Les suites 1
I. Définitions et vocabulaire
Une suite est une liste de nombres rangés dans l’ordre croissant et numérotés.
On peut lui associer une fonction qui à tout entier naturel ℕ associe un nombre réel ℝ, noté . La suite entière est notée ∈ ℕ.
Les nombres entiers sont les indices ou les rangs.
Les nombres réels sont les termes de la suite, les images de .
Remarque : Attention de ne pas confondre la suite et les termes de la suite.
Exemple :
La liste 3 ; 4,5 ; 6 ; 7,5 ; ... correspond à la suite suivante :
= 3 (terme de rang 0) ; = 4,5 (terme de rang 1) ; = 6 (terme de rang 2) ; = 7,5 ...
Il existe deux manières :
- Suite explicite - Suite par récurrence
II. Mode de génération d’une suite
1. Une suite est définie de façon explicite lorsqu'on dispose d'une formule du type
= permettant de calculer chaque terme de la suite à partir de son rang.
On considère la suite ∈ ℕ définie par = ²
Cette suite est définie par la donnée explicite de pour entier naturel . On peut calculer facilement un terme quelconque :
= 0
0² + 1 = 0 ; = 3
3² + 1 = 3 10
La suite définie par la formule explicite = est telle que :
=1
3 ; =3
3 = 1 ; =201 3 = 67
2. Une suite est définie par une relation de récurrence lorsqu'on dispose du premier terme et d'une formule (relation par récurrence) du type = permettant de calculer chaque terme de la suite à partir du terme précédent.
La suite ( définie par la formule de récurrence = 1
= 2 − 3 est telle que :
= 1
= 2 × × −3 = −1 = 2 ×× −3 = −5
On considère la suite # définie par = 2 et la relation = −3 + 1 pour tout ≥ 1.
2
La suite est définie par son premier terme et par la relation (dite relation de récurrence) permettant de passer d’un terme au terme suivant.
En utilisant la relation de récurrence avec = 1, on obtient :
= −3 + 1, c’est-à-dire = −3 + 1 = −3 × 2 + 1 = −5 Puis En utilisant la relation de récurrence avec = 2, on obtient :
= −3 + 1, c’est-à-dire = −3 + 1 = −3 × −5 + 1 = 16 Remarque
On ne peut calculer un terme que si on connaît le précédent, mais de proche en proche on peut calculer tous les termes en partant du premier.
III. Représentation graphique
Selon le mode de génération d’une suite ne sera pas la même.
1. Suite définie de façon explicite
On se place dans un repère (O ; %&' ; (' ). La représentation graphique d'une suite ( ) est l'ensemble des points de coordonnées (n ; ).
Méthode de représentation: Dans un repère orthogonal, on place les points d’abscisse n et d’ordonnée (que l’on ne joint pas entre eux !). On obtient alors un nuage de points.
3
Exemple : représenter la suite = − 10 + 1 définie sur [0; +∞[
2. Suite définie par récurrence Exemple :
Représenter la suite , suite définie par = −1,5 et = 2-4 + On a ≈ 3,16 : ≈ 5,35
Méthode de représentation :
Tracer d’abord la représentation graphique de la fonction définissant la relation de récurrence et la droite d’équation / = 0.
On part de 1 en abscisse 1; 0 : l’ordonnée du point de la courbe correspondant à cette abscisse nous donne [(1) sur le graphique correspondant à l’exemple 2] .
Pour déterminer = , il nous faut rabattre 1 sur l’axe des abscisses [(2) sur le graphique] : pour cela on utilise la droite d’équation / = 0 . Dès lors, est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse [(3) sur le graphique].
Pour poursuivre la construction, on répète le procédé en rabattant sur l’axe des abscisses [(4) sur le graphique].
est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse [(5) sur le graphique] ...
IV. Sens de variations et bornes 4
1. Monotonie
Soit ( ) une suite de nombres réels. On dit que la suite ( ) est :
- croissante (à partir du rang ) lorsque ≤ pour tout entier n ≥ ; est strictement croissante lorsque < .
- décroissante (à partir du rang ) lorsque ≥ pour tout entier n ≥ ; est strictement décroissante lorsque > .
- monotone (à partir du rang ) si elle est croissante ou décroissante (à partir du rang ) - constante lorsque = pour tout n ≥ .
Méthode : Pour étudier le sens de variation d’une suite, on peut utiliser trois méthodes : 1. On peut étudier le signe de la différence − ,
2. Si tous les sont strictement positifs, on peut comparer le quotient 55678
6 à 1.
