Cours S1

Cours S2 : Parité d’une fonction Page 1 sur 2

Seconde – Lycée Desfontaines – Melle

Cours S1 – Parité d’une fonction

Pour étudier les variations d’une fonction, il peut être utile (voire indispensable) de démontrer que la fonction possède certaines particularités et ceci afin de réduire l’intervalle sur lequel on doit étudier cette fonction.

I. Ensemble centré en 0.

Définition :

On dit qu’un ensemble de réels E est centré en zéro lorsque l’opposé de tout réel de E appartient aussi à E càd si ┐x☻E, -x☻E.

Exemples :

[-2;2]………...car………

]-õ;-1]∟[1;+õ[………car………..

IR\{-2}………..car……….

Exercice : Parmi les ensembles de réels suivants, entourer ceux qui sont centrés en 0 :

IR ; ]-1;1[ ; ]-1;1] ; ]-1 ;3[ ; IR⁺ ; ]-õ;2[∟]2;+õ[ ; IR \

{

}

II. Fonctions paires, fonctions impaires

Fonction paire Fonction impaire :

Définition :

Exemple :

Montrer que la fonction définie sur IR par f(x)=x⁴ est paire.

(i) IR est centré en zéro

(ii) ┐x☻IR, f(-x)=(-x)⁴=x⁴=f(x) Ainsi f est paire.

Exemple :

Montrer que la fonction définie sur IR par f(x)=x³ est impaire.

(i) IR est centré en zéro

(ii) ┐x☻IR, f(-x)=(-x)³= (-x)×(-x)×(-x)=-x³=-f(x) Ainsi f est impaire.

Représentation graphique :

Exemple : x→x⁴

Exemple : x→x³

2 -1

-2 2 3 4 5 6

0 1

1

x y

2 -1

-2 2 3

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x y

Une fonction f , définie sur un ensemble D_f est paire lorsque :

(i) D_f est centré en zéro.

(ii) ┐x☻D_f, f(-x)=f(x).

Une fonction f, définie sur un ensemble D_f est impaire lorsque :

(i) D_f est centré en zéro.

(ii) ┐x☻D_f, f(-x)=-f(x)

Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Dans un repère quelconque, la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

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Remarques :

- Etudier la parité d’une fonction revient à déterminer si elle est paire, impaire ou ni paire, ni impaire.

- La fonction nulle est la seule fonction qui soit à la fois paire et impaire.

- Pour montrer qu’une fonction définie sur D_f n’est pas paire, il suffit : Soit de montrer que son ensemble de définition D

f n’est pas centré en zéro ; Soit de montrer qu’il existe un réel a de D_f tel que f(-a)ýf(a).

- Pour montrer qu’une fonction définie sur D_f n’est pas impaire, il suffit de : Soit de montrer que son ensemble de définition D_f n’est pas centré en zéro ; Soit de montrer qu’il existe un réel a de D_f tel que f(-a)ý-f(a).

III. Exercices

Exercice 1 : Etudier la parité des fonctions suivantes : f1 : x→x²+4 définie sur IR ; f2 : x→ 1

x² définie sur IR* ; f3 : x→ x

x²+1 définie sur IR ; f4 : x→2x+1

x−2 définie sur IR \ {2} ; f5 : x→(x−3)²−(x+3)² définie sur IR ; f6 : x→2x−3

x définie sur IR* ; f7 :x→x+ 1

x²définie sur IR* ; f8 : x→ x+4 définie sur [-4;+õ[ ; f9 : x→x²−1

x²+1 définie sur IR.

Exercice 2

La figure ci-contre montre une partie de la courbe représentative d’une fonction f définie sur IR .

Compléter en rouge cette courbe de sorte que la fonction f soit paire puis compléter la courbe en vert de sorte que la fonction f soit impaire.

Exercice 3

Préciser la parité des fonctions représentées ci-dessous :

Exercice 4

1. On donne le tableau incomplet des variations d’une fonction f définie sur [-4;4]. Compléter le sachant que f est paire.

x -4 0 1 2 4

1 2

f (x)

0 -2

2. On donne le tableau incomplet des variations d’une fonction f définie sur [-3 ;3].

Compléter le sachant que f est impaire.

x -3 0 2 3

2

f (x) 0

-1

0 1 1

x y

0 1 1

x y

0 1 1

x y

0 1 1

x y

0 1 1

x y

0 1 1

x y

0 1 1

x y

a)

b) c)

d) e)

f)

] [