UPJV, Département EEA M1 EEAII

UPJV, Département EEA M1 EEAII

Parcours ViRob

Fabio MORBIDI

Laboratoire MIS

Équipe Perception et Robotique E-mail: fabio.morbidi@u-picardie.fr

Année Universitaire 2015/2016

Mardi 9h00-12h00, Mercredi 13h30-16h30, Salle 8

Plan du cours

Chapitre 1 : Introduction

1.1 Définitions

1.2 Constituants d’un robot 1.3 Classification des robots 1.4 Caractéristiques d’un robot 1.5 Générations de robots

1.6 Programmation des robots 1.7 Utilisation des robots

Chapitre 2 : Fondements Théoriques 2.1 Positionnement

•  Rotation et représentations de la rotation

•  Attitude et matrices homogènes

Plan du cours

Chapitre 3 : Modélisation d’un Robot

2.2 Cinématique

•  Vitesse d’un solide

•  Vecteur vitesse de rotation

•  Mouvement rigide

•  Torseur cinématique

3.1 Modèle géométrique

•  Convention de Denavit-Hartenberg

•  Modèle géométrique direct

•  Modèle géométrique inverse 3.2 Modèle cinématique

•  Modèle cinématique direct

•  Modèle cinématique inverse 3.3 Modèle dynamique

•  Formulation de Lagrange

Introduction: nécessité d’un modèle

La conception et la commande des robots nécessitent le calcul de certains modèles mathématiques, tels que :

•  Les modèles géométriques direct et inverse qui expriment la pose de l’effecteur en fonction de la configuration du mécanisme et inversement

•  Les modèles cinématiques direct et inverse qui expriment la vitesse de

l’effecteur en fonction de la vitesse articulaire et inversement

•  Les modèles dynamiques définissant les équations du mouvement du robot,

qui permettent d'établir les relations entre les couples ou forces exercés par

les actionneurs, et les positions, vitesses et accélérations des articulations

effecteur

Définir les différentes tâches d'un robot réclame de pouvoir positionner l’éffecteur par rapport à un repère de référence

Mais:

•  Les informations proprioceptives (issues du S.M.A.) sont généralement définies dans des repères liés aux différents segments du robot

•  La position à atteindre est souvent définie dans un repère lié à la base du robot

•  L'objet à saisir peut être défini dans un repère mobile indépendant du robot (par exemple, des pièces à prendre sur un convoyeur)

•  Les informations extéroceptives (issues de l'environnement) sont définies dans divers repères

Il faut un référentiel commun afin de “ramener” les diverses informations dans un même repère et pour pouvoir concevoir les consignes des

actionneurs du robot

Introduction: nécessité d’un modèle

base

effecteur

θ 1

θ 2

θ 4

d 3

Modèle géométrique direct (MGD): etant données les positions articulaires (distance resp. angle pour une articulation prismatique resp. rotoïde) trouver la pose de l’effecteur par rapport à la base

Modèle géométrique d’un robot

Modèle géométrique inverse (MGI): etant donnée une pose de

l’effecteur par rapport à la base, trouver, si elles existent, l’ensembles de positions articulaires qui permettent de générer cette pose

q = [θ 1 , θ 2 , d 3 , θ 4 , . . .] ^T ∈ R ⁿ

•  Par rapport au repère de la base O

-x

y

z

, le modèle géométrique direct est exprimé par la matrice de transformation homogène:

base

effecteur

θ 1

θ 2

θ 4

d 3

Modèle géométrique direct

où

q ∈ R ⁿ : vecteur des variables des articulations

n e , s e , a e : vecteurs unitaires du repère de l’effecteur

: vecteur qui décrit l’origine du repère de l’effecteur par rapport à la base

T ^b _e (q) =

n ^b _e (q) s ^b _e (q) a ^b _e (q) p ^b _e (q)

0 0 0 1

p ^b _e

O

q = [θ 1 , θ 2 , d 3 , θ 4 , . . . ] ^T

Modèle géométrique direct

Manipulateur à chaîne ouverte simple avec n + 1 segments liés par n articulations:

•  Par convention, le segment 0 est fixé au sol

•  Chaque articulation fournit à la structure mécanique 1 DDL qui correspond à la variable de l’articulation

Fixé au sol

T ⁰ _n (q)

A _i ^{i− 1} (q _i )

1.  Définir les repères associés à chaque segment:

2.  Determiner la transformation de coordonnées entre deux segments consecutifs

3. Determiner, d’une façon recursive, la transformation totale entre le repère n et le repère 0, c’est-à-dire:

Procédure pour déterminer

le modèle géométrique direct:

