V ARIABLES D ’ ETAT

V ARIABLES D ’ ETAT

Comme nous l’avons vu dans le chapitre précédent, les variables d’état sont un moyen de décrire l’état d’un système. Nous allons voir que la description thermodynamique diffère de la description mécanique à cause de la complexité des systèmes thermodynamiques. Et nous introduirons deux variables d’état importantes, la température et la pression.

I. Description statistique et description classique

En Mécanique newtonienne l’état d’un système est décrit par les positions et les vitesses de toutes ses parties. En effet cette Mécanique permet de prévoir l’état ultérieur d’un système à partir des positions et des vitesses à un instant donné si on connaît les forces exercées sur ce système.

Même un système thermodynamique très simple, comme une masse de gaz pur monoatomique (par exemple de l’hélium, He) nécessite un extrêmement grand nombre de données. Décrire cette masse de gaz se fait a priori en décrivant l’état de chaque molécule qui la constitue, c’est à dire en indiquant tous les couples position-vitesse des molécules. (Si la molécule n’est pas monoatomique, il faut aussi décrire les positions et vitesses des atomes dans la molécule.) Pour une mole (4 g dans le cas de l’hélium) qui contient N = 6,02. 10²³ molécules cela fait 6N nombres, car il y a pour chaque molécule 3 composantes pour le vecteur-position et 3 composantes pour le vecteur-vitesse, soient 6 données par molécule. Ce système, une masse de gaz pur monoatomique placé dans une enceinte, est donc extrêmement complexe et pourtant c’est un des systèmes thermodynamiques les plus simples.

On peut traiter ces données, attachées à l’échelle microscopique, par des procédés statistiques : c’est la méthode de la Thermodynamique statistique. La Thermodynamique classique cherche à décrire les systèmes à l’échelle macroscopique à l’aide d’un nombre restreint de grandeurs physiques, les variables d’état. Sa méthode consiste en la recherche d’équations liant les variables d’état.

La Thermodynamique statistique se place d’un point de vue microscopique tandis que la Thermodynamique classique adopte un point de vue macroscopique. Elles adaptent leur méthode à chacun de ces points de vue. Leur but commun est de décrire l’état du système et de prévoir son évolution lorsqu’il subit des actions.

Vous avez déjà rencontré certaines variables d’état comme la masse ou le volume. Il en existe beaucoup d’autres en Thermodynamique, en particulier des variables énergétiques que nous étudierons dans des chapitres ultérieurs. Nous allons maintenant dire quelques mots de la température et de la pression car la température est une variable d’état caractéristique de la Thermodynamique et un grand nombre de systèmes sont soumis à une pression.

II. Température

A. Le sens du toucher

Notre première approche de la température est liée au sens du toucher. Lorsque nous touchons un objet il nous paraît plus ou moins chaud, plus ou moins froid. Mais ce sens du toucher n’est pas adapté à la mesure scientifique d’une température. En effet, l’hiver quand nous entrons dans une maison, nous trouvons qu’il y fait très chaud ; un peu plus tard, après un temps d’immobilité, nous trouvons qu’il fait froid ; et pourtant, la température de la maison pilotée par le thermostat de la chaudière n’a pas varié. D’autre part, si nous trempons la main dans de l’eau froide puis dans de l’eau tiède celle-ci nous paraîtra très chaude. Ou encore, toucher un glaçon peut nous donner un sentiment de brûlure. Il est donc nécessaire de recourir à des thermomètres. Examinons un thermomètre usuel : sa constitution, son utilisation, sa graduation.

B. Thermomètre usuel à mercure ou à alcool coloré

Un thermomètre usuel est formé d’un petit réservoir en verre rempli de mercure (ou d’alcool coloré) surmonté d’un tube fin muni d’une graduation. Lorsque la température augmente, le liquide se dilate ; son enveloppe aussi mais moins ; donc la hauteur de liquide dans le tube augmente.

La hauteur de liquide est appelée grandeur thermométrique : c’est une variable d’état qui caractérise le thermomètre et qui dépend de la température.

2. Utilisation

Lorsqu’on met un thermomètre usuel à mercure (ou à alcool coloré) dans de l’eau chaude, le niveau du mercure monte et se stabilise assez rapidement. On constate trois propriétés : Le temps de relaxation est assez faible, l’eau chaude reste chaude, la hauteur de la colonne de mercure indique la température.

