Meilleure approximation polynômiale sur un compact pluri-régulier de Cn et croissance générale des fonctions entières

(1)

UNIVERSIT´E MOHAMMED V- AGDAL FACULTE DES SCIENCES DE RABAT

TH`

ESE

DE DOCTEUR D’ETAT ES SCIENCES

Discipline : Mathématiques pures Spécialité : Analyse complexe

pr´esent´ee par

Mohammed HARFAOUI

sous la direction du Pr. Mohamed EL KADIRI

Titre :

Meilleure approximation polynomiale sur un compact

plurir´

egulier de C

n

_{et croissance g´}

_en´

_{erale des fonctions}

enti`

ere

soutenue publiquement devant le jury

Pr´esident :

A. ZOGLALT Professeur `a la Facult´e des Sciences de Rabat Examinateurs :

M. El KADIRI Professeur `a la Facult´e des Sciences de Rabat

Z. E. ABDELAL Professeur habilité à la Faculté des Sciences de Rabat M. CHADLI Professeur à l’Ecole Normale Supérieure de Fès

A. NABAJI Professeur à la Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia M. CHIDAMI Professeur (invité)

============================================================================ Facult´e des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat - Maroc Tel +212

(2)

Citations math´ematiques M.Harfaoui

Citations

math´ematiques

Dieu fit le nombre entier, le reste est l’oeuvre de l’Homme. Kronecker

(1823-1891)

Les hommes sont comme les chiffres, ils n’acqui`erent de valeur que

par leur position. Napol´eon Bonaparte

Faire des mathématiques, c’est donner le même nom à des choses différentes

Comment se fait-il qu’il y ait des gens qui ne comprennent pas les math´ematiques.

Le seul objet naturel de la pens´ee math´ematique, c’est le nombre en-tier

Une th´eorie est bonn lorsqu’elle est belle

Les math´ematiciens n’´etudient pas des objets mais les relations entre

ces objets Henri Poincar´e (1854-1912)

La Mathématique est la reine des sciences et l’Arithmétique est la reine des mathématiques. Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

La vie n’est bonne qu’à deux choses : découvrir les mathématiques et enseigner les mathématiques Simeon Denis Poisson (1781-1840)

La th´eorie, c’est quand on sait tout et que rien ne fonctionne. La pratique, c’est quand tout fonctionne et que personne ne sait pourquoi.

Rien n’est plus proche du vrai que le faux.

D´efinissez-moi d’abord ce que vous entendez par Dieu et je vous dirai si j’y crois.

C’est le rˆole essentiel du professeur d’´eveiller la joie de travailler et

(3)

M.Harfaoui Remerciements

REMERCIEMENTS

Cette thèse a été effectuée au sein de Département de Mathématiques de la Fa-culté des Sciences de Rabat, sous la Direction du Professeur Mohamed EL KADIRI, Professeur à la faculté des Sciences de Rabat, Université Mohammed V, Agdal.

Je tiens à lui exprimer ma profonde reconnaissance, il a consacré à l’encadrement de ma thèse un temps et une disponibilité d’esprit considérables, auxquels j’ai été d’autant plus sensible que son emploi du temps est très chargé. J’ai ainsi largement pu profiter de sa grande acuité scientifique et de son enthousiasme indéfectible et communicatif pour le travail de ses étudiants. Je lui suis donc redevable d’avoir pu faire une thèse dans des conditions exceptionnelles.

Sa compétence, sa disponibilité et ses qualités humaines ont été d’une grande importance pour la définition et l’orientation de cette thèse.

J’adresse mes vifs remerciements au professeur Abdelhak ZOGLAT, Professeur à la faculté des Sciences de Rabat, Université Mohammed V, Agdal de m’avoir fait l’honneur de présider mon jury de thèse.

Je tiens à remercier Monsieur Zine El Abidine ABDELALI, professeur habilité à l’Université Mohammed V, Agdal de m’avoir honoré par sa présence parmi les membres de jury et d’avoir accepté la tâche ingrate de lire ma thèse et d’écrire un rapport.

Tous mes remerciements vont aussi au professeur Mostapha CHADLI , Profes-seur à l” École Normale supérieure de Fès, d’avoir accepté de faire partie du jury de cette thèse, qu’il trouve ici l’expression de ma gratitude pour l’intérêt qu’il a porté à ma thèse.

Mes vifs remerciements vont à Monsieur abdellah NABAJI, professeur à la Fa-culté des Sciences et Techniques de Mohammedia d’avoir accepté de lire ma thèse, d’en rédiger un rapport et d’avoir accepté d’être parmi les membres de jury. Il a été très compréhensif.

J Je profite de cette occasion pour remercier Monsieur Mohamed CHIDAMI, mon ancien professeur à l’Université Mohammed V, Agdal. Il a été mon professeur d’Analyse en première année et de topologie en troisième année. Je tiens à le re-mercier d’avoir accepté l’invitation pour être parmi les membres de jury, et de son accueil toujours chaleureux.

Je suis reconnaissant envers tous ceux qui ont manifesté leur intérêt pour ce travail, qui ont pris de leur temps pour lire ces pages, le temps d’une remarque ou d’un commentaire, le temps de m’écouter.

Ma reconnaissance va aussi `a tous les enseignants qui m’ont fait partager leur passion pour les math´ematiques.

Enfin, je remercie l’ensemble des collègues du département de mathématiques de la Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia.

(4)

D´edicace M.Harfaoui

D´EDICACE

================================================================================

Je dédie ce travail plus particulièrement à MA CHÈRE FEMME qui m’a soutenu et encouragé à poursuivre mon travail de recherche et pour son soutien inestimable durant toute ma vie de scolarité collégienne, secon-daire et universitaire, ainsi durant mes années de recherches.

Ce travail je le d´edie aussi au fruit de notre vie, nous enfants : Majdouline, Farid, Wafaa et Mehdi ainsi que mon beau fils Ahmed et mes petits enfants : Soundous et Mohammed Rayan.

(5)

M.Harfaoui Résumé la thèse

R´

ESUM´

E DE LA TH`

ESE

Meilleure approximation polynomiale sur un compact plurir´egulier de Cn _{et croissance g´}_en´_{erale des fonctions enti`}_eres

Cette thèse est consacrée à l’étude de la croissance générale d’une classe plus vaste de fonctions entières de plusieurs variables complexes, en termes d’ordre général et type général en fonction des coefficients suivant une base plus générale de polynômes extrémaux associés à un compact plurirégulier de Cn_.

Pour chaque résultat de ce travail on établit tout d’abord des relations précises entre la croissance générale et les coefficients suivant cette base de polynômes extrémaux.

On utilise ensuite ces résultats pour établir des relations entre la croissance générale et le degré de convergence vers zéro de l’erreur de la meilleure approximation polynomiale sur le compact plurirégulier de Cn _{en terme d’approximation en norme}

Lp_.

.

Mots cl´es

Fonctions entières, (p, q)-croissance, croissance générale, order, type, compact plurirégulier, polynômes extrémaux, meilleure approximation en norme Lp_-norm.

Best Polynomial Approximation in Lp-Norm on a pluriregular

compact of Cn _{and generalized Growth of Entire Functions.}

This thesis is devoted to the study the generalized growth of a whole broader class of functions of several variables complex, in terms of general and general type of an en-tire function with respect to the base more general polynomials extremal associated to a pluriregular compact Cn_.

For each result of this work, it will be established, in the first time, a precise relationship between the generalized growth and the coefficients according to this basis of extremal polynomial.

(6)

Table de mati`eres M.Harfaoui These results are then used to establish relationships between generalized growth and the degree of convergence to zero of the error of the best polynomial approxi-mation on a compact pluriregular of Cn _{in terms of approximation L}p_{- norm.}

.