Modèle géométrique direct

A ⁱ⁻¹ _i (q _i ), i ∈ {1, . . . , n}

0, 1, . . . , n

T ⁰ _n (q) = A ⁰ ₁ (q ₁ ) A ¹ ₂ (q ₂ ) · · · A ⁿ⁻¹ _n (q _n )

T ⁰ _n (q)

A _i ⁱ⁻¹ (q _i )

Attention: la transformation de coordonnées effective qui décrit la pose de l’effecteur par rapport à la base est donnée par:

Modèle géométrique direct

Matrice de transformation (constante) qui décrit la pose du repère 0 par rapport au repère de la base

Matrice de transformation (constante) qui décrit la pose du repère de

l’effecteur par rapport au repère n base

effecteur

T ^b _e (q) = T ^b ₀ T ⁰ _n (q) T ⁿ _e

T ⁰ _n (q)

A _i ^{i− 1} (q _i )

Si l’effecteur est une pince, comment choisir le repère ?

•  Origin O

: au centre de la pince

•  Axe z

: direction de rapprochement de l’objet à saisir

•  Axe y

: orthogonal à z

dans le plan de glissement des becs de la pince

•  Axe x

: orthogonal aux autres axes pour avoir un repère direct

Choix du repère de la pince

O

Rappel les symboles: la flêche sort de la page la flêche entre dans la page

×

pince

z _e y _e

objet

Mais:

•  Comment définir les repères avec des manipulateurs complexes, avec un grand nombre d’articulations ?

•  Il faut trouver une procedure systematique et générale 1.  Définir les repères associés à chaque segment:

Procédure à suivre pour déterminer le modèle géométrique direct:

θ 1

θ ₂

θ 4

d 3

Modèle géométrique direct

Solution: Convention de Denavit-Hartenberg

0, 1, . . . , n

Problème: déterminer les repères associés à deux segments consecutifs et calculer la transformation de coordonnées entre les deux repères

Convention de Denavit-Hartenberg

Notation:

L’axe i dénote l’axe de l’articulation qui rélie le segment i – 1 au segment i

segm.

artic. i ^{– 1}

segm.

artic. i artic. i ^{+ 1}

θ i

axe i

a i

a i−1

d i

La convention de Denavit Hartenberg (DH) est adoptée pour définir le repère du segment i :

Convention de Denavit-Hartenberg

1.  Choisir l’axe z _i le long de l’axe de l’articulation i + ¹

2.  Placer l’origine O _i à l'intersection de l'axe z _i avec la normale commune*

aux axes z _{i -1} et z _i . Placer aussi O _i ’ à l’intersection de la normale commune avec l’axe z _{i -1}

3.  Choisir l’axe x _i le long de la normal commune aux axes z _{i -1} et z _i

avec sens de l’articulation i à l’articulation i + ¹

4.  Choisir l’axe y _i pour completer la triplet d’un repère direct (on utilise la règle de la main droite)

*Remarque

La normale commune entre deux droites est la droite qui contient le segment à distance minimale entre les deux droites

droite i ^droite i + 1

Normale

90

90

La convention de DH ne donne pas une définition unique de repère d’un segment dans les cas suivants:

•  Pour le repère 0: seulement la direction de l’axe z

est specifiée.

Par consequent, O

et x

peuvent être choisis arbitrairement

•  Pour le repère n: puisqu'il n'y a pas l’articulation n + 1, z

n’est pas défini de manière unique, tandis que x

doit être orthogonal à l’axe z

. Typiquement, l’articulation n est rotoïde, et donc z

doit être aligné avec la direction de z

•  Si deux axes consécutifs sont parallèles ( ), la normale commune entre les deux n’est pas définie de manière unique. On place O _i tel

que

•  Si deux axes consécutifs se coupent ( ), le sens de x _i est arbitraire.

On place O _i à l’intersection des axes z _i

et

z _i

•  Si l’articulation i est prismatique, la direction de z _{i –}

est arbitraire

Convention de Denavit-Hartenberg

Remarque [Cas particuliers]:

α i = 0 d i = 0

a _i = 0

Une fois que les repères des segments ont été fixés, la position et l’orientation du repère i par rapport au repère i - 1 est complètement specifiée par les

quatre parametrès suivantes:

•  : distance entre O _i

et O _i ’

•  : coordonnée de O _i ’ le long de z _{i – 1}

•  : angle entre les axes z _i

et z

autour de l’axe x _i .

si la rotation est faite dans le sens antihoraire. si les axes son parallèles

•  : angle entre les axes x _i

et x _i

autour de l’axe z _i

. si la rotation est faite dans le sens antihoraire

Paramètres de Denavit-Hartenberg

artic. i – 1

segm. segm.

