃²

+ r

²₃₃

= 1

Conclusion: 3 paramètres sont suffisants pour décrire l'orientation d'un corps Une représentation de l'orientation en fonction de 3 paramètres indépendants est dite représentation minimale

•  Une représentation minimale de l’orientation peut être obtenue en utilisant un ensemble de trois angles:

•  Une matrice de rotation générique peut être obtenue en composant une séquence opportune de 3 rotations élémentaires

Attention: il faut garantir que deux rotations successives ne sont pas faites autour d’axes parallèles

•  Cela veut dire que 12 ensembles différents d’angles sont admissibles parmi les 3

³

= 27 combinaisons possibles

•  Chaque ensemble représente un triplet d’angles d’Euler

Deux triplets d’angles d’Euler très utilisés sont:

1.  Les angles ZYZ

2.  Les angles ZYX ou angles roulis-tangage-lacet (roll-pitch-yaw, en anglais)

Leonhard Euler (1707–1783)

Représentations de l’orientation

φ φ φ = [ϕ, θ, ψ]

^T

Angles roulis-tangage-lacet

•  Représentation de l'orientation utilisée en (aéro)nautique pour décrire l’attitude d’un avion

•  Les angles représentent des rotations définies dans un repère fixe attaché au centre de masse de l’avion

x

y z

lacet (yaw)

roulis (roll) tangage

(pitch)

θ ϕ

ψ

(ϕ, θ, ψ)

La rotation décrite par les angles de roulis, tangage et lacet est obtenue comme la composition de 3 rotations élémentaires:

• Tourner le repère d’un angle autour de l’axe

x

(lacet): rotation définie par

• Tourner le repère d’un angle autour de l’axe

y

(tangage): rotation définie par

• Tourner le repère d’un angle autour de l’axe

z

(roulis): rotation définie par

L’orientation résultante du repère est obtenue en composant les rotations

par rapport au repère fixe, et peut être calculée en prémultipliant les matrices de rotation élémentaires:

Angles roulis-tangage-lacet

ψ

θ

R

z

(ϕ) ϕ R

y

(θ) R

x

(ψ)

R(φ) = R

z

(ϕ) R

y

(θ) R

x

(ψ ) =

⎡

⎢ ⎣

c

_ϕ

c

_θ

c

_ϕ

s

_θ

s

_ψ

− s

_ϕ

c

_ψ

c

_ϕ

s

_θ

c

_ψ

+ s

_ϕ

s

_ψ

s

ϕ

c

θ

s

ϕ

s

θ

s

ψ

+ c

ϕ

c

ψ

s

ϕ

s

θ

c

ψ

− c

ϕ

s

ψ

−s

θ

c

θ

s

ψ

c

θ

c

ψ

⎤

⎥ ⎦

où, pour plus de simplicité:

c

ϕ

= cos ϕ, s

θ

= sin θ

R(φ φ φ) = R

z

(ϕ) R

y

(θ) R

x

(ψ) =

Problème inverse: déterminer les angles de roulis, tangage et lacet qui correspondent à une matrice de rotation donnée:

Angles roulis-tangage-lacet

R =

⎡

⎢ ⎣

r

11

r

12

r

13

r

21

r

22

r

23

r

31

r

32

r

33

⎤

⎥ ⎦

Si on compare cette expression avec , on trouve que la solution, pour , est:

ϕ = Atan2(r

21

, r

11

) θ = Atan2

− r

31

,

r

²₃₂

+ r

₃₃²

ψ = Atan2(r

32

, r

33

)

ϕ = Atan2(−r

21

, −r

11

) θ = Atan2

− r

31

, −

r

₃₂²

+ r

²₃₃

ψ = Atan2(−r

₃₂

, −r

₃₃

)

L’autre solution équivalente pour , est:

θ ∈ (−π/2, π/2)

θ ∈ (π/2, 3π/2) R

R(φ φ φ)

Remarque 1:

•  Si les solutions précédentes sont dégénérées: dans ce cas-là on peut uniquemment déterminer la somme ou la différence entre et

•  Les configurations qui correspondent aux angles caractérisent les singularités de représentation des angles d’Euler

•  est la fonction arc tangente à deux arguments

•  calcule l’arc tangente du rapport

mais elle utilise le signe des arguments pour déterminer le bon quadrant de l’angle Remarque 2:

cos θ = 0

ϕ ψ θ = ± π/2

x y

x’

y’

A

B

… mais angle A ou B ?

Atan2(y, x) =

⎧ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎩

arctan(y/x) x > 0

arctan(y/x) + π x ≥ 0, x < 0 arctan(y/x) − π y < 0, x < 0

+π/2 y > 0, x = 0

−π/2 y < 0, x = 0

non defini y = 0, x = 0 arctan(y/x) = arctan(y

/x

)

Atan2(y, x) Atan2(y, x)

y ≥ 0

Angles roulis-tangage-lacet

y/x

non définie

Angle et axe

•  Une représentation non minimale de l’orientation peut être obtenue en utilisant 4 parametrès qui expriment une rotation d’un angle autour d’un axe

générique dans l’espace 3D

•  Cette représentation peut être utile, par exemple, pour planifier la trajectoire de l’effecteur d’un manipulateur

