Chapitre 3 : Les suites I- Définitions

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Spécialité 1^ère – Chapitre 3 Page 1

1) Définition et notations

Définition 1 : Une suite est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels ℕ (ou sur ℕ^∗ ou encore sur ℕ − ሼ0; 1ሽ …).

L’image de l’entier naturel ݊ par la suite ݑ est noté ݑ(݊) ou encore ݑ_௡ et appelée terme d’indice ࢔ (ou de rang ݊) de la suite.

Notation : la suite ݑ est aussi notée (ݑ_௡)_௡∈ℕ ou plus simplement (ݑ_௡).

Vocabulaire : Dans un repère, la représentation graphique d’une suite ݑ est l’ensemble des points ܯ(݊ ; ݑ_௡) où ݊ ∈ ℕ : cette représentation graphique s’appelle nuage de points.

2) Définition par une formule explicite

Définition 2 : Une formule explicite permet de calculer directement chacun des termes de la suite.

Exemple 1 :

1) Pour tout ݊ ∈ ℕ, ݑ_௡ = (−1)^௡ : on peut calculer directement ݑ_ଶ଴ଵଽ = (−1)^ଶ଴ଵଽ = −1 2) Pour tout ݊ ∈ ℕ^∗, ݒ_௡ = 1 +_௡^ଵ : on peut calculer directement ݒ_ଵ଻ = 1 +_ଵ଻^ଵ =^ଵ଼_ଵ଻

Remarque 1 : Si ݂ est une fonction définie sur un intervalle ሾܽ; +∞ሾ où ܽ ≥ 0, on définit une suite (ݑ_௡) en posant ݑ_௡ = ݂(݊) pour tout entier ݊ ≥ ܽ.

3) Définition par récurrence

Définition 3 : On peut définir une suite par la donnée : - du premier terme

- d’une relation qui permet de calculer un terme à partir du précédent Cette relation est appelée relation de récurrence.

Exemple 2 : On définit la suite (ݑ_௡) par : ݑ_଴ = 4 et pour tout ݊ ∈ ℕ, ݑ_௡ାଵ = 2ݑ_௡− 3 ݑ_ଵ =

ݑ_ଶ = ݑ_ଷ =

Remarque 2 : avec cette définition, on ne peut pas donner directement ݑ_ଶ଴ଵଽ (par exemple) si on ne connaît pas le(s) terme(s) précédent(s).

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Dans les paragraphes II et III, nous allons étudier des suites définies par récurrence particulières.

II – Les suites arithmétiques 1) Définition

Définition 4 : Dire qu’une suite (ݑ_௡) est arithmétique signifie qu’il existe un nombre réel ݎ tel que, pour tout entier naturel ݊, ݑ_௡ାଵ = ݑ_௡ + ݎ.

Ce nombre réel ݎ est appelé la raison de la suite (ݑ_௡).

Autrement dit : Pour tout entier naturel ݊, ݑ_௡ାଵ− ݑ_௡ = ݎ et donc la différence de deux termes consécutifs quelconques est constante.

ݑ_଴ ݑ_ଵ ݑ_ଶ ݑ_ଷ ݑ_ସ … Exemple 3 :

1) La suite de premier terme ݑ_଴ = 0 et de raison 2 est la suite des entiers naturels pairs 2) La suite de premier terme ݑ_଴ = 1 et de raison 2 est la suite des entiers naturels impairs 3) La suite définie par ݑ_௡ = 3݊ + 5 pour tout ݊ ∈ ℕ est une suite arithmétique :

Son premier terme est ݑ_଴ = …….

Pour déterminer sa raison, on calcule ݑ_௡ାଵ = On en déduit que ݎ = …….

2) Formule explicite

Pour calculer un terme d’une suite arithmétique, la définition par récurrence impose de connaître le terme précédent. La formule qui va suivre permet de calculer un terme juste à l’aide de son rang :

Propriété 1 : Si (ݑ_௡) est une suite arithmétique de premier terme ݑ_଴ et de raison ݎ, alors, pour tout entier naturel ݊, ݑ_௡ = ݑ_଴+ ݊ݎ.

Exemple 4 : (ݑ_௡) est la suite arithmétique de premier terme ݑ_଴ = 5 et de raison 2.

Alors, pour tout ݊ ∈ ℕ, ݑ_௡ = On a donc directement : ݑ_ଶ଴ଵଷ =

Propriété 2 (généralisation) : Si (ݑ_௡) est une suite arithmétique de raison ݎ, alors, pour tous entiers naturels ݊ et ݌, ݑ_௡ = ݑ_௣ + (݊ − ݌)ݎ.

Remarque 3 : Cette formule est très pratique lorsque le 1^er terme n’est pas ݑ_଴.