3. Graduation

Pour réaliser la graduation du thermomètre, il faut attribuer une température à chaque hauteur de liquide.

On peut obtenir cette graduation grâce à deux points repères appelés « points fixes » en thermométrie.

Qu’est-ce qu’un point fixe ? C’est la température d’un système facilement réalisable et reproductible.

Par exemple, prenons un thermomètre usuel à mercure et plongeons-le dans un mélange eau-glace. La hauteur de mercure prend une certaine valeur h0. Chauffons un peu pour faire fondre un peu de glace, la hauteur reste la même. La température du mélange eau-glace ne dépend ni de la quantité d’eau, ni de celle de glace¹. La température de l’eau bouillante est un autre point fixe.

La valeur de ces points fixes dépend de la pression. Par exemple, en haut du Mont-Blanc où la pression atmosphérique est plus faible, l’eau ne bout pas à la même température qu’en bas. C’est pourquoi les deux points fixes utilisés sont définis comme les températures des points de congélation et d’ébullition de l’eau sous la pression atmosphérique normale.

Comment réalise-t-on la graduation ? On plonge le thermomètre dans le mélange eau-glace sous la pression atmosphérique normale, on trace un trait sur le tube en haut du mercure. On lui attribue la température 0°.

On recommence dans l’eau bouillante, on attribue à ce nouveau trait la valeur 100°. Et on divise en 100 parties égales. On a ainsi construit une échelle thermométrique, plus précisément une échelle centésimale de température².

Deux questions se posent auxquelles le lien entre équilibre thermique et température permet de répondre : - Quel est le principe qui sous-tend l’existence des thermomètres ?

- Quelles propriétés doivent-ils posséder ?

Et une troisième question à laquelle l’histoire des thermomètres permet de répondre :

- Comment l’échelle thermométrique est-elle déterminée c’est-à-dire comment choisit-on les points fixes et les températures qui leur sont attribuées ?

Les paragraphes suivants examinent ces questions.

Une remarque préalable : Le fait d’utiliser une sonde thermométrique ne change rien à toutes ces questions car cela ne fait que remplacer un capteur de température par un autre. Mais cela rend la description de leurs réponses plus abstraite. D’où le choix de conserver le thermomètre classique.

1 Si nous faisons fondre toute la glace et continuons à chauffer alors le niveau du mercure montera. Mais nous n’aurons visiblement plus le même système.

2 Voir le complément T02.C1 pour la définition et l’expression de la fonction thermométrique qui permet d’associer mathématiquement une température à chaque valeur de la grandeur thermométrique.

C. Équilibre thermique et température

1. Notion de température, principe 0 de la Thermodynamique

Une température donnée est une étiquette qui regroupe tous les systèmes qui sont en équilibre thermique les uns avec les autres. Deux systèmes A et B en équilibre thermique ont par définition la même température.

Celle-ci est la variable d’état qui caractérise l’équilibre thermique.

D’après ce principe, un troisième système C en équilibre thermique avec le système A possède la même température et est donc aussi en équilibre thermique avec le système B.

2. Existence et intérêt des thermomètres

C’est le principe 0 qui justifie l’existence et l’intérêt des thermomètres. Quand un thermomètre B est en équilibre thermique avec le système A, il indique la température du système A. Si nous le mettons en contact avec le système C et qu’il indique la même température, alors sans même les mettre en contact, nous savons que le système A est en équilibre thermique avec le système C.

3. Fonctionnement d’un thermomètre

De façon générale, lors du contact d’un thermomètre avec un système thermodynamique, un échange d’énergie sous forme thermique se produit. Cet échange est relativement rapide et ne modifie presque pas la température du système mais impose cette température au thermomètre. De façon qualitative, on peut dire que le thermomètre est, du point de vue des échanges thermiques, beaucoup plus « petit » que le système. Nous y reviendrons quantitativement dans un chapitre ultérieur.

Nous avons répondu aux deux premières questions, passons à la troisième. La construction d’une échelle thermométrique comporte plusieurs choix arbitraires. Pour illustrer ce point faisons un peu d’histoire.

