Mathématiques – cours : Chap 16 : Fonctions convexes
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Chap 16 : Fonctions convexes
I. Définition et premières caractérisations
2 2
( , ) ,[ , ] {(1 ) , [0,1]}
( , ) ( , ) , [0,1] ((1 ) ) (1 ) ( ) ( )
est convexe si est convexe si
A n A M N A M N t M tN t A
f I f x y I t f t x ty t f x tf y
⊂ ∀ ∈ = − + ∈ ⊂
∈F ∀ ∈ ∀ ∈ − + ≤ − +
( , ) 2 [ , ]
convexe , sur , la courbe est en-dessous de la corde
f ⇔ ∀ x y ∈I x y
2
2
( , ) Epigraphe de {( , ) , , ( )}
convexe partie convexe de
f
f
f I f x y x I y f x
f ssi
∈F E = ∈ ∈ ≥
E
Preuve : on prend la bordure
\ { }
, \ { }
( ) ( ) convexe croissante sur
a a
I a
f ssi a I I a
f x f a
x x a
τ → − ∀ ∈ τ
−
Preuve : disjonction des cas : a x x a
x a y t a x y t
y x y a
− −
< < ⇒ = < < ⇒ =
− − … ⇐τx( )z ≤τx( )...y
1( , ) convexe croissante sur ' '' 0 sur
f ∈D I f ssi f I ssi f ≥ I
Preuve : f x'( )=inf{ ( ),τx t t∈I t, >x} f'( )y =sup{ ( ),τy t t∈I t, < y} f x'( )≤τx( )y =τy( )x ≤ f '( )y :z (1 t f x) ( ) tf z( ) f((1 t x) tz ' x I, ( )z 0 ( )y 0 f convexe
ϕ − + − − + ϕ ∀ ∈ ϕ ≥ ⇒ϕ ≥ ⇒
( , ) concave son opposée est convexe
f ∈F I ssi
( , ) : est strictement convexe si ( , ) 2, , ]0,1[, ((1 ) ) (1 ) ( ) ( ) f ∈F I f ∀ x y ∈I x≠ ∀ ∈y t f −t x ty+ < −t f x +tf y
( )τa a I∈ strictements croissants Si dérivable, strictement croissantef f '
⇔ ⇔
convexe, convexe et croissante convexe
f g ⇒g f
II. Inégalités de convexité
1 1
1 1 1
( , ) convexe *, ( ,..., n) n, ( ,..., n) n avec n j 1 n j j n j ( j)
j j j
f I n x x I λ λ + λ f λ x λ f x
= = =
∈ ⇒ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ = ≤
∑ ∑ ∑
F
1
1
*
1 1
1 1
...
( ,..., ) ( ) 1 ...
Si strictement convexe, on a égalité Inégalité arithmético-géométrique :
n
n
n n
n n
n j j n
j j
f ssi x x
x x x x x x
+ n
= =
= =
∀ ∈ ≥ =
∑ ∏
Preuve : ln strictement concave,
1
1 1 1 1 1
1 1 1
,ln ln( ); exp exp ln
n
n n n n
n
j j j j j j j j
j j j j j
x x x x x
n n n
λ λ λ
= = = = =
= ≥ ⇒ ≥ =