artic. i + 1

α i > 0 α i = 0

θ i > 0

θ _i d i

a i

θ i

d i

a i

α i

α i

•  Deux des quatre paramètres ( and ) sont toujours constants et ils dependent que de la géometrie de connection des articulations

consecutives définie par le segment i

•  Des paramètres restants, seulement un est variable et depend du type d’articulation qui rélie le segment i - 1 avec segment i. En particulier:

•  Si l’articulation i est rotoïde, la variable est

•  Si l’articulation i est prismatique, la variable est

a i

d i

α i

θ i

Paramètres de Denavit-Hartenberg

segm. segm.

artic. i

artic. i + 1

θ i

d _i

a i artic. i – 1

α i

En conclusion, nous pouvons exprimer la transformation de coordonnées entre repère i ^et i - 1 selon les étapes suivantes:

1.  Choisir un repère aligné avec le repère i ^{– 1}

2.  Faire un translation de du repère choisi le long de l’axe z _i

et faire un rotation de autour de l’axe z _i

Cette séquence aligne le repère courant avec le repère i ’ et elle est décrite par la matrice homogène:

Transformation homogène de DH

d i

θ i

A ⁱ⁻¹ _i

=

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

cos θ i − sin θ i 0 0 sin θ i cos θ i 0 0

0 0 1 d i

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

segm.

artic. i ^{– 1}

segm.

artic. i artic. i ^{+ 1}

θ i

axe i

a i

a _i−1

Transformation homogène de DH

étape 2

étape 3

3.  Faire un translation du repère aligné avec le repère i ’ de le long de l’axe x _i’ et faire un rotation de autour de l’axe x _i’ . Cette séquence aligne le repère courant avec le repère i et elle est décrite par la matrice homogène:

a i

α i

A ⁱ _i

=

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

1 0 0 a i

0 cos α i − sin α i 0 0 sin α i cos α i 0

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

4.  La transformation finale est obtenue en multipliant à droite les transformations précédentes:

A ⁱ⁻¹ _i (q i ) = A ⁱ⁻¹ _i

A ⁱ _i

=

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

c θ

−s θ

c α

s θ

s α

a i c θ

s θ

c θ

c α

−c θ

s α

a i s θ

0 s α

c α

d i

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

Fonction seulement de q _i

q i = θ i

q i = d i

si l’articulation est rotoïde

si l’articulation est prismatique c θ

= cos θ i , s θ

= sin θ i

Transformation homogène de DH

Comme d’habitude:

Modèle géometrique direct pour manipulateurs industriels

Exemples

•  Les axes des articulation rotoïdes sont tous parallèles

•  Choix le plus simple des repères: axes x _i le long de la direction des segments

correspondants (la direction de x

est arbitraire) et tous situés dans le plan (x

, y

)

1 - Manipulateur planaire à 3 segments

θ 1

θ 2

θ 3

Puisque toutes les articulations sont rotoïdes, la matrice de transformation homogène a la même structure pour chaque des trois articulations:

Segment a _i α _i d _i θ _i

1 a ₁ 0 0 θ ₁ 2 a ₂ 0 0 θ ₂ 3 a ₃ 0 0 θ ₃

Manipulateur planaire à 3 segments

Paramètres de DH

A ⁱ⁻¹ _i (θ i ) =

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

cos θ i − sin θ i 0 a i cos θ i

sin θ i cos θ i 0 a i sin θ i

0 0 1 0

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦ , i ∈ {1, 2, 3}

•  La matrice de transformation totale est donc:

Manipulateur planaire à 3 segments

T ⁰ ₃ (q) = A ⁰ ₁ A ¹ ₂ A ² ₃ =

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

c 123 −s ₁₂₃ 0 a 1 c 1 + a 2 c 12 + a 3 c 123

s 123 c 123 0 a 1 s 1 + a 2 s 12 + a 3 s 123

0 0 1 0

0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

où et q = [θ 1 , θ 2 , θ 3 ] ^T

•  Le repère 3 ne coïncide pas avec le repère de l’effecteur: en effet la direction de rapprochement de l’object à saisir est alignée avec le vecteur unitaire et pas avec (cf. le diaporama “Choix du repère de la pince”)

Si les deux repères ont la même origine, il faut ajouter la transformation suivante (une rotation pure):

x ⁰ ₃ z ⁰ ₃

T ³ _e =

R y (90 ^◦ ) 0 3×1

0 1×3 0

=

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

0 0 1 0 0 1 0 0

−1 0 0 0 0 0 0 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

c 12 = cos(θ 1 + θ 2 ), s 123 = sin(θ 1 + θ 2 + θ 3 )

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