Keywords

Growth, (p, q)-growth, pluriregular compact, extremal polynomial, best polyno-mial approximation in Lp_{− norm.}

(7)

Table des mati`

eres

1 Chapitre introductif 19

1.1 Introduction . . . 19

1.2 Croissance des fonctions enti`eres . . . 19

1.2.1 Fonction enti`ere. . . 19

1.2.2 La formule intégrale de Cauchy et inégalité de Cauchy. . . 20

1.2.3 Le th´eor`eme de Liouville. . . 20

1.2.4 Croissance des fonctions enti`eres . . . 21

1.2.5 Relation entre les coefficients et la croissance . . . 23

1.2.6 L’ordre de la dérivée d’une fonction entière . . . 23

1.2.7 Les fonctions entières à croissance régulière . . . 23

1.3 Fonctions plurisouharmoniques . . . 24

1.4 Fonction potentielle et Capacit´e . . . 25

1.5 In´egalit´e de Markov . . . 27

1.6 Fonction de Green avec pˆole logarithmique `a l’infini . . . 29

1.6.1 Classe de Lelong de fonctions plurisubharmoniques. . . 29

1.6.2 Ensembles pluripolaires de Cn _{. . . .} ₃₀

1.6.3 Ensembles plurir´eguliers de Cn_{. . . .} ₃₁

2 Best polynomial approximation in Lp_{-norm and (p, q)-growth of} entire functions 34 2.1 Introduction. . . 34

2.2 Definitions and notations . . . 37

2.3 (p, q)-growth in terms of the coefficients of the development with res-pect to extremal polynomials . . . 40

2.4 Best polynomial approximation in terms of Lp_{-norm. . . .} ₄₈

3 Generalized growth by means best polynomial approximation in Lp_-norm ₅₃ 3.1 Introduction. . . 53

3.2 Definitions and notations . . . 55

3.3 Generalized order and coefficients of the development with respect to extremal polynomial . . . 56

(8)

Table de mati`eres M.Harfaoui

3.5 Generalized growth and coefficients of the development with respect to extremal polynomial . . . 64

3.6 Best polynomial approximation in Lp_{−norm. . . .} ₆₇

4 Growth of entire solutions of singular initial-value problem in

several complex variables 71 4.1 Introduction . . . 71

4.2 Auxiliary Results . . . 74

(9)

M.Harfaoui Introduction

INTRODUCTION

Dans la th´eorie du potentiel d’une variable complexe, la fonction de Green GK

associ´ee `a un compact non polaire K ⊂ C (ou plus exactement la fonction GK

la fonction de Green de la composante non bornée du complémentaire de K avec pôle à l’infini) joue un rôle important, car elle est à une constante près égale au potentiel logarithmique d’une mesure positive portée par K qui n’est autre que la mesure d’équilibre de K. De plus la capacité de K est liée au comportement de GK

`a l’infini.

D’autre part, la fonction de Green GK peut s’exprimer `a l’aide des polynˆomes

d’interpolation de Lagrange associés à une suite de points extrémaux du compact

K (voir Bernstein 1912).

De ce fait la fonction de Green joue un rôle important dans la théorie de l’in-terpolation et l’approximation polynômiale des fonctions d’une variable complexe comme le montrent les travaux de Bernstein 1912 (voir Bernstein 1912).

Dans le cas de plusieurs variables complexes la notion de points extémaux d’un compact K de Cn _{et les polynômes d’interpolation de Lagrange associés a été}

intro-duite par Siciak (voir Siciak 1962) dans son important travail en terme de notion de fonction extrmale associée au compact K. Ainsi il a généralisé la fonction de Green et il a montré qu’elle joue un rôle analogue dans la théorie de l’interpolation et de l’approximation des fonctions de plusieurs variables complexes.

Deux faits sont à souligner : d’une part, le taux asymptotique de la meilleure ap-proximation polynomiale sur K d’une fonction entière d’ordre fini est déterminé par l’ordre et le type, paramètres de croissance de f , et, d’autre part, des informations sur la croissance de f , qui sont souvent données à partir de recherches théoriques, ne peuvent pas être utilisées pour améliorer la vitesse de convergence pour approxi-mation polynomiale de f . L’idée de base dans la suite est la suivante :

Utiliser les informations à propos de la croissance f , de modifier la fonction f de telle sorte que le f modifiée est la meilleure ”approximable f sur K par des polynômes ef que lui-même, et ensuite récupérer à partir d’un rapprochement de ef .

Nous allons tout d’abord rappeler quelques résultats, obtenus par certains au-teurs dans le cas d’une variable réelle et une variable complexe, dont on s’est inspiré, pour faire une étude plus poussée dans le cas de plusieurs variables complexes et établir quelques nouveaux résultats de ce travail de thèse de Doctorat d’État Es-Science Mathématiques.

(10)

Introduction M.Harfaoui

Soit f (z) =

+∞

X

k=0

ak.zλk une fonction enti`ere non constante dans le plan C et soit

M(f, r) = sup© | f (z) |, | z |= r, r > 0ª. (0.0.1) Il est bien connu que la fonction r → ln(M(f, r)) est convexe et la d´ecroissante de ln(r). Pour estimer la croissance de f , la notion d’ordre, d´efini par le nombre ρ (0 ≤ ρ ≤ +∞), telle que

ρ = lim sup

r→+∞

ln ln M(f, r)

ln(r) (0.0.2)

a été définie (voir [4]).

Le concept de type a été mis en place pour établir la la croissance relative de deux fonctions ayant le même ordre fini non nulle. Ainsi, une fonction entière, dans le plan complexe C, d’ordre ρ (0 < ρ < +∞), est dite de type σ (0 ≤ σ ≤ +∞) si

σ = lim sup

r→+∞

ln M(f, r)

rρ . (0.0.3)

Reddy a établit des relations liant l’ordre et le type classique à l’erreur de la meilleurs d’approximation polynomiale d’une fonction entière qui est une extension d’une fonction continue définie sur [−1, 1]. Cette erreur a été définie par :

En(f ) = inf p∈Πn

°

°f − p°°, n = 0, 1, ..., (0.0.4) où °°.°° est le maximum sur [−1, 1] et Πn l’ensemble des polynômes à coefficients

réels de degré ≤ n et f une fonction continue sur [−1, 1] à valeurs réelles. Bernstein (voir [3]) a montré le résultat suivant :

Th´eor`eme 0.0.1

f est la restriction d’une fonction enti`ere si et seulement si

lim sup n→+∞ ¡ En(f ) ¢_1/n = 0. (0.0.5)

Reddy (voir [28] and [29]) a établi des relations entre l’erreur de la meilleure approximation polynomiale d’une fonction f définie et continue sur [−1, 1] et l’ordre et le type classique de la fonction entière ef prolongement de f sur C. Il a, en effet,

établi le résultat suivant : Théorème 0.0.2

f est la restriction `a [−1, 1] d’une fonction enti`ere d’ordre ρ et de type σ ( 0 < ρ < ∞) si et seulement si lim sup n→+∞ n. ¡ En(f ) ¢_1/n = (e.ρ.σ).2−ρ_. _(0.0.6)

(11)

M.Harfaoui Introduction

Dans son travail Reddy a considéré le développement de Taylor de suivant la base ¡zn

¢

n.

En 1972 Winiarski a donné une extension des ces résultat, il a en effet établi des relation liant la croissance classique et l’erreur de la meilleure approximation associé à un compact de C de capacité positive.

Dans son travail il a utilisé le développement de la fonction entière suivant une base de polynômes extémaux et la notion de fonction de Green, qu’on rappelle comme suit.

Soit K un ensemble fermé borné de C et soit le système de n+1 point ζ(n)¡_ζ

n0, ζn1, ..., ζnn ¢ . On pose, pour j=0,1,...n, V (ζ(n)_{) =} Y 0≤j≤k≤n | ζnj− ζnk |, (0.0.7) ∆(j)(ζ(n)) = n Y k=0,k6=j | ζnj− ζnk | . (0.0.8) D´efinition 0.0.1 Un syst`eme de point de K, η(n)¡_η n0, ηn1, ..., ηnn ¢

v´erifiant les relations

1. Vn= V (η(n)) = sup ζ(n)_⊂K

pV (ζ(n)₎

2. ∆(0)_(η(n)_{) ≤ ∆}(j)_(η(n)_{), j = 1, ..., n.}

est appelé le neme _{système extrémal de K.}

Les polynˆomes L¡z, η(n)¢ ₌ n Y k=0,k6=j z − ηnk ηnj− ηnk j = 0, 1..., n, (0.0.9)

sont appelés les neme _{polynômes extémaux de Lagrange extrémal de K, et la limite}

d = d(K) = lim n→+∞ ³ ∆(0)(η(n)) ´_1/n (0.0.10)

est appel´e diam`etre transfini de K.