3. On peut étudier le sens de variation de la suite en l’associant à une fonction telle que = Exemples :
a. Etudier la monotonie de la suite définie par : = 2 ² − 1, pour tout ∈ ℕ
On calcule
= 2 + 1 − 1 = 2 + 2 + 1 − 1 = 2 + 4 + 2 − 1 = 2 + 4 + 1 On calcule −
− = 2 + 4 + 1 − 2 − 1 = 2 + 4 + 1 − 2 + 1 = 4 + 2 On étudie le signe de − soit 4 + 2
Comme est un entier naturel alors 4 + 2 > 0 Donc pour tout ∈ ℕ, − > 0 ⇔ >
Donc la suite est strictement croissante.
b. Etudier la monotonie de définie par : = 3
2 × 5 I , pour tout ∈ ℕ Pour déterminer son sens de variation, on peut comparer la valeur du quotient 565
6 par rapport à 1, pour tout entier naturel non nul :
+ 1= 3
2 × 5 ×2 × 5 I
3 =3
5 < 1 La suite est décroissante.
c. Etudier la monotonie de définie par : = + 1,pour tout ∈ ℕ On a donc =
est définie sur [0; +∞[ par 0 =KK Calculons la dérivée de
= L avec 0 = 0 et L 0 = 0 + 1 On a O= OL − L′
L²
Soit ′0 =1 × 0 + 1 − 0 × 1
0 + 1 = 1
0 + 1 ²
5
Un carré est toujours positif, on a donc O> 0pour tout 0 ∈ [0 ; +∞[.
On en déduit que est croissante sur [0 ; +∞[.
On a ainsi démontré que ≤ + 1 , pour tout ∈ ℕ, c’est-à-dire ≤ pour tout ∈ ℕ.
On en déduit que la suite est croissante.
2. Bornes
Une suite de terme général est majorée s’il existe un réel M tel que, pour tout n ∈ ℕ, on a ≤ M Une suite de terme général est minorée s’il existe un réel M tel que, pour tout n ∈ ℕ, on a ≥ M Une suite de terme général est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée.
Exemples :
= 5 + R1 2S R1
2S ≥ 0 donc ≥ 5 La suite est minorée par 5
= 7 − R2 3S
− R2
3S ≤ 0 donc ≤ 7 La suite est majorée par 7
V. Nature des suites
1. Les suites arithmétiques
a) Définition
Une suite ( ) est arithmétique s'il existe un réel T tel que pour tout entier naturel n, UV W = UV+ X. Le nombre T est appelé la raison de la suite arithmétique.
Exemple : = + 4
Remarque : le mot arithmétique vient du fait que chaque terme est la moyenne arithmétique du terme qui le précède et du terme qui le suit : =56Y87Z678
b) Expression explicite
Soit ( ) une suite arithmétique de raison r.
Pour tout entier naturel n, UV= U[+ VX
Exemple : = 2 + 4
est une suite de premier terme 2 et de raison 4.
Plus généralement, pour tout ≥ \ : UV= U]+ V − ] X
Cette formule permet de calculer un terme à partir d’un autre terme donnée.
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c) Sens de variation
Soit une suite arithmétique de raison r.
On en déduit que :
– si r > 0, la suite ( ) est strictement croissante.
– si r < 0, la suite ( ) est strictement décroissante.
– si r = 0, la suite ( ) est constante.
d) Somme des termes
Soit une suite arithmétique de raison r.
On définit ^ = + + ⋯ + alors
`V= V + W Rab+ aV
c S
`V= VbdeXf gf hfXdfi R]XfdjfX hfXdf + gfXVjfX hfXdf
c S
Les méthodes
2. Les suites géométriques
a) Définition
Une suite (k ) est géométrique s'il existe un réel l tel que pour tout entier naturel n, mV W = mV× n. Le nombre l est appelé la raison de la suite arithmétique.
Exemple : k = k × 4
Remarque : le mot arithmétique vient du fait que chaque terme est la moyenne géométrique du terme qui le précède et du terme qui le suit : k = -kI × k (à condition que les termes soient positifs)
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b) Expression explicite
Soit (k) une suite géométrique de raison q. Pour tout entier naturel n, mV= m[× nV Exemple : k = 2 × 4
k est une suite de premier terme 2 et de raison 4.
Plus généralement, pour tout ≥ \ : mV= m]× nVI]
Cette formule permet de calculer un terme à partir d’un autre terme donnée.
c) Sens de variation
Soit k une suite géométrique de raison q.
On en déduit que :
– si q > 1, la suite (k) est strictement croissante.
– si 0 < l < 1, la suite (k) est strictement décroissante.
– si q = 0, la suite (k) est constante.
d) Somme des termes
Soit k une suite géométrique de raison q. On définit ^ = L + L + ⋯ + L alors
`V= o[ ×W − nV W W − n Avec :
o[ = ]XfdjfX hfXdf ; n = pq XqjibV ; V + W = VbdeXf gf hfXdfi Les méthodes