D. Un peu d’histoire : Fahrenheit, Celsius

Daniel Fahrenheit est un physicien allemand, né à Dantzig en 1686 (actuelle Gdansk en Pologne), mort à La Haye (Pays-Bas) en 1786. Il crée en 1714 un thermomètre dont les points fixes sont la température de congélation d’un mélange d’eau et de chlorure d’ammonium et la température du corps humain. Il leur attribue les températures 0° et 96°.

On peut se demander « Pourquoi ces choix ? ». Ils découlent de l’histoire de la réalisation de ce thermomètre, d’une succession de décisions arbitraires. Par exemple, le mélange d’eau et de chlorure d’ammonium permet de recréer en laboratoire la température la plus froide observée par Fahrenheit à Dantzig et lui attribuer la valeur 0° permet de se servir de températures positives, sauf cas extrêmes.

2. Anders Celsius

Anders Celsius est un astronome et physicien suédois, né en 1701 et mort en 1744, à Uppsala. En 1742, il invente un thermomètre utilisant comme points fixes la congélation et l’ébullition de l’eau auxquels il attribue respectivement les températures 100° et 0°. C'est-à-dire l’inverse de l’usage actuel, ce qui montre encore la part d’arbitraire inhérente à une échelle thermométrique ! On rapporte que c’est un de ses collègues de l’Université d’Uppsala, Carl Von Linné, célèbre biologiste, qui proposa d’inverser ce choix.

Nous venons de discuter rapidement la notion de température, variable d’état fondamentale en Thermodynamique puisqu’elle caractérise l’équilibre thermique. Nous reviendrons sur cette notion, en particulier pour introduire la température absolue, la température thermodynamique et donner la définition actuelle de l’échelle Celsius.

D’autre part, tous les systèmes que nous étudierons (solides, liquides, gaz) sont soumis à des forces de pression. Nous allons donc préciser cette notion.

III. Pression

On fait couramment référence à la pression. La coque d’un sous-marin, le fuselage d’un avion, la paroi d’un fût résistent aux pressions auxquelles ils sont soumis. Les empreintes des pas d’un homme, des sabots d’un cheval ou d’un cerf résultent de la pression exercée lors de leur marche sur le sol. Sans oublier la pression atmosphérique, toujours mentionnée dans les bulletins météo.

A. Notion de pression

Lorsqu’on marche dans la neige, on s’enfonce plus avec des chaussures qu’avec des raquettes. La pression exercée sur la neige est plus grande dans le premier cas.

Considérons une personne immobile sur un plan horizontal enneigé ! La force qu’elle exerce sur la neige est égale à son poids dans les deux cas. Mais la surface de contact des chaussures avec la neige est plus petite que celle des raquettes. Avec les chaussures la force exercée est répartie sur une plus petite surface. Et la pression est plus grande.

Si deux personnes de poids différents chaussent, l’une après l’autre, les mêmes raquettes, la plus lourde exercera la plus grande pression.

B. Définition de la pression

La pression augmente avec l’intensité de la force et diminue avec l’aire de la surface. Voir figure 1. On définit la pression comme le quotient de l’intensité³ de la force, exercée perpendiculairement sur une surface, par l’aire de cette surface :

p F

= S

T02 Figure 1 : Force pressante exercée sur une surface d’aire S.

Dans le système international l’unité de pression est le pascal qui s’abrège Pa. L’unité légale de force est le newton (N) et celle de l’aire est le mètre-carré (m²), donc :

1 Pa = 1 N.m^-2

Remarque : Lorsqu’une personne court sa pointe de pied et son talon n’exercent pas la même pression sur la neige. On est donc conduit à donner une définition locale de la pression⁴.

Remarque : Des forces de frottement peuvent s’exercer tangentiellement aux surfaces. Nous n’étudions que les forces de pression, perpendiculaires aux surfaces de contact.

Ce paragraphe avait pour but d’introduire la notion de pression. Nous l’avons fait en considérant une force pressante exercée par un solide sur un autre solide. Nous allons maintenant donner quelques résultats sur les forces pressantes⁵ exercées par les fluides parfaits en équilibre au sein de ces fluides.

3 L’intensité du vecteur-force F est notée F.

4 Voir dans le complément T02.C2 la définition locale de la pression.

5 Voir dans le complément T02.C2 des exemples de forces pressantes exercées par les fluides parfaits en équilibre sur une surface solide.

IV. Forces pressantes exercées par un fluide parfait en équilibre

A. Fluide parfait

Fluide est un terme général pour désigner les liquides et les gaz.