Il est connu que (Voir [23]) : Th´eor`eme 0.0.3

(12)

Introduction M.Harfaoui

Si d(K) > 0, alors il existe une limite finie L(z) = lim

n→+∞

°

°L¡z, η(n)¢°°1/n (0.0.11)

pour tout z dans la composante non born´ee K∞ de C\K et la convergence est

uni-forme sur tout fermé bornée de K. De plus L est le module d’une fonction analytique ϕ définie sur K∞ par

ϕ(z) = γ.z + γ1 z + ..., kγk = 1 d(K), (0.0.12) au voisinage de l’infini. D´efinition 0.0.2 La fonction GK(z) = exp ¡

L(z)¢ est la fonction de Green de K∞ avec pˆole `a

l’infini, elle v´erifie

GK(z) ∼_|{z} ∞

| z | c(K)

D´efinition 0.0.3

Soit K un compact de C. Une suite (an)n de points de K est dite suite de points

extr´emaux de K si : n Y i=0 (an+1− ai) = sup z∈K n Y i=0 (z − ai). (0.0.13)

De la même manière T. Winiarski (voir [33]) a généralisé ce résultat pour une compact K du plan complexe C, de capacité logarithmique positif noté c = cap(K). Théorème 0.0.4

Si K est sous-ensemble compact du plan complexe C, de capacit´e logarithmique po-sitive, alors lim k→+∞k 1 ρ k p Ek(K, f ) = c(eρσ) 1 ρ (0.0.14)

si et seulement si f est la restriction `a K d’une fonction enti`ere g d’ordre ρ (0 < ρ < +∞) et de type σ pour K.

Rappelons que cap([−1, 1]) = 1

2et la capacit´e du disque de rayon r est cap(D(O, r)) =

r.

L’auteurs a considéré le développement de f suivant la suite (Wn)n définie par :

Wn(z) = j=n_Y j=1

(13)

M.Harfaoui Introduction où (ηnj)n est le n − th système points extémaux de K.

Tout ce qu’on vient de voir concerne les fonction enti`eres d’ordre et type clas-siques d´efinis par Boas (voir [4]).

Si f est une fonction entière d’ordre infini ou nul, la définition de type n’est pas valide et la croissance de tels fonctions ne peut pas être mesurée avec précision par le concept ci-dessus. S.K. Bajpai, O.P. Juneja et G.P. Kapoor (voir [1]) ont introduit la notion d’indice paire d’une fonction entière. Ainsi, pour p ≥ q ≥ 1, ils ont défini

ρ(p, q) = lim sup

r→+∞

log[p](M(f, r))

log[q](r) . (0.0.15)

Il est facile de montrer que b ≤ ρ(p, q) ≤ +∞ o`u b = 0 si p > q et b = 1 si p = q. La fonction f est dite d’indice paire (p, q) si ρ(p − 1, q − 1) est fini non nulle. Le nombre ρ(p, q) est appel´e (p, q)-ordre de f .

S.K. Bajpai, O.P. Juneja and G.P. Kapoor ont aussi d´efini le concept de (p, q)-type σ(p, q), pour b < ρ(p, q) < +∞, par

σ(p, q) = lim sup r→+∞ log[p−1]_{(M(f, r))} ³ log[q−1]_(r)´ρ(p,q) . (0.0.16)

Dans leurs travaux, les auteurs ont ´etabli la relation de (p, q) de croissance de f en fonction des coefficients ak dans la s´erie de Maclaurin de f dans le plan complexe

C (pour (p, q) = (2, 1), on obtient le cas classique).

Nous avons également de nombreux résultats en termes d’approximation poly-nomiale dans le cas classique. Soit K un compact du complexe plan C, de capacité logarithmique positive et f une fonction complexe définie et bornée sur K. Pour

k ∈ N on pose Ek(K, f ) = ° °f − Tk ° ° K (0.0.17)

o`u la norme°°.°°_K est le maximum sur K et Tk est le k − th polynˆome de Chebytchev

de la meilleure approximation polynomiale de f sur K. Il est connu (voir [32]) que

lim

k→+∞

k

p

Ek(K, f ) = 0 (0.0.18)

si et seulement si f est la restriction à K d’une fonction entière g dans C. Ce résultat a été généralisé par A.R. Reddy (voir [28] et [29]) comme suit :

lim

k→+∞

k

p

Ek(K, f ) = (ρ.e.σ)2−ρ (0.0.19)

si et seulement si f est la restriction `a K d’une fonction enti`ere g d’order ρ et de type σ pour K = [−1, 1].

(14)

Introduction M.Harfaoui Dans tout ce qui précède nous remarquons que les résultats ci-dessus montrent la dépendance de la vitesse à laquelle la suite ¡pk _E

k(K, F )

¢

k tend vers z´ero et la

croissance de la fonction enti`ere (ordre et le type).

Dix ans après T. V. Nguyen (1982) a étudié le problème d’approximation poly-nomiale en norme Lp _{, 1 ≤ p ≤ +∞, dans le cas d’un compact K produit cartésien}

de compacts Ki, i=1,...,N, de C de capacit´e positive en introduisant la notion de

q-ordre de f d´efini par :

ρ = lim sup r→+∞ log[q]¡_M ∆(f, r) ¢ .¡log(r)¢−1, (0.0.20) avec M∆(f, r) = sup z∈r.∆f (r) et ∆ = {z ∈ C N _{: | z}

i |< νi} un domaine cercl´e born´e de

centre O.

L’ordre ρ ne d´epend pas de ∆, lorsque ρ ∈]0, +∞[. On d´efinit le (∆, q)-type de

f par τ = lim sup r→+∞ log[q−1]¡_M ∆(f, r) ¢ .(r)−ρ_. _(0.0.21) On d´esigne par L2 P ¡

K, µ¢le sous-ensemble ferm´e de Lp¡_{K, µ}¢ _{engendr´e par}

l’en-semble des polynˆomes de N variables complexes. Pour f ∈ L2

P

¡

K, µ¢∩ Lp¡_{K, µ}¢ _{avec p ∈ [1, +∞], pour tout entier n on d´esigne}

par Pn un polynˆome de degr´e ≤ n tel que

° °f − Pn ° ° p = inf_{P ∈P}_n ° °f − P°° Lp_(K,µ) (0.0.22)

et Pn désigne l’ensemble des polynômes de degré ≤ n.

Son résultat principal est : Théorème 0.0.5

Dans les deux cas suivants :

1. 2 ≤ p ≤ +∞,

2. 1 ≤ p < 2, et les eΩi r´eguliers pour le probl`eme de Dirichlet,

avec eΩi est la composante connexe infinie de Ωi = C\Ki, on a :

f est µ-presque partout la restriction `a K d’une fonction enti`eres de q-ordre ρ (ρ ∈

]0, +∞[) et de (∆, q)-type τ (τ ∈]0, +∞[) si et seulement si lim sup n→+∞ n1/ρ³°_{°f − P} n ° ° p ´_1/n = (e.ρ.τ )1/ρ _q=2, _(0.0.23) lim sup n→+∞ ¡ log(n)¢n1/ρ³°°f − P n ° ° p ´_1/n = τ1/ρ _{q > 2} _(0.0.24)

(15)

M.Harfaoui Introduction Pour la démonstration Nguyen a utilisé le fait que tout fonction entière peut être développable suivant la base de polynômes extémaux de leja

Lα(z) = Lα(z1, z2, ..., zN) = j=N_Y j=1 Lj αj(zj), α = (α1, z2, ..., αN), (0.0.25) avec K = K1 × K2... × K2, ¡ Lj αj ¢

j suite de polynômes extrémaux de Leja associé

`a Kj, puisque

¡

Lα

¢

α∈NN est une base de H

¡

CN¢ _{l’espace des fonctions enti`eres sur}

CN _{(voir [23]).}

Dans ce travail de thèse de doctorat d’État Es-Science Mathématiques qui présente les recherches que j’ai menées à la Faculté des Sciences de Rabat et qui a fait l’ob-jet de quatres articles publiés dans des journaux internationaux, on va donner des extensions et des généralisations de tous les résultats précédents en terme d’une nou-velle croissance, dite croissance générale d’une fonction entière de plusieurs variables complexes développée suivant une base générale de polynômes exrtémaux associée à un compact quelconque de Cn _{vérifiant certaines conditions. Ces premiers résultats}

seront utilisés pour étudier la rapidité de convergence de l’erreur de la meilleure approximation associée à ce compact en fonction de la croissance générale.

