Première STGChapitre 8 : feuilles annexes.Page n ° 12007 20081 Définitions.Schéma représentant une suite géométrique.u

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1 Définitions.

Schéma représentant une suite géométrique.

u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅

× b × b × b × b × b Premier exemple de suite géométrique :

1 2 4 8 16 32

× 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Deuxième exemple :

Soit la suite géométrique ( u_n ) de raison b = 4 et telle que u₁₀₀ = 2. Calculons u₁₀₁. ( u_n ) est une suite géométrique de raison b = 4.

Donc pour passer du terme u₁₀₀ à son suivant u₁₀₁ on multiplie par b = 4.

Donc u₁₀₁ = b × u100 = 4 × 2 = 8 . 2 Suite géométrique et situation.

Un propriétaire dit à son locataire : " Votre loyer annuel actuel est égal à 4 000 €.

Tant que vous resterez locataire, le loyer augmentera chaque année de 0,5 %. "

1. Le loyer augmente de 0,5 % par an.

Donc le loyer dans un an sera égal au produit 4000 × ( 1 + 0,5 % ) = 4000 × 1,005 = 4020.

Dans un an, le montant du loyer annuel sera égal à 4 020 €.

Dans deux ans, cela fera 4020 × ( 1 + 0,5 % ) = 4020 × 1,005 = 4040,10.

Dans deux ans, le loyer annuel sera égal à 4 040,10 €.

2. On pose L₀ = 4 000 et on note L_n le loyer annuel ( en euros ) payé dans n années.

Démontrons que la suite ( L_n ) est une suite géométrique ; donnons sa raison.

Schéma

L₀ = 4000 L₁ = 4020 L₂ = 4040,10 … L_n L_n+1

× 1,005 × 1,005 × 1,005 × … × 1,005

Pour passer du loyer L_n au loyer L_n+1 on multiplie par 1,005 car augmenter de 0,5 % cela signifie multiplier par 1 + 0,5 %.

Donc la suite ( L_n ) est une suite géométrique de raison b = 1,005.

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3 Formule explicite : terme de rang n d'une suite géométrique.

A ) Soit la suite géométrique ( u_n ) de raison b = 0,5 et de terme initial u₀ = 10.

Exprimons u_n en fonction de n.

( u_n ) est une suite géométrique de raison b = 0,5.

Or le terme général d’une suite géométrique de raison b et de premier terme u0 est donné par la formule u_n = u₀×××× bⁿ .

Donc u_n = 10 × 0,5ⁿ. J'ai donc exprimé u_n en fonction de n.

Calculons u₆.

Pour calculer u₆, je remplace n par 6 dans l'expression précédente.

Donc u₆ = 10 × 0,5⁶ = 10 × 0,015625 = 0,15625.

B ) On considère la suite géométrique ( u_n ) de terme initial u₁ = 5 et de raison b = 3.

Exprimons un en fonction de n.

( u_n ) est une suite arithmétique de raison b = 3.

Or le terme général d’une suite arithmétique de raison a et de premier terme u₁ est donné par la formule u_n = u₁×××× b^n-1 .

Donc u_n = 5 × 3^n-1. J'ai donc exprimé u_n en fonction de n.

Calculons u₁₁.

Pour calculer u₁₁, je remplace n par 11 dans l'expression précédente.

Donc u20 = 5 × 3¹⁰ = 5 × 59 049 = 295 245.