θ

x

y z

r

O

θ

vecteur unitaire ( ) de l’axe de rotation dans le repère

O- x y z

L’angle est considéré comme positif

θ

si la rotation autour de l’axe

r

^{est faite}

dans le sens anti-horaire

r = 1 r = [r

x

, r

y

, r

z

]

^T

r

x

r

y

r

z

Propriété R(θ, r) =

⎡

⎢ ⎣

r

_x²

(1 − c

_θ

) + c

_θ

r

_x

r

_y

(1 − c

_θ

) − r

_z

s

_θ

r

_x

r

_z

(1 − c

_θ

) + r

_y

s

_θ

r

x

r

y

(1 − c

θ

) + r

z

s

θ

r

_y²

(1 − c

θ

) + c

θ

r

y

r

z

(1 − c

θ

) − r

x

s

θ

r

x

r

z

(1 − c

θ

) − r

y

s

θ

r

y

r

z

(1 − c

θ

) + r

x

s

θ

r

²_z

(1 − c

θ

) + c

θ

⎤

⎥ ⎦

•  Une rotation d’un angle autour de l’axe ne peut pas être distinguée d’un rotation d’un angle autour de l’axe

•  La représentation angle-axe n’est pas unique ! A nouveau, pour plus de simplicité:

θ

R(−θ, −r) = R(θ, r)

−θ −r

θ r

Angle et axe

Matrice de rotation qui correspond à un angle et à un axe

r

donnés:

c

θ

= cos θ, s

θ

= sin θ

Problème inverse: determiner l’angle et l’axe qui correspondent à une matrice de rotation donnée:

R =

⎡

⎢ ⎣

r

11

r

12

r

13

r

21

r

22

r

23

r

31

r

32

r

33

⎤

⎥ ⎦

•  Si , on obtient:

θ = arccos

r

₁₁

+ r

₂₂

+ r

₃₃

− 1 2

r = 1 2 sin θ

⎡

⎢ ⎣

r

₃₂

− r

₂₃

r

₁₃

− r

₃₁

r

₂₁

− r

₁₂

⎤

⎥ ⎦ sin θ = 0

angle

axe R

Remarque

Angle et axe

Les deux expressions précédentes décrivent la rotation en fonction de quatre paramètres: l’angle et les trois composantes du vecteur unitaire de l’axe.

Cependant, on peut constater que les trois composantes de

r

ne sont pas indépendantes mais elles sont contraintes par la condition:

r

_x²

+ r

_y²

+ r

_z²

= 1

•  Si , on obtient:

θ = arccos

r

₁₁

+ r

₂₂

+ r

₃₃

− 1 2

r = 1 2 sin θ

⎡

⎢ ⎣

r

₃₂

− r

₂₃

r

₁₃

− r

₃₁

r

₂₁

− r

₁₂

⎤

⎥ ⎦ sin θ = 0

angle

axe

•  Si , les équations précédentes ne sont pas définies

Pour résoudre le problème inverse, il faut travailler avec l’expression particulière de la matrice

R

dont nous disposons et trouver des formules de resolution pour les deux cas et

Si (rotation nulle), le vecteur unitaire

r

est arbitraire (singularité)

sin θ = 0

θ = 0 θ = π

θ = 0

Angle et axe

Quaternion unitaire

•  Les inconvénients de la représentation angle-axe peuvent être surmontés par une autre représentation à 4 paramètres, le quaternion unitaire, défini par:

Q = {η, }

où

η = cos(θ/2)

= [

x

,

y

,

z

]

^T

= sin(θ/2) r

avec la contrainte:

η

²

+

²_x

+

²_y

+

²_z

= 1

dont le nom de quaternion unitaire

Une rotation de autour de donne le même quaternion que celui

associé à une rotation de autour de . Cela règle le problème de non unicité qu’on avait avec la représentation angle-axe

−θ θ −r

r

: partie scalaire du quaternion

: partie vectorielle du quaternion

Remarque

•  Matrice de rotation qui correspond à un quaternion unitaire donné:

William R. Hamilton (1806–1865)

i

²

j

²

k

²

ijk −1

Broom Bridge, Royal Canal, Dublin

•  Il existe également des formules pour le problème inverse: avec les quaternions 1) toute rotation peut être décrite, et 2) il n’y a pas de singularités

R(η, ) =

⎡

⎢ ⎣

2(η

²

+

²_x

) − 1 2(

_x

_y

− η

_z

) 2(

_x

_z

+ η

_y

) 2(

_x

_y

+ η

_x

) 2(η

²

+

²_y

) − 1 2(

_y

_z

− η

_x

) 2(

x

z

− η

y

) 2(

y

z

+ η

x

) 2(η

²

+

²_z

) − 1

⎤

⎥ ⎦ Q = {η, }

(16 October 1843)

Remarque: Les quaternions et donnent la même matrice de rotation (autre que cette ambiguité, la relation entre rotations et quaternions est unique)

Q −Q

Quaternion unitaire

Représentations de l’orientation

Sommaire des propriétés des quatre représentations de l’orientation d’un corps rigide

Représent. Matrice de rotation

Angles d’Euler (ZYZ,

ZYX, etc.) Angle-axe Quaternion unitaire

Globale Oui Non Non Oui

Unique Oui Non Non Non

Minimale Non Oui Non Non