Soit K un compact polynomialement convexe de Cn_{. Oka-Weil (voir [16], Th.2.7.7,}

p.55) a établi le théorème d’approximation suivant : Théorème 0.0.6

If K is a polynomially convex compact set in Cn_{, then every function that is}

ho-lomorphic on an open neighborhood of K can be approximated uniformly on K by (holomorphic) polynomials.

Le théorème de Bernstein-Walsh précise le degré d’approximation d’une fonction

f holomorphe au voisinage de K au sens de Tchebytcheff. C’est-`a-dire si on d´efinit

l’erreur d’approximation par :

En(f, K) = inf ©° °f − P°°; P ∈ Pn ¡ Cn¢ª K, n = 0, 1, ..., (0.0.26)

o`u °°.°° est le maximum sur K et Pn

¡

Cn¢ _{l’ensemble des polynˆomes `a coefficients}

réels de degré au plus n, alors cette erreur décroˆıt vers 0 au moins aussi vite qu’une suite géométrique de raison inférieure à un.

De fa¸con plus précise, lorsque K est plurirégulier (L-régulier) la suite géométrique optimale a pour raison 1

r (r > 1) o`u r est le niveau du plus grand domaine

Ωr = {z ∈ Cn : exp

¡

VK(z)

¢

< r} (0.0.27)

sur lequel f est holomorphe.

VK est la fonction extrémale associée à K, elle continue puisque K est

(16)

Introduction M.Harfaoui Il est bien connu que la borne inférieure, dans la relation 0.0.26, est atteinte dans l’erreur d’approximation pour au moins un polynôme dit de Tchebytcheff de la meilleure approximation de f sur K d’ordre n. Il est en général difficile de construire ces polynômes.

Cependant Zeriahi (voir [34]) a montré qu’il est possible de construire des opérateurs linéaires pour la meilleure approximation sur K pour les fonctions holomorphes au voisinage de Ωr de telle sorte que l’erreur d’approximation soit contrôlée par une

quantit´e de la forme

c(r, θ)kf kΩrθ

rn

, (0.0.28)

o`u c(r, θ) ne d´epend que de r > 1 et θ > 1.

Cela veut dire que l’erreur d´ecroˆıt vers 0 comme 1

rn uniform´ement en f . La

nouveauté réside dans le fait que la méthode de Zeriahi permet de préciser le com-portement asymptotique de la constante c(r, θ) lorsque r tend vers +∞. Il a montré que c(r, θ) est à croissance polynomiale en r.

Cette majoration permet de donner des estimations précises sur sur les coeffi-cients d’une fonction entière par rapport à une base polynomiale orthogonale sur K pour une mesure convenable.

Dans ce travail on utilise ces estimations pour le calcul de la croissance générale d’une fonction entière à l’aide de ses coefficients selon la base considérée.

Ensuite on utilise ces formules pour donner une extension à plusieurs variables d’un théorème de type Bernstein liant la croissance d’une fonction entière à sa meilleure approximation polynomiale sur K.

Ce genre de résultats a déjà fait l’objet de quelques travaux , notamment ceux de Nguyen (voir [27]), Reddy (voir [29]) et Winiarski (voir [33]).

Ce travail de thèse est constitué, en plus d’un chapitre introductif, de trois cha-pitres correspondants à quatres articles publiés dans des journaux internationaux, que j’ai choisis de présenter dans l’ordre d’importance et pas dans l’ordre chronolo-gique de leur réalisation.

Dans chapitre introductif on rappelle quelques définitions et quelques inégalités qui seront fort utiles dans tout le travail.

Un deuxième chapitre où on a donné les premiers résultats de cette Thèse. C’est l’étude de le meilleure approximation polynomiale en norme Lp _{et (p, q)-croissance}

des fonctions enti`eres dans Cn_.

Dans ce deuxième chapitre on a généralisé des travaux de Reddy (1970) dans le cas de plusieurs variables complexes et un compact de Cn _{au lieu de du}

com-pact [−1, 1] de R, en utilisant les mêmes définitions de la croissances des fonctions entières (le (p, q)-ordre et le (p, q)-type) associées aux fonctions x 7→ log[p]_{(x) =}

log¡log[p−1]¢(x) et x 7→ log[q](x), pour (p, q) ∈ N2_{. Rappelons que ces d´efinitions}

ont été introduites pour résoudre le problème des fonctions entières de croissance classique, l’ordre et le type qui sont nuls ou infinis. Dans ce travail on a généralisé

(17)

M.Harfaoui Introduction aussi la notion de meilleure approximation polynomiale dans un cadre général en considérant l’approximation norme Lp_‘.

On a établi, en effet, dans ce chapitre des relations précises liant la (p, q)-croissance d’une fonction entière par rapport à l’ensemble

Ωr =

n

exp(VK) < r

o

(0.0.29) et les coefficients de fonction entière f sur Cn _{dans le développement par rapport à}

la suite de polynˆomes extr´emaux.

La (p, q)-croissance d’une fonction enti`ere est d´efinie par (K, p, q) -ordre et le (K, p, q) type f .

On a utilisé ensuite ces résultats pour démontrer les résultats principaux de cette section concernant la relation liant la (p, q)-croissance et la meilleure approximation polynomiale en norme Lp_.

On a généralisé ainsi les études faites par A.R. Reddy (voir [28] et [29]) et T.Winiarski (voir [33]), en terme d’approximation polynomiale en norme Lp_{pour un}

compact de Cn _{satisfaisant certaines propriétés qui seront définis ultérieurement.}

Nous allons donc établir une relation entre la vitesse à laquelle ¡Πp_k(K, f )¢1/k, pour k ∈ N, tend vers zéro en terme de meilleure approximation par rapport à la norme Lp_{-norme, et la croissance généralisée des fonctions entières de plusieurs}

complexes variables pour un sous-ensemble compact K de Cn_{, o`u K est un compact}

bien choisi et πp_K(K, f ) = inf n°_° °f − P ° ° ° Lp_(K,µ); P ∈ Pk(C n₎o_, _(0.0.30)

où Pk(Cn) est la famille de polynômes de degré ≤ k et µ une mesure bien choisie (la

mesure d’´equilibre µ = (ddc_V

K)n associé à un compact K L-réguliers ) (voir [34]) et

Lp_{(K, µ), p ≥ 1, est la classe de toutes les fonctions telles que :}

° ° °f ° ° ° Lp_(K,µ)= ³ Z K | f |p _dµ´1/p _{< ∞.} _(0.0.31)

Dans ce travail nous allons donner la généralisation de ces résultats dans Cn_{, en}

rempla¸cant le cercle {z ∈ C; |z| = R} par l’ensemble {z ∈ Cn_{, exp(V}

K(z)) < r}, o`u

VK est la fonction extr´emale du Siciak de K un compact de Cn v´erifiant certaines

propriétés (voir [30] et [31]), et en utilisant le développement de f par rapport à la suite

³

Ak

´

k∈N construite par A. Zeriahi (voir [35]).

Rappelons que dans le travail de T. Winiarski (voir [33]) l’auteur a utilisé l’inégalité de Cauchy. Dans notre travail, nous rempla¸cons cette l’inégalité par une inégalité donnée par A. Zeriahi (voir [35]).

Dans le troisième chapitre, on a généralisé la définition d’ordre et type, en intro-duisant des fonctions α et β.

On donne ainsi des définitions plus générales de la croissance en repla¸cant les fonctions x → log[p](x) = log¡log[p−1]¢(x) et x →= log[q](x) par des fonctions α et α vérifiant certaines conditions, et on a donné la croissance générale en fonction

(18)

Introduction M.Harfaoui des coefficients dans la base des polynômes extémaux introduite par Zeriahi (Voir Zeriahi 1987). Ces résultats ont été utilisés pour étudier la meilleure approximation polynomiale en termes de norme Lp_.

Dans ce chapitre on établit des relations liant cette croissance générale aux coef-ficients suivant la base de polynômes extrémaux qu’on a utilisé ensuite pour étudier la meilleure approximation polynomiale en norme Lp_.

Ce chapitre est alors une extension du deuxième chapitre en considérant la crois-sance générale associée aux fonctions α et β (l’ordre général et le type général) et la meilleure approximation polynomiale.