Un fluide parfait n’est pas visqueux, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de frottement en son sein. La viscosité de l’huile, du miel, de la glycérine est plus élevée que celle de l’eau. Les gaz ont une faible viscosité.

Nous étudions les forces pressantes s’exerçant au sein de fluides parfaits en équilibre thermodynamique, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de frottement et que les équilibres mécanique et thermique sont réalisés.

B. La situation étudiée

T02 Figure 2 : Une partie de fluide et les forces qu’elle subit de la part du reste du fluide et de la Terre.

Nous étudions l’équilibre d’une petite partie de fluide parallélépipédique. Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, elle est en équilibre mécanique au sein du fluide sous l’action des forces pressantes exercées par le reste du fluide et de son poids P.

Le champ de pesanteur est considéré comme uniforme. Dire que le champ de pesanteur est uniforme c'est dire que le vecteur g est constant dans le volume considéré. C’est le cas dans un aquarium avec une très bonne précision, dans une partie de l’océan ou de l’atmosphère avec une précision qui dépend des dimensions choisies. Donc ce cas, bien que particulier, est très répandu.

C. Les plans horizontaux sont isobares

Les forces pressantes exercées par le fluide sur les faces verticales sont les seules forces qui s’exercent horizontalement. Deux forces s’exercent parallèlement à l’axe des abscisses. L’équilibre de l’élément de fluide entraîne qu’elles sont opposées. L’égalité de leur intensité montre que la pression ne dépend pas de l’abscisse x. La situation est semblable parallèlement à l’axe des ordonnées. Donc la pression ne dépend pas non plus de l’ordonnée y. Ainsi nous avons montré que la pression est uniforme dans tout plan horizontal.

En d’autres termes : - Elle n’est fonction que de la cote z. - Chaque plan horizontal (z = constante) est une surface d’égale pression ou surface isobare. Conséquence : La surface libre d’un liquide soumis à la pression atmosphérique uniforme et en équilibre dans le champ de pesanteur uniforme forme un plan horizontal.

D. Loi fondamentale de l’hydrostatique

La pression au sein d’un fluide parfait en équilibre dans le champ de pesanteur est fonction uniquement de l’altitude. Sa dérivée est égale au poids volumique⁷ µg du fluide considéré.

6 Voir les démonstrations dans les compléments T02.C3 & C4.

7 Poids volumique = poids par unité de volume = poids d’un corps/volume de ce corps.

( ) avec vertical, ascendant, unitaire

dp z k gk k

dz



= −

Cette équation peut aussi s’écrire sous les deux formes suivantes :

( ) ou ( )

dp z g dp z gdz

dz

 

= − = −

Connaissant l’intensité de la pesanteur cette loi permet de déterminer par intégration la pression en chaque point du fluide lorsqu’on sait exprimer la masse volumique.

2. Conséquences

Nous pouvons tout de suite en déduire que la pression diminue quand l’altitude augmente car la dérivée de la pression est négative. Deux exemples bien connus :

- La pression atmosphérique diminue quand on s’élève ; les avions sont pressurisés car les passagers ne pourraient plus bien respirer ; la pression au sommet de l’Everest est plus faible qu’au niveau de la mer, les alpinistes emportent de l’oxygène comprimé.

- La pression augmente quand on descend au fond des océans ; les plongeurs, les sous-marins doivent résister à de fortes pressions.

Nous allons maintenant déterminer la pression dans un cas particulier très important, celui du fluide parfait incompressible toujours soumis au champ de pesanteur uniforme.

E. Cas du fluide parfait incompressible dans le champ de pesanteur uniforme

- Une substance est incompressible lorsque son volume est indépendant de sa pression.

- Par exemple, les liquides et les solides sont pratiquement incompressibles. Cependant dans le noyau terrestre, lorsque la pression atteint plusieurs centaines de milliards de pascals, les solides et les liquides deviennent compressibles. Par contre même dans les conditions ordinaires, les gaz sont compressibles, leur volume dépend de la pression.

- Lorsqu’une substance est compressible sa masse volumique dépend de la pression. Plus la pression augmente, plus le volume d’une masse donnée diminue. Au contraire la masse volumique d’une substance incompressible est indépendante de la pression.

- Un fluide parfait n’est pas visqueux ; sa viscosité est nulle ; il n’y a pas de forces de frottements. Voir § IV.A.

