Quaternions et rotations

Quaternions et rotations

Yves Coudene 09/03

J’explique bri´evement comment employer les quaternions pour ´etudier les rotations deR³. Les d´emonstrations sont laiss´ees en exercice.

1 Quaternions

SoitC=R+i⁰Rl’ensemble des nombres complexes. On consid`ere les matrices deM₂(C) suivantes, appel´ees matrices de Pauli :

1 =

1 0

0 1

, σ1=

0 1

1 0

, σ2=

0 −i⁰

i⁰ 0

, σ3=

1 0

0 −1

Ces matrices ob´eissent aux r`egles de commutation suivantes :

∀i, j, σ_iσ_j =−σjσ_i si i6=j ; ∀i, σ²_i = 1.

Th´eor`eme :

Les matrices 1, σ1, σ2, σ3, σ1σ2, σ2σ3, σ3σ1, σ1σ2σ3 forment une base de l’ensemble des matrices 2x2 `a coefficients complexes,M2(C).

L’alg`ebre M₂(C) se d´ecompose donc en :

– un espace vectoriel de dimension 3,E=V ect(σ₁, σ₂, σ₃) ; Un vecteur~a∈E s’´ecrit ~a=a₁σ₁+a₂σ₂+a₃σ₃ ;

– une sous-alg`ebre de dimension 4,H=V ect(1, σ₁σ₂, σ₂σ₃, σ₃σ₁) ; – un sous-espace de dimension 1 engendr´e par σ₁σ₂σ₃.

On posei=σ1σ2σ3=i⁰(¹₀ ⁰₁). On a bien i²=−1. On a ´egalement : σ1σ2=iσ3, σ2σ3=iσ1, σ3σ1=iσ2. Attention : i6∈H.

Par cons´equent, tout ´el´ement deHpeut se mettre sous la forme : q=α+i ~a, α∈R, ~a∈E.

La loi de composition induite surH par le produit matriciel peut se re´ecrire : (α+i ~a)(α⁰+i ~a⁰) =αα⁰+i(α ~a⁰+α⁰~a)−~a ~a⁰

avec ~a ~a⁰=~a|~a⁰+i ~a ×~a⁰, | prod.scalaire, ×prod.vectoriel.

Remarques: i commute avec les vecteurs deE. Le produit de deux vecteurs deE donne un ´el´ement deH. Enfin le carr´e d’un vecteur est ´egal au carr´e de sa norme.

On pose : ¯q = α−i ~a et on v´erifie la formule : qq¯ = α²+a²₁+a²₂+a²₃. Tout ´el´ement non nul deHest donc inversible. Le corpsHest appel´e corps des quaternions. Il vient d’ ˆetre construit comme sous-alg`ebre de M2(C).

1 Université de Rennes 1

Préparation à l’agrégation de mathématiques Auteur du document : Y. Coudène

2 Rotations

La construction pr´ec´edente peut ˆetre utilis´ee pour ´etudier les rotations deR³. Pour cela, on remarque que l’exponentielle de matrices se restreint aux quater- nions :

e^{i ~a} = 1 +i ~a−1/2k~ak²+... = cosk~ak+i ~a

k~aksink~ak.

en posantk~ak²=a²₁+a²₂+a²₃ , pour~a∈E. En particulier le quaternione^{i ~a} est de norme 1.

Th´eor`eme:

Soit~a∈Eun vecteur unitaire etθun nombre r´eel. La rotation d’axe dirig´e par

~aet d’angleθ est donn´ee par : E → E

~

x → e^{−12i θ ~a} ~x e^{12i θ ~a}

Ceci se v´erifie en d´ecomposant~xselon un vecteur proportionnel `a~aet un vecteur orthogonal `a~a. Un calcul direct redonne l’expression classique des rotations :

e^{−12i θ ~a} ~x e^{12i θ ~a} = cosθ ~x+ (1−cosθ)(~x|~a)~a+~a×~x sinθ.

De l`a, il est facile de composer les rotations. On obtient, par exemple , une expression pour le cosinus de l’angleω de la rotation compos´ee d’une rotation d’angleθ d’axe~asuivie d’une rotation d’angleφd’axe~b:

e^{−12i ω ~u} = e^{−12i φ ~b}e^{−12i θ ~a} e^{−12i ω ~u} = cos(ω/2)−i ~usin(ω/2)

e^{−12i φ ~b} e^{−12i θ ~a} = ( cos(φ/2)−i ~bsin(φ/2) )( cos(θ/2)−i ~asin(θ/2) )

= cos(φ/2) cos(θ/2)−~a|~bsin(φ/2) sin(θ/2)...

...−i(~bsin(φ/2) cos(θ/2) +~acos(φ/2) sin(θ/2) +~b×~asin(φ/2) sin(θ/2)).

Donc

cos1

2ω= cos1 2φcos1

2θ−(~a|~b) sin1 2φsin1

2θ.

Exercices :

– Montrez que le groupe des quaternions de norme 1 s’identifie `aSU₂(C).

– Explicitez le morphisme deSU2(C) dansSO3(R) donn´e par le th´eor`eme plus haut. Quel est son noyau ?

– D´emontrez l’´egalit´e : (~x×~y)×~z= (~z|~x)~y−(~z|~y)~xpar un calcul direct avec les quaternions.

– Soit~uun vecteur unitaire. A quoi correspond la transformation deE donn´ee par~x7→ −~u~x~u?

– Montrez que l’application~a7→e^i~a, d´efinie deE dans l’ensemble des quater- nions de norme 1, est surjective. Est-ce un morphisme ?

R´ef´erence : G. Casanova,Que-sais-je ? 1657 “L’alg`ebre vectorielle”.

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