Ces résultat généralisent ainsi les travaux de Winaiarski (1970) concernant la croissance classique et la meilleure approximation dans le cas d’un compact K de C, les résultats de A. R. Reddy pour le compact [−1, 1] de R en terme de meilleure approximation en norme Supérieure sur le compact. Aussi on généralise les résultats de T. V. Nguyen.

Dans le dernier chapitre , on caractérise la croissance usuelle en terme d’ordre, et type puis l’ordre inférieur, et type inférieur d’une fonction entière solution à une classe de problèmes initiale de valeurs singulières, en termes de multinomiales pour

(19)

Chapitre 1

Chapitre introductif

1.1 Introduction

Dans ce premier chapitre on va rappeler quelques définitions de base dont aura besoin dans tout notre travail à savoir, la fonction entière, la croissance en terme d’ordre et type classique introduit par Boas (1962), la capacité d’un ensemble, la fonction de Green, ensemble plurirégulier...,

On rappelle aussi quelques inégalités importantes, qu’on précisera ultérieurement, dont on aura besoin pour toutes les démonstrations des résultats de notre travail, à savoir, les inégalités de Cauchy, les inégalités de Bernstein-Walsh et l’inégalité de Markov.

1.2 Croissance des fonctions enti`

eres

1.2.1 Fonction enti`

ere.

Soit f une fonction analytique complexe holomorphe en z. Elle est développable en série entière autour du point z selon la formule de Taylor-MacLaurin

f (s) =

∞

X

n=0

an(s − z)n. (1.2.1)

La théorie des séries entières montre que la série précédente converge absolument et uniformément dans le disque ouvert de centre z et de rayon R donné par la formule de Cauchy-Hadamard

1

R = lim supn→∞

(20)

Croissance des fonctions entières M.Harfaoui Le principal résultat de la théorie des fonctions analytiques complexes est que le rayon de convergence est déterminé par la distance R entre le point z et la singularité la plus proche.

D´efinition 1.2.1

On dit qu’une fonction analytique complexe est entière lorsqu’elle est définie sur le plan complexe tout entier et holomorphe en chaque point. Elle ne présente donc que le point à l’infini pour seule singularité.

Rappelons qu’une fonction holomorphe en un point y est ind´efiniment d´erivable.

Soit f une fonction entière. Comme toute fonction analytique holomorphe en un point, elle est développable en série entière convergente de la forme :

f (z) =X

n≥0

anzn, (1.2.3)

et comme elle n’a d’autre singularité que le point à l’infini, le rayon de conver-gence est infini. Autrement dit, la série converge quelle que soit la valeur de z. On a donc

lim sup

n→+∞

| an |1/n= 0. (1.2.4)

Et il en est de même de chacune de ses dérivées qui sont entières également.

1.2.2 La formule int´

egrale de Cauchy et in´

egalit´

e de Cauchy.

f (z) = 1 2iπ Z γ f (s) s − zds. (1.2.5) an = f(n)_(z) n! = 1 2iπ Z γ f (s) (s − z)nds. (1.2.6)

Dans les deux cas γ est un chemin ferm´e (un lacet) sans boucle entourant z. Dans la formule int´egrale donnant les coefficients, en appelant Mf(R) le

maxi-mum du module de la fonction sur le disque de centre z et de rayon R, une majoration simple donne les inestimables in´egalit´es de Cauchy

| an|≤

Mf(R)

Rn . (1.2.7)

1.2.3 Le th´

eor`

eme de Liouville.

Un résultat important sur les fonctions entières est le théorème de Liouville : Théorème 1.2.1 (Théorème de Liouville)

(21)

M.Harfaoui Croissance des fonctions enti`eres

1.2.4 Croissance des fonctions enti`

eres

Soit f une fonction analytique complexe holomorphe en z. On pose

Mf(r) = max

|z|=r |f (z)|.

La fonction r → Mf(r) = max|z|=r|f (z)| croˆıt monotonement, par suite du

principe du maximum. Et, en corollaire du théorème de Liouville, elle n’est pas bornée pour les fonctions entières non constantes. Elle est appelée module maximum de la fonction f .

La fonction r → ln Mf(r) est une fonction convexe de ln(r). Cette fonction est

continue et analytique par intervalles.

En conséquence de la convexité, r → ln(Mf(r)) admet une dérivée à droite et

`a gauche. Elles sont croissantes. Il existe une fonction v(t) croissante (mais pas n´ecessairement continue) telle que :

ln(Mf(r)) = ln(Mf(1)) +

Z _r

1

v(u)du

u . (1.2.8)

Par suite du théorème fondamental de l’algèbre, un polynôme de degré n admet

n racines dans C. Donc, plus un polynˆome admet de z´eros, plus il croˆıt rapidement.

Ceci est aussi le cas des fonctions entières mais d’une manière plus complexe. La re-lation entre la croissance des fonctions entières et la répartition de ses zéros constitue l’un des thèmes principaux de la théorie de ces fonctions.

Si pour une valeur quelconque λ,

lim

r→+∞

Mf(r)

rλ , (1.2.9)

la fonction f est un polynôme de degré au plus égal à λ.

Lorsque l’égalité précédente n’a lieu pour aucune valeur de λ, on compare la croissance de Mf(r) à exp(rk). Si l’on a, à partir d’une valeur r0 de r, l’inégalité

Mf(r) < exp(rk), (1.2.10)

on dit que la fonction est d’ordre fini. L’ordre (sup´erieur) de croissance de f est donn´e par la formule

ρ = ρf = lim sup r→+∞

ln ln(Mf(r))

ln(r) . (1.2.11)

Une fonction enti`ere f est dite de type exponentiel s’il existe une constante C telle que que, pour |z| tendant vers l’infini, on a

(22)

Croissance des fonctions entières M.Harfaoui La borne inférieure des constantes C qui conviennent s’appelle le type de la fonc-tion. Par exemple, les fonctions x → exp(x) et x → sin(x) sont de type exponentiel égal à 1.

ˆ

Etre de type exponentiel est la plus petite croissance possible pour |f (z)| lorsque

f est une fonction entière non polynomiale. On peut démontrer de nombreux résultats

sur les fonctions entières de type exponentiel, par exemple sur la croissance de leurs coefficients (à partir des inégalités de Cauchy) ou sur leurs zéros.

On distingue, parmi les fonctions enti`eres de mˆeme ordre ρ, les fonctions de type

σf d´efini par la formule

σf = lim sup r→+∞

ln(Mf(r))

rρ . (1.2.13)

Selon la valeur de σf, on distingue le type minimal (σf = 0), normal (0 < σf <

+∞) ou maximal (σf = +∞).

On montre les r´esultats suivants : 1. ρf +g ≤ max(ρf, ρg)

2. ρf.g ≤ max(ρf, ρg)

3. σf +g ≤ max(σf, σg)

4. σf.g ≤ σf + σg

Exemple 1.2.4.1

1. La fonction z → exp(z) est d’ordre 1 ainsi que les fonctions z → cos(z) et z → sin(z). 2. La fonction de Mittag-Leffler f (z) = +∞ X n=0 zn Γ¡1 + n/ρ¢ et la fonction f (z) = +∞ X n=0 ³ z n1/ρ ´_n , sont d’ordre ρ.

3. Si P est un polynôme de degré k de C, la fonction f (z) = exp¡P (z)¢ est entière et son ordre est k.

(23)

M.Harfaoui Croissance des fonctions enti`eres

1.2.5 Relation entre les coefficients et la croissance

Si la fonction enti`ere est telle que

f (z) =X

n≥0

anzn et que Mf(r) ≤ eA.r

k

(1.2.14)

pour r suffisamment grand, alors on a : | an |≤

³eAk

n

´_n/k

, pour n suffisamment grand. R´eciproquement, si l’on a | an |≤

³eAk

n

´_n/k

pour n suffisamment grand, alors, pour tout ² > 0,

Mf(r) ≤ e(A+²).r

k

(1.2.15) pour r suffisamment grand. De ce résultat on déduit l’ordre de la fonction entière est déterminé par la formule

ρf = lim sup r→+∞

n ln(n) − ln(an)

. (1.2.16)

Le type de la fonction entière est déterminé par la formule

σf =

1

ρ.elim supr→+∞ n(| an |)

n/ρ_. _(1.2.17)

1.2.6 L’ordre de la d´

eriv´

ee d’une fonction enti`

ere

L’ordre de la dérivée d’une fonction entière est égal à l’ordre de cette fonction. Et, comme une fonction entière est indéfiniment dérivable, il en est de même de toutes ses dérivées.

