Nom :
Classe : TMATHS4 Te st n°5
Nombres complexes Date : 18/01/2021 Note : … / 20
Avis du professeur
Capacités évaluées : Non acquis Acquis
Calculer l'affixe du 4ème sommet d'un parallélogramme.
Déterminer si des points sont alignés ou non.
Calculer une longueur.
Déterminer une mesure d'angle en radians.
Justifier la nature d'un quadrilatère / d'un triangle.
Placer des points dans le plan complexe.
Déterminer / Tracer des ensembles de points.
Calculer dans C. Mettre un résultat sous forme algébrique.
Déterminer le module et un argument d'un nombre complexe.
Déterminer le cosinus et le sinus d'un angle.
Exercice 1 : On se place dans le plan complexe. … / 2,5
Les points A, B et C ont pour affixes respectives = , = et = . 1. Déterminer l'affixe du point D tel que ABCD est un parallélogramme.
2. Montrer que ABCD est un losange.
Exercice 2 : On se place dans le plan complexe. … / 3
A, B et C sont les points d'affixes respectives = , = et = . 1. Les points A, B et C sont ils alignés ? Justifier.
2. Calculer sous forme algébrique. En déduire la nature du triangle ABC.
Exercice 3 : … / 5,5
1. Placer, dans le plan complexe ci-contre, les points d'affixes suivantes :
=
=
=
=
=
=
Suite de l'exercice 3 au verso →
zA 6 + 5i zB 7 + 2i zC 10 +i
zA -7i zB 15 + 2i zC 18¡3i
zF 3(cos(8¼
3 ) +i sin(8¼ 3 )) zA 3i
zB 4(1 2 ¡
p3 2 i)
zC 2(cos(¼) +i sin(¼)) zD 4(cos(-3¼
4 ) +i sin(-3¼ 4 )) zE 2(cos(25¼
6 ) +i sin(25¼ 6 )) z¡!BC
z¡!BA
2. Déterminer puis tracer (sur la figure précédente) les ensembles e et f définis par :
◦ e = { M( ) / | | = } ◦ f = {M( ) / | | = | | }
Exercice 4 : On considère les nombres complexes = et = . … / 5
1. Ecrire sous forme algébrique.
2. Déterminer le module et un argument des nombres , et .
3. Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de et .
Exercice 5 : On considère le nombre complexe de module et d'argument . … / 4 1. Calculer et comparer et .
2. Montrer que = .
3. En déduire un calcul astucieux de la valeur de . z1 1 +ip
3 z2 2 + 2i
z1 z2
z1 z2
z1 z2
cos( ¼
12) sin( ¼ 12)
j 2¼
1 3 j2
¯j
1 +j+j2 0
z z+ 3¡i 2 z z¡zA z¡zE
j3
Correction du Test n°5 Exercice 1 : On se place dans le plan complexe.
Les points A, B et C ont pour affixes respectives = , = et = . 1. Déterminer l'affixe du point D tel que ABCD est un parallélogramme.
ABCD est un parallélogramme si et seulement si = , c'est-à-dire si et seulement si – = – .
On en déduit = – + = =
2. Montrer que ABCD est un losange.
AB = | – | = | | = | | = =
AD = | – | = | | = | | = = = AB
Or, un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
Donc ABCD est un losange.
Exercice 2 : On se place dans le plan complexe.
A, B et C sont les points d'affixes respectives = , = et = . 1. Les points A, B et C sont ils alignés ? Justifier.
A, B et C sont alignés si et seulement si et sont colinéaires.
= – = =
= – = =
= ≠ donc et ne sont pas colinéaires. On en déduit que A, B et C ne sont pas alignés.
2. Calculer sous forme algébrique. En déduire la nature du triangle ABC.
= = = = = =
Or ( ; ) ≡ arg [ ] ≡ arg [ ] ≡ [ ]
On en déduit que et sont orthogonaux et que, par conséquent, le triangle ABC est rectangle en B.
Exercice 3 :
1. Placer, dans le plan complexe ci-contre, les points d'affixes suivantes :
=
=
=
=
=
=
2. Déterminer puis tracer (sur la figure précédente) les ensembles e et f définis par :
◦ e = { M( ) / | | = } En posant Ω = on a :
M( ) ∈ e ⇔ | – Ω | = ⇔ ΩM = 2
On en déduit que e est le cercle de centre Ω et de rayon 2.
◦ f = {M( ) / | | = | | } M( ) ∈ f ⇔ | – | = | – | ⇔ AM = EM Ainsi, M appartient à f si et seulement si M est équidistant de A et de E. On en déduit que f est la médiatrice du segment [AE].
zA 6 + 5i zB 7 + 2i zC 10 +i
zA -7i zB 15 + 2i zC 18¡3i
zA 3i zB 4(1
2 ¡ p3
2 i)
zC 2(cos(¼) +i sin(¼)) zD 4(cos(-3¼
4 ) +i sin(-3¼ 4 )) zE 2(cos(25¼
6 ) +i sin(25¼ 6 )) zF 3(cos(8¼
3 ) +i sin(8¼ 3 ))
z z+ 3¡i 2 z z¡zA z¡zE
¡!DC zC zD
zD zC
zB zA 7 + 2i¡6¡5i 1¡3i p
12+ (-3)2 p 10 zA
p10 zD
¡!AB zB zA
zB zA 10 +i¡7¡2i+ 6 + 5i 9 + 4i
9 + 4i¡6¡5i 3¡i p
32+ (-1)2
¡!AB ¡!
