Représentation graphique d’une suite définie par récurrence
I
On veut représenter graphiquement sur l’axe des abscisses les termes successifs de la suite définie par
(u0= −1;5 un+1=p
un+2 . Soitf la fonction définie sur [−2 ;+∞[ parf(x)=p
x+2.
On noteC la courbe représentative def et∆la droite d’équationy=x. Ces deux courbes sont représentées ci-dessous.
1 2
1 2
−1
−2
0 1 2
C
∆
Procédé:
1. (a) Placer sur l’axe (Ox) le termeu0
(b) À l’aide de la courbeC, placer le nombreu1sur l’axe des abscisses.On rappelle qu’un point M(x;y)appartient àC si, et seulement si, y=f(x)
(c) À l’aide de la droite∆,construirealorsu1sur l’axe des abscisses.
2. Recommencer les étapes précédentes pour construireu2sur l’axe des ordonnées, puis sur l’axe des abscisses.
3. Construire de même les termes successifs de la suite (un).
4. Que peut-on conjecturer ?
II
On considère la suite numériqueudéfinie, pour toutndeN, par la relation de récurrence :
(u0=1 un+1=cosun
.
Ci-contre sont représentées la courbeC, représentative de cos sur [0 ; 1], ainsi que la « première bissectrice », droite ∆ d’équationy=x
Avec la même méthode qu’au I, construire les termes succes- sifs de la suite (un) sur l’axe des abscisses.
Que peut-on conjecturer quant au comportement de la suite (un)?
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
C
∆
1 2
1 2
-1
-2 O ~ı
~
u0
u1
u1
u2
u2
u3
u3
u4
u4
u5
u5
0 1
0 1
O ~ı
~
u0
u1
u1
u2
u2
u3
u3
u4
u4
u5
u5
u6
u6
u7
u7
u8
u8