1.2.7 Les fonctions enti`

eres `

a croissance r´

eguli`

ere

Dans ses études sur les fonctions entières, Émile Borel a défini les fonctions entières à croissance régulière en supposant que l’ordre de la fonction entière est

lim

r→∞

ln ln(M(r))

ln(r) . (1.2.18)

Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction entière d’ordre ρ soit une fonction à croissance régulière est

|an|1/n < n−1/(ρ+²) (1.2.19)

pour tout entier n assez grand et tout ² > 0 et qu’il existe une suite d’entiers np

(24)

Fonctions plurisouharmoniques M.Harfaoui lim n→∞ np+1 np = 1. (1.2.20) et pour laquelle on a |anp| 1/np _{> n}−1/(ρ+²p) p (1.2.21) avec lim n→∞²p = 0. (1.2.22)

La formule de Jensen et l’exposant de convergence des zéros Cette formule est fondamentale dans la suite de la théorie, même si elle n’intervient pas explicitement. On la démontre par exemple par l’emploi de la formule de Green.

1.3 Fonctions plurisouharmoniques

En mathématiques, une fonction sous-harmonique est une fonction définie sur un domaine du plan complexe et à valeurs réelles vérifiant certaines conditions d’har-monicité plus faibles que celles vérifiées par les fonctions harmoniques. C’est une notion introduite en analyse harmonique pour résoudre le problème fondamental dit problème de Dirichlet ; la résolution de ce problème utilisant les fonctions sous-harmoniques est appelée méthode de Perron.

Définition 1.3.1 Soit Ω un ouvert de C . Une fonction u : Ω → [−∞, +∞[ est dite sous-harmonique dans Ω si elle vérifie les deux propriétés suivantes :

u est continue.

u possède la propriété de sous-moyenne locale : pour tout point z0 ∈ Ω , on peut

trouver r0 > 0 tel que :

u(z0) ≤ Z _2π 0 u(z0+ reit) dt 2π,

pour tout r < r0 . Parfois, on trouve une autre d´efinition imposant que la fonction

u soit semi-continue sup´erieurement.

On note P SH³Ω´ l’ensemble des fonctions pluri-souharmoniques sur U.

Les fonctions sous-harmoniques vérifient les propriétés importantes suivantes : 1. Le principe du maximum : si U est un ouvert borné, si f est sous-harmonique

dans U et continue sur sa fermeture, alors

∀ z ∈ U : f (z) ≤ sup

w∈∂U

(25)

M.Harfaoui Fonction potentielle et capacité 2. la propriété du majorant harmonique : une fonction f définie sur l’ouvert U

est sous-harmonique si et seulement si, pour tout compact K inclus dans U, pour toute fonction h : K− > R continue sur K, harmonique dans l’intérieur de K, et telle que sur le bord de K, alors dans K tout entier. Ceci justifie la terminologie ”harmonique”, et prouve également qu’une fonction sous-harmonique f définie sur U vérifie la propriété de la sous-moyenne globale : pour tout a de U et tout r > 0 tel que le disque D(a, r) est contenu dans U, alors f (a) ≤ 1 2π Z _2π 0 f (a + reiθdθ.

De plus, signalons qu’une fonction f de classe C2 _{sur U est sous-harmonique}

dans U si et seulement si ∆f ≥ 0 ≥.

Les fonctions sous-harmoniques sont parfois définies comme étant semi-continues supérieurement, et non continues.

Th´eor`eme 1.3.1

Soit Ω un ouvrt de Cn_{. Une fonction u : Ω :→ [−∞; +∞[ d´efinie sur l’ouvert Ω}

est plurisousharmonique si et seulement si : (i) u est semi-continue sup´erieurement ;

(ii) pour toute droite (affine) complexe L ⊂ Cn_,u

L∩Ω est sous-harmonique sur

uL∩Ω.

Exemple 1.3.0.1

Si f est holomorphe, log¡| f | ¢ est pluri-sousharmonique,

si ϕ est convexe croissante et u pluri-sousharmonique, ϕou est pluri-sousharmonique, et, en particulier, si f est holomorphe dans Ω, pour tout p > 0, | f |p _est

pluri-sousharmonique.

1.4 Fonction potentielle et Capacit´

e

La théorie du potentiel est une branche des mathématiques qui s’est développée à partir de la notion physique de potentiel newtonien introduite par Poisson pour les besoins de la mécanique newtonienne.

Elle concerne l’étude de l’opérateur laplacien et notamment des fonctions har-moniques et sous harhar-moniques. Dans le plan complexe par exemple, cette théorie commence par l’étude de la fonction potentiel et de son énergie définies de la manière suivante :

Soit µ une mesure de Borel finie à support compact dans C. Le potentiel associé est défini sur C par

(26)

Fonction potentielle et capacit´e M.Harfaoui

pµ(z) =

Z

log | z − w | dµ(w). (1.4.1)

L’énergie I(µ) de µ est définie comme étant la somme des potentiels :

I(µ) =

Z Z

log | z − w | dµ(w)dµ(z). (1.4.2) Le potentiel est un exemple simple de fonction sous harmonique. Un théorème de représentation de Riesz nous dit que sous certaines conditions très simples, les fonctions sous harmoniques sont les fonctions potentielles, modulo l’ensemble des fonctions harmoniques. Cette remarque donne donc tout son intérêt à l’étude des fonctions potentielles.

La capacité est une fonction agissant sur les ensembles. Elle est à la théorie du potentiel, ce que la mesure est à la théorie de la mesure. Elle permet en quelque sorte de mesurer la taille d’un ensemble, au sens de la théorie du potentiel. Elle apparaˆıt naturellement dans plusieurs domaines des mathématiques, notamment en théorie de l’approximation ou en analyse complexe.

D´efinition 1.4.1

Si K est un sous ensemble de C, sa capacit´e est d´efinie par c(K) = sup

µ e

I(µ)_, _(1.4.3)

le sup ´etant pris sur toutes les mesures de probabilit´e de Borel.

On peut modifier légèrement la définition du potentiel, en rempla¸cant la distance euclidienne par la pseudo-distance hyperbolique, dans le cas où est un sous ensemble du disque unité, ou par la distance sphérique, dans le cas où est un sous ensemble de la sphère de Riemann. Cela fournira alors de nouvelles capacités, respectivement la capacité hyperbolique et la capacité sphérique ou elliptique de K.

Un ensemble est dit polaire s’il est de capacité nulle. On peut montrer qu’un sous ensemble du disque unité est polaire si et seulement s’il est polaire relativement aux capacités hyperbolique et elliptique.

Un ensemble polaire est nécessairement de mesure de Lebesgue nulle. Les en-sembles polaires et de mesure de Lebesgue nulle sont totalement discontinus. On peut voir que la réciproque à ces deux assertions est fausse. L’ensemble triadique de Cantor est totalement discontinu et de mesure nulle, mais n’est pas de capacité nulle.

La capacité est relativement difficile à manipuler et à étudier, du fait qu’elle n’est ni additive, ni sous ou sur additive.

Il est connu que si u est une fonction pluri-souharmonique sur un ouvert Ω et localement born´ee, alors (ddc_u)n _{est une mesure de Borel positive sur Ω.}

(27)

M.Harfaoui Inégalité de Markov Définition 1.4.2

Si Ω est fortement pseudoconvexe, born´ee sur Cn_{, alors la capacit´e d’un compact}

K de Ω donn´ee par : C(K, Ω) = sup{

Z

K

(ddc_u)n _{: u pshsurΩ, 0 < u < 1}.}

1.5 In´

egalit´

e de Markov

L’inégalité de Markov joue un rôle important en théorie constructive de fonctions. Dans les deux dernières décennies, on a développé sa théorie multidimensionnelle.

En 1889, Andrei Andreievitch Markov a répondu à une question posée deux ans plus tôt par Mendeleev en montrant que, pour tout polynôme p ∈ C[x] , on a

| P0_{(x) |≤ (degP )}2 _{k P k}

[−1,1], pour x ∈ [−1, 1], (1.5.1)

où k p kI= supI | p(x) |. Ce résultat est optimal puisque, pour les polynômes de

Tchebyschev

Tk(x) = cos

¡

k. arccos(x)¢, x ∈ [1, 1], k = 1, 2, ..., (1.5.2) on a k Tkk[−1,1]= 1 et | T n(±1) |= n2.