AC z¡!AB zB zA 15 + 2i+ 7i 15 + 9i
zA
z¡!
AC zC 18¡3i+ 7i 18 + 4i 15
18 5 6
9 4
¡!AB ¡!AC
¡!BA ¡!BC (zC¡zB
zA¡zB
) 2¼ 2¼ 2¼
z¡!BC
z¡!BA
z¡!
BC
z¡!BA
zC ¡zB
zA¡zB
18¡3i¡15¡2i -7i¡15¡2i
3¡5i -15¡9i
3¡5i -3(5 + 3i)
-i(3i+ 5) -3(5 + 3i)
1 3i (1
3i) ¼
¡! 2
BA ¡!
BC
e
f
z -3 +i
z zM z 2
z zM zA zM zE
Exercice 4 : On considère les nombres complexes = et = . 1. Ecrire sous forme algébrique.
= = = =
=
2. Déterminer le module et un argument des nombres , et . =
| | = = =
En posant ( ) = on a : = et = On en déduit =
=
| | = = =
En posant ( ) = on a :
= = =
On en déduit =
| | = = = = = ( ) – ( )
Donc ≡ – [ ]
Donc ≡ [ ]
3. Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de et .
On sait d'une part que = . D'autre part | | = et ≡ [ ]
On en déduit : = = = = =
= = =
Exercice 5 : On considère le nombre complexe de module et d'argument . 1. Calculer et comparer et .
Si | | = et ≡ [ ] alors = =
On en déduit =
et = = = = =
Ainsi, on a =
2. Montrer que = .
= = =
3. En déduire un calcul astucieux de la valeur de . On sait que = .
On en déduit, en multipliant chaque membre de l'égalité par : = Or =
Donc = = =
Remarque : De même, on aurait = .
On dira que , et sont les racines 3ème de l'unité. Ce sont les solutions, dans C, de l'équation = . z1 1 +ip
3 z2 2 + 2i z1
z2
z1 z2
z1
z2
cos( ¼
12) sin( ¼ 12)
j 1 2¼
¯ 3 j j2
1 +j+j2 0 z1
z2
1 +ip 3 2 + 2i
(1 +ip
3)(2¡2i) (2 + 2i)(2¡2i)
2¡2i+ 2p
3i¡2p 3i2 22+ 22
2 + 2p
3 +i(-2 + 2p 3) 8
z1
z2
1 +p 3
4 + -1 +p 3 4 i
z1 1 +ip 3 z1
q
12+p
32 p 4 z1 µ1
cos(µ1) 1
2 sin(µ1) p3
2 µ1
¼ 3
z2 2 + 2i z2
p22+ 22 p
8 2p 2 2
z2
arg arg µ2
cos(µ2) 2
2p sin(µ2) 2
p2 2 µ2
¼ 4
z1 z2
jz1j jz2j
2 2p
2 p1
2 p2
2 arg(z1
z2) arg z1 arg z2 arg(z1
z2) ¼ 2¼ 3
¼ 4 arg(z1
z2
) ¼ 2¼ 12
z1
z2
1 +p 3
4 + -1 +p 3
4 i z1
z2
p2
2 arg(z1
z2) ¼ 12 2¼
cos( ¼ 12)
1 +p 3 p4
2 2
1 +p 3
4 £ 2
p2
1 +p 3 2p
2
p2 +p 6 4 (1 +p
3)p 2 2p
22
sin( ¼ 12)
-1 +p 3 p4
2 2
-1 +p 3
4 £ 2
p2 -p
2 +p 6 4
j 1 arg(j) 2¼ 2¼
3 j 1(cos(2¼
3 ) +i sin(2¼ 3 ))
¯j
j2 1
4 ¡ p3
2 i¡ 3 4
-2 4 ¡
p3 2 i -1
2 + p3
2 i -1
2 ¡ p3
2 i (-1
2 + p3
2 i)2 (-1
2)2+ 2£ -1 2 £
p3 2 i+ (
p3
2 i)2 -1
2 ¡ p3
2 i
¯j j2
1 +j +j2 1 + -1 2 +
p3 2 i+ -1
2 ¡ p3
2 i 1¡ 1 2 ¡ 1
2 0 j3 1 +j +j2 0
j j +j2+j3 0
¯j j2
-j ¡¯j 1 2 ¡
p3 2 i+ 1
2 + p3
2 i 1 j3
¯j3 1
1 j ¯j x3 1
