Chapitre II : Suites et récurrence I- Mode de génération de suites :

Chapitre II : Suites et récurrence

I- Mode de génération de suites :

Il y a deux modes de génération des suites 1. De manière explicite :

Une suiteu_nest définie de manière explicite lorsque chaque termeu_nest connu indépendamment des autres.

Exemple : u_nest définie paru_n=−2n²4 Calcul deu₄ ;u₁₀ ;u₂₀.

2. Par récurrence :

Une suiteu_nest définie par récurrence lorsqu'on connaît son premier terme u_n0, n₀ étant un entier naturel fixé,et une relation pour toutnn₀ ,de la formeu_n1=fu_n

Exemple : u_n est définie par u₀=2 et u_n1=1

3 u_n²1 4

Représenter graphiquement, puis calculer les trois premiers termes de cette suite

II- Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques :

Le tableau ci-dessous rassemble les principaux résultats vus en classe de Première.

Soit u une suite définie pour tout n deℕ, et soit a, r et q des réelsq≠0  Suite arithmétique

de raison r et de premier terme a

Suite géométrique de raison q et de premier terme a Caractérisation par

une relation de récurrence

u₀ =a

pour tout entier naturel n u_n1=u_nr

u₀ =a

pour tout entier naturel n u_n1=q×u_n Caractérisation par

une formule explicite

Pour tout entier naturel n

u_n=u₀nr Pour tout entier naturel n un=u0 ×qⁿ Relation entre deux

termes quelconques Pour tous entiers naturels n et p

u_n=u_pn−pr Pour tous entiers naturels n et p u_n=u_p×q^n−p Somme de termes

consécutifs Cas particulier :

Cas général :

∑

k=0 n

u_k=u₀u₁⋯u_n

∑

k=1 n

k=12⋯n=nn1

2

∑

k=0 n

u_k=n1×u₀u_n 2

Siq≠1

∑

k=0 n

q^k=1qq²⋯qⁿ=1−q^n1 1−q

Siq≠1

∑

k=0 n

u_k=u₀×1−q^n1 1−q

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Les formules donnant la somme de n termes consécutifs d'une suite peuvent se retenir de la façon suivante :

Dans le cas d'une suite arithmétique :

somme de n termes consécutifs = nombre de termes × moyenne des termes extrêmes Dans le cas d'une suite géométrique :

Siq≠1

somme de n termes consécutifs = premier terme ×1−qnombre de termes

1−q .

Exemples : Calcul de

∑

k=0 100

2^k,

∑

k=0

n



¹2



^k,

^∑

k=3 50

3^k

II- Le raisonnement par récurrence :

Axiome de récurrence : Pour démontrer qu'une propriété



Pn



, définie sur les entiers naturels, est vraie pour tout entier naturel supérieur où égal à un entier naturel ⁿ0, il suffit de démontrer que :

1.



^Pn0



est vraie.

2. Pour tout nn₀,



Pn



^⇒



Pn1



Exemples :

1. Démontrer la relationu_n=qⁿ×u₀dans le cas de suite géométrique de raison q et de premier terme ^u0 .

2. Démontrer que

∑

k=0 n

k²=nn12n1

6 .

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