L’inégalité de Markov a été le point de départ d’une énorme littérature. En effet, elle a de nombreuses applications en analyse et en physique.

Pour des d´etails on peut se reporter ‘a l’ouvrage de Rahman et Schmeisser (Q. I.

Rahman and G. Schmeisser, Analytic Theory of Polynomials, London-Mathematical Society Monographs. New Series, vol. 26, The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 2002.).

La théorie correspondante en plusieurs variables est relativement nouvelle : avant 1980, toutes les extensions connues de l’inégalité de Markov, dans la pratique, concer-naient uniquement des ensembles compacts, convexes et d’intérieur non vide de Rn _{(voir, e.g., Baouendi-Goulaouic). Le principal obstacle ‘a l’étude des cas plus}

généraux provenait de l’existence, dans Rn_{, d’ensembles à points n’admettant}

au-cune extension multidimensionnelle de l’inégalité de Markov. Cette remarque est due à Zerner (M. Zerner, Développement en séries de polynômes orthonor-maux des fonctions indéfiniment différentiables, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. Série I. Mathématique 268 (1969), 218-220.).

Exemple 1.1.

On pose E = {(x, y) ∈ R2 _{: 0 < y ≤ exp(−1/x), 0 < x ≤ 1} ∪ {(0, 0)} et}

Pk(x, y) = y(1 − x)k pour k = 1, 2, ....

On a donc degPk = k + 1, et k

∂Pk

∂y kE= 1, tandis que k Pk kE< exp(−

√

(28)

Fonction de Green avec pôle logarithmique à l’infini M.Harfaoui Par conséquent, il n’existe pas de constantes M > 0 et r > 0 telles qu’on ait, pour tout k,

k ∂Pk

∂y kE≤ M(k + 1)

r _{k P}

k kE (1.5.3)

Il est alors naturel de chercher les parties de Rn pour lesquelles il est possible d’établir des majorations de l’exemple 1.1. On est ainsi ramené à la définition sui-vante.

D´efinition 1.5.1

On dira qu’une partie compacte de Rn_{admet (ou préserve) l’inégalité de Markov,}

ou bien qu’elle est markovienne, s’il existe des constantes M > 0 et r > 0 telles que, pour tout polynˆome P ∈ R[x1, ..., xn], on ait

k−→∇¡P¢kE≤ M(deg(P ))r k P kE (1.5.4) k−→∇¡P¢kE≤ M(deg(P ))r k P kE, (1.5.5) o`u −→∇¡P¢=³ ∂P ∂x1 , ∂P ∂x2 , ..., ∂P ∂xn ´ .

Une théorie satisfaisante de l’inégalité de Markov en plusieurs variables, abordant en particulier le cas d’ensembles à pointes, a été développée dans les dernières deux décennies par Pawucki, Plesniak, Goetgheluck, Baran, Bials-Cieÿz, Jonsson, Bos, Levenberg, Milman, Taylor, Goncharov, Totik et autres. Donnons ici un exemple d’un compact markovien de Rn _{à pointes, dû à Goetgheluck (P. Goetgheluck,}

Inégalité de Markov dans les ensembles effilés, Journal of Approxima-tion Theory 30 (1980), no. 2, 149-154.).

Th´eor`eme 1.5.1

Soit, pour k ≥ 1,

Ek = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ xk, 0 ≤ x ≤ 1}. (1.5.6)

Alors l’ensemble Ek est markovien, pour l’exposant r = 2k. De plus, la valeur 2k est

optimale.

L’ensemble Ek, d´efini ci-dessus, est un sous-ensemble semi-analytique de R2.

On peut alors se demander si toute partie semi-analytique (plus général, sous-analytique) de R2 _{admet une inégalité de Markov. La réponse à cette question est}

fournie par la théorie de Pawucki-Plésniak présentée ci-dessous, dont le point de départ était l’exemple de Goetgheluck.

(29)

M.Harfaoui1.6. FONCTION DE GREEN AVEC P ˆOLE LOGARITHMIQUE `A L’INFINI

1.6 Fonction de Green avec pˆ

ole logarithmique `

a

l’infini

L’approximation d’une fonction donnée par une autre, plus simple, est un outil très efficace et répandu dans les mathématiques appliquées.

La fonction de Siciak établit un lien important entre l’approximation polynomiale à plusieurs variables et de la théorie pluripotentielle. Elle donne de nombreuses applications dans l’analyse complexe et réelle.

1.6.1 Classe de Lelong de fonctions plurisubharmoniques.

Si on pose

L

³

Cn´_{= {u ∈ P SH}³_Cn´_{: u(z) ≤ ln(1+ | z |) + O(1); quand z → ∞, } (1.6.1)}

Cette classe de fonctions est appelée : classe de Lelong de fonctions plurisoushar-moniques à croissance logarithmique à l’infini ou fonctions à crissance minimale.

Il est bien connu que

VK(z) = sup

n

u(z) : u ∈ L³Cn´_{; u ≤ 0 sur K}.} _(1.6.2)

Si K est nonpluripolaire (i.e il n’existe pas de fonction plurisousharmonique u telle que K ⊂ {u(z) = −∞}, alors la fonction plurisousharmonique

V∗

K(z) = lim sup

w→z VK(w) (1.6.3)

est la seule fonction dans L ³

Cn´ _{qui s’annule sur K sauf peut-ˆetre pour un}

sous-ensemble pluripolaire et satisfait à l’équation de Monge-Ampère complexe ¡

ddcV_K∗¢n= 0, dans Cn\ K (1.6.4) (Bedford et Taylor 1982)(voir [2]).

Cette fonction est appelée : fonction extremale de Siciak. Elle est un équivalent multidimensionnel de la fonction de Green classique pour C\ bK, où bK désigne

l’en-veloppe polynomiale de K. Si V∗

K est r´egularis´ee alors :

1. ou bien V∗ K ≡ −∞, 2. ou bien V∗ K ∈ L ³ Cn´_{et v´erifie la ra relation L}+ _: (a) ln(1+ | z |) − C1 ≤ VK∗(z) ≤ ln(1+ | z |) − C2, (b) V∗ K = 0 sur K ◦ , ¡ddc_V∗ K ¢_n = 0 sur Cn_{\ K}

(30)

Ensembles pluripolaires M.Harfaoui (c) Z K ¡ ddc_V∗ K ¢_n = 1

Si n = 1 l’équation de Monge-Ampère complexe se réduit à l’équation de Laplace classique. Pour cette raison, la fonction V∗

K est consid´er´ee comme la fonction de

Green classique à pôle logarithmique à l’infini et elle est appelée : fonction de Green pluricomplexe associée à K.

La fonction de Green pour la boule fermée B de centre a de rayon r est donnée par la formule : VB(z) = ln+ ¡k z − a k r ¢ ∀ z ∈ Cn_, où ln+(x) = max(x, 0).

Siciak a introduit deux notions de r´egularit´e dans Cn_{. Soit K un sous-ensemble}

de Cn _{et a ∈ C}n_.

Il est bien connu que les inégalités polynomiales multivariées sont étroitement liées à la fonction extrémal de Scicik associé à un sous-ensemble compact K de Cn_.

En effet d’apr`es Siciak si K est compact de Cn_{, La fonction extremale de Siciak}

peut ˆetre obtenu par la formule

VK = sup

n 1

dln |Pd|, Pd polynˆome de degr´e e ≤ d, kPdkK ≤ 1

o

(1.6.5) o`u P est un polynˆome non constant de Cn_.

1.6.2 Ensembles pluripolaires de C

n D´efinition 1.6.1

Un ensemble E de Cn _{est localement pluripolaire si chaque point a de E a un}

voisinage ouvert V et il existe une fonction v pliurisouharmonique sur V telle que E ∩ V ⊂ {z ∈ V : V (z) = −∞}.

Un ensemble E de Cn _{est (globalement) pluripolaire si il existe une fonction}

v ∈ P SH¡Cn¢ _{de telle sorte que}

E ⊂ {z ∈ Cn _{: v(z) = −∞}.}

D´efinition 1.6.2

Un ensemble E de Cn _{est L-pluripolaire si il existe une fonction v ∈ L de telle}

sorte que

E ⊂ {z ∈ Cn _{: v(z) = −∞}.}

Proposition 1.6.1

(31)

M.Harfaoui Ensembles pluripolaires 1. E est globalement pluripolaire

2. E est localement pluripolaire

3. E est L-pluripolaire

1.6.3 Ensembles plurir´

eguliers de C

n

_.