Exemple 5 : Si (ݑ_௡) est une suite arithmétique de premier terme ݑ_ଷ = −1 et de raison ݎ = 3, alors, pour tout entier naturel ݊ ≥ …. , ݑ_௡ =

+ݎ +ݎ +ݎ +ݎ

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3) Somme des entiers de 1 à ݊

Propriété 3 : Pour tout entier naturel ݊ non nul , 1 + 2 + ⋯ + ݊ = ෍ ݇

௡

௞ୀଵ

=݊(݊ + 1) 2

Exemple 6 : 1) 1 + 2 + ⋯ + 100 =

2) 21 + 22 + ⋯ + 100 = (1 + 2 + ⋯ + 100) − (1 + ⋯ + 20) = III – Les suites géométriques

1) Définition

Définition 5 :

Dire qu’une suite (ݒ_௡) est géométrique signifie qu’il existe un nombre réel ݍ tel que, pour tout entier naturel ݊, ݒ_௡ାଵ = ݒ_௡× ݍ. Ce nombre réel ݍ est appelé la raison de la suite (ݒ_௡).

Autrement dit : On obtient un terme en multipliant le précédent par une constante ݍ. ݒ_଴ ݒ_ଵ ݒ_ଶ ݒ_ଷ ݒ_ସ …

Exemple 7 :

1) La suite de premier terme ݑ_଴ = 1 et de raison ^ଵ

ଶ : ݑ_଴ = 1 , ݑ_ଵ =^ଵ_ଶ , ݑ_ଶ = ⋯ , ݑ_ଷ = ⋯ , ݑ_ସ = ⋯

2) La suite de premier terme ݑ_଴ = −1 et de raison −3 : ݑ_଴ = −1 , ݑ_ଵ = 3 , ݑ_ଶ = ⋯ , ݑ_ଷ = ⋯ , ݑ_ସ = ⋯

2) Formule explicite

Pour calculer un terme d’une suite géométrique, la définition par récurrence impose de connaître le terme précédent. La formule qui va suivre permet de calculer un terme juste à l’aide de son rang :

Propriété 4 : Si (ݒ_௡) est une suite géométrique de premier terme ݒ_଴ et de raison ݍ, alors, pour tout entier naturel ݊, ݒ_௡ = ݒ_଴× ݍ^௡.

Exemple 8 : (ݒ_௡) est la suite géométrique de premier terme ݒ_଴ =^ଵ_ସ et de raison 2.

Alors, pour tout ݊ ∈ ℕ, ݒ_௡ = On a donc directement : ݒ_ଵ଴ =

× ݍ × ݍ × ݍ × ݍ

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Propriété 5 (généralisation) : Si (ݒ_௡) est une suite géométrique de raison ݍ, alors, pour tous entiers naturels ݊ et ݌, ݒ_௡ = ݒ_௣ × ݍ^௡ି௣.

Exemple 9 : Si (ݒ_௡) est une suite géométrique de premier terme ݒ_ଶ = 3 et de raison ݍ = −2, alors, pour tout entier naturel ݊ ≥ …. , ݑ_௡ =

3) Somme des puissances successives

Propriété 6 : Si ݍ ≠ 1, pour tout entier naturel ݊ non nul , 1 + ݍ + ݍ^ଶ+ ⋯ + ݍ^௡ = ෍ ݍ^௞

௡

௞ୀ଴

=1 − ݍ^௡ାଵ 1 − ݍ

Exemple 10 :

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 1 + 2 + 2^ଶ+ 2^ଷ+ 2^ସ+ 2^ହ+ 2^଺+ 2^଻ =

IV – Sens de variation

1) Définition

Définition 6 : Soit (ݑ_௡) une suite définie pour tout ݊ ∈ ℕ.

1) Dire que la suite (ݑ_௡) est croissante signifie que, pour tout ࢔ ∈ ℕ, ݑ_௡ାଵ ≥ ݑ_௡ 2) Dire que la suite (ݑ_௡) est décroissante signifie que, pour tout ࢔ ∈ ℕ, ݑ_௡ାଵ ≤ ݑ_௡ 3) Dire que la suite (ݑ_௡) est constante signifie que, pour tout ࢔ ∈ ℕ, ݑ_௡ାଵ = ݑ_௡

Remarque 4 :

1) Pour certaines suites, l’inégalité ݑ_௡ାଵ ≥ ݑ_௡ n’est vraie que pour ݊ ≥ ݌ ; on dit alors que (ݑ_௡) est croissante à partir du rang ݌.

2) Lorsqu’une suite est croissante (ou décroissante), on dit qu’elle est monotone.

2) Étude des variations

Méthode 1 : Étude du signe de la différence ݑ_௡ାଵ− ݑ_௡

- Si pour tout ݊ ∈ ℕ, ݑ_௡ାଵ− ݑ_௡ ≥ 0, la suite (ݑ_௡) est croissante.

- Si pour tout ݊ ∈ ℕ, ݑ_௡ାଵ− ݑ_௡ ≤ 0, la suite (ݑ_௡) est décroissante.

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Exemple 11 :

Soit (ݑ_௡) une suite arithmétique de raison & alors, pour tout entier naturel , _" &

Si & ……… , la suite est ………...

Si & ……… , la suite est ……….

(Ce