- Le champ de pesanteur est considéré comme uniforme. Voir § IV.B.

2. Intégration de la loi fondamentale

Dans le cas d’un fluide parfait incompressible soumis au champ de pesanteur uniforme, la loi fondamentale de l’hydrostatique exprime que la dérivée de la pression est constante :

( ) de primitives : ( )

dp z g cste p z gz C

dz

 

= − = = − +

La constante C s’obtient par la donnée de la pression P0 à l’altitude z = 0 :

0 0 0

(0) .0 d'où ( )

p =P = −g + =C C  C=P p z = −gz+P

Lorsque l’altitude augmente, la pression diminue. Pour chaque mètre monté, la pression diminue d’une quantité égale au poids volumique µg du fluide :

2 1 2 1

( ) ( ) ( )

p z − p z = −g z −z

Cette loi fondamentale de l’hydrostatique intégrée dans le cas du fluide parfait incompressible et soumis au champ de pesanteur uniforme permet la comparaison des pressions au sein des gaz et des liquides et donne une méthode de mesure des pressions⁸.

F. Comparaison des gaz et des liquides

Comparons les différences de pression au sein des gaz et des liquides grâce à l’expression : p(z2) - p(z1) = - µg (z2 –z1)

La masse volumique des gaz est environ mille fois moindre que celle des liquides ou des solides. Par exemple : masse volumique de l’air 1,3 kg.m^-3, de l’eau 10³ kg.m^-3, du fer solide 7,8.10³ kg.m^-3. Donc pour une dénivellation donnée, la variation de pression est mille fois moindre dans un gaz que dans un liquide.

La hauteur d’un « récipient » usuel, flacon, ballon, bouteille de gaz comprimé ou pièce d’habitation est de l’ordre du décimètre ou du mètre. Pour une dénivellation de 1 m d’air, on calcule approximativement la variation de pression :

1 .10. 1 10 Pa p µg z

 = −  − = −

Elle est de l’ordre de 10 Pa, à comparer à la pression atmosphérique de l’ordre de 10⁵ Pa. Donc la pression peut être considérée comme uniforme au sein du gaz avec une précision de l’ordre du centième de pourcent.

Ces calculs supposent que la masse volumique est constante, ce qui est pratiquement le cas pour de si faibles variations de pression. Dans un prochain chapitre nous calculerons la pression au sein d’un gaz en tenant compte des variations de la masse volumique dues aux variations de pression.

Dans un liquide, la variation de pression pour une dénivellation de 1 m est d’environ 10⁴ Pa, mille fois plus grande que dans un gaz, soit le dixième de la pression atmosphérique. A titre de comparaison si la pression atmosphérique passait de 1013 hPa à 1104 hPa, elle aurait varié d’un dixième de sa valeur ; on ne voit jamais cela dans les bulletins météo. Cette variation est donc importante. Quand les plongeurs atteignent environ 100 mètres sous la surface, la pression est alors :

3 5 6

0 soit 10 .10.100 10 Pa 1,1.10 Pa

p= −gz+p p +

Les sous-marins expérimentaux d’exploration océanique atteignent plusieurs milliers de mètres de profondeur. Les plaines abyssales sont à environ 5000 mètres de profondeur. La pression est alors :

3 5 7

0 soit 10 .10.5000 10 Pa 5.10 Pa

p= −gz+P p +

Dans ce chapitre nous avons approfondi la notion de variable d’état. La description classique d’un système thermodynamique se fait à l’aide d’un nombre restreint de grandeurs physiques, les variables d’état, comme la masse ou le volume.

La température, grandeur qui caractérise l’équilibre thermique, est l’une de ces variables d’état. Décrire le fonctionnement et la réalisation des thermomètres nous a permis de mieux la connaître.

La pression, grandeur s’appliquant à de nombreux systèmes, en est une autre. Son étude nous a conduit à la loi fondamentale de l’hydrostatique et à quelques-unes de ses applications.

Nous allons maintenant étudier les gaz, car ils sont un des systèmes thermodynamiques les plus simples, en commençant par leur équation d’état qui relie leurs variables d’état : pression, volume et température.

8 Voir le complément T02.C6 : il décrit les manomètres à tube en U et l’expérience de mise en évidence et de mesure de la pression atmosphérique par Toricelli.