D´efinition 1.6.3

On dit que K v´erifie la condition polynomiale de Leja en a ¡L0

¢

si ; Pour toute famille F de polynˆome de Cn _{tele que}

et tout ² > 0, il existe un voisinage U de a et une constante M tels que

¯

¯P (z)¯¯ ≤ Me².d0_P

, ∀P ∈ F, ∀z ∈ U.

D´efinition 1.6.4

K est dit L-r´egulier au point a si V∗

K(a) = 0, avec

V_K∗ = Regsup h

o`u L est l’ensemble des fonctions plurisouharmoniques u sur Cn _v´erifiant

u(z) ≤ Cu+ Log(1+ | z |), ∀z ∈ Cn.

La deuxi`eme d´efinition est l’extension naturelle de la notion de non effilement dans C.

Lorsque K est compact les deux d´efinitions sont ´equivalentes. Proposition 1.6.2 Si la fonction V∗

K est continue sur K alors elle est continue sur

Cn _{et V}∗

K = VK. Dans ce cas on dit que K est pluri-r´egulier.

Proposition 1.6.3 lLe compact K est pluri-r´egulier si et seulement si K ⊂ {V∗ K <

²} pour tout ² > 0.

En cons´equence

Proposition 1.6.4 lLe compact K est pluri-régulier si et seulement si il vérifie l’inégualité de Bernstein- Markov :

¡

B.M¢ : ∀² > 0 ∃ un onvert Utel que k P kU≤ e².d

◦_P

k P kK, pour tout polynˆome de Cn

On prend U = {V∗

(32)

Ensembles pluripolaires M.Harfaoui D´efinition 1.6.5

L’enveloppe convexe d’un compact est donn´e par :

b

K = {z ∈ Cn :k P (z) k≤k P kK, pour tout polynome P }.

Un compact K est dit polynomialement convexe si bK = K.

Exemple 1.6.3.1 Si K1 = {(z1, z2) :| z1 |≤ 1, | z2 |≤ r < 1} et K2 = {(z1, z2), |

z2 |≤ 1, | z1 |≤ r < 1}, on peut montrer que

K = {(z1, z2) :| z1 |≤ 1, | z2 |≤ 1, | z1.z2 |≤ r}.

On pend P (z1, z2) = z1.z2.

Proposition 1.6.5 Si bK est l’enveloppe convexe d’un compact K alors :

1. K = {z ∈ Cb n_{: V}

K(z) = 0},

2. VK = V_Kb.

tout compact K on a :

Le compact K est pluri-r´egulier si et seulement si K ⊂ {V∗

K < ²} pour tout ² > 0.

Par la définition de VK on obtient l’inégalité de type Bernstein-Walsh :

¯ ¯P (z)¯¯ ≤°°P°° K ¡ exp(VK(z)) ¢_degP (1.6.6) pour tout polynˆome P ∈ Cn_[z].

Par conséquent, le point crucial pour les applications est d’établir la continuité de VK dans Cn, ce qui est équivalent, par Zakharyuta 1976 et Siciak 1983, à la

propri´et´e suivante :

Pour tout b > 1, il existe un voisinage U de K et une constante M > 0 tel que °

°P°°

U ≤ M.b

degP°°P°°

K (1.6.7)

pour tout polynˆome P ∈ Cn_[z].

Dans un tel cas, l’ensemble K est dit pluriregulier ou bien L-r´egulier. D’après la formule intégrale de Cauchy , on a l’inégalité de Markov : Pour tout polynôme P ∈ Cn_[z],

¯

¯Gradient¡P (z)¢≤ M.(degP )r°°P°°_K (1.6.8) pour z ∈ K, M et r des constantes ind´ependantes de P .

L’inégalité de Markov, et l’inégalité de Bernstein-Walsh, est l’un des outils fon-damentaux de la théorie des fonctions constructives.

Dans le plan on le r´esultat suivant :

Théorème 1.6.1 Soit K ⊂ C un compact avec C \ K connexe. Alors pour toute fonction f holomorphe sur un voisinage de K, il existe une suite Pn de polynômes

holomorphes qui converge uniformements vers f sur K.

(33)

M.Harfaoui Ensembles pluripolaires Dans Cn _{ce r´esultat devient :}

Th´eor`eme 1.6.2 Soit K ⊂ Cn _{un compact, avec b}_{K = K. Alors toute fonction f}

holomorphe sur un voisinage de K, il existe une suite Pn de polynˆomes holomorphes

(34)

Chapitre 2

Best polynomial approximation in

L

p

-norm and (p, q)-growth of

entire functions

2.1 Introduction.

Let f (z) = +∞ X k=0

akzλk be a nonconstant entire function and M(f, r) = max |z|=r

¯ ¯f(z)¯¯. It is well known that the function r 7→ log(M(f, r)) is indefinitely increasing convex function of log(r). To estimate the growth of f precisely, R. P. Boas, (see [4]), has introduced the concept of order, defined by the number ρ (0 ≤ ρ ≤ +∞) :

ρ = lim sup

r→+∞

log log(M(f, r))

log(r) . (2.1.1)

The concept of type has been introduced to determine the relative growth of two functions of same nonzero finite order. An entire function, of order ρ, 0 < ρ < +∞, is said to be of type σ, 0 ≤ σ ≤ +∞, if

σ = lim sup

r→+∞

log(M(f, r))

rρ . (2.1.2)

If f is an entire function of infinite or zero order, the definition of type is not valid and the growth of such function cannot be precisely measured by the above concept. Bajpai et al. (see [1]) have introduced the concept of index-pair of an entire function. Thus, for p ≥ q ≥ 1, they have defined the number

ρ(p, q) = lim sup

r→+∞

log[p](M(f, r))

log[q]_(r) , (2.1.3)

b ≤ ρ(p, q) ≤ +∞, where b = 0 if p > q and b = 1 if p = q, where log[0]_{(x) = x, and}

(35)

M.Harfaoui Introduction The function f is said to be of index-pair (p, q) if ρ(p − 1, q − 1) is nonzero finite number. The number ρ(p, q) is called the (p, q)-order of f .

Bajpai et al. have also defined the concept of the (p, q)-type σ(p, q), for b <

ρ(p, q) < +∞, by σ(p, q) = lim sup r→+∞ log[p−1]((M(f, r))) ³ log[q−1](r) ´_ρ(p,q) . (2.1.4)

In their works, the authors established the relationship of (p, q)-growth of f with respect to the coefficients ak in the Maclaurin series of f .

We have also many results in terms of polynomial approximation in classical case. Let K be a compact subset of the complex plane C of positive logarithmic capacity, and f a complex function defined and bounded on K. For k ∈ N, put

Ek(K, f ) = ° °f − Tk ° ° K (2.1.5)

where the norm °°.°°_K is the maximum on K and Tk is the k-th Chebytchev

polynomial of the best approximation to f on K.

S. N. Bernstein showed (see [3], p.14), for K = [−1, 1], that there exists a constant

ρ > 0 such that

lim

k→+∞k

1/ρpk _E

k(K, f ) (2.1.6)

is finite, if and only if, f is the restriction to K of an entire function of order ρ and some finite type.

This result has been generalized by A. R. Reddy (see [28] and [29]) as follows : lim

k→+∞

k

p

Ek(K, f ) = (ρeσ)2−ρ (2.1.7)

if and only if f is the restriction to K of an entire function g of order ρ and type

σ for K = [−1, 1].

In the same way T. Winiarski (see [33]) generalized this result to a compact K of the complex plane C of positive logarithmic capacity, denoted c = cap(K) as follows :

If K is a compact subset of the complex plane C, of positive logarithmic capacity then lim k→+∞k ³ Ek(K, f ) ´_ρ/k = cρ_eρσ _(2.1.8)

if and only if f is the restriction to K of an entire function of order ρ (0 < ρ < +∞) and type σ.

Recall that the capacity of [−1, 1] is cap([−1, 1]) = 1

2 and the capacity of a unit disc is cap(D(0, 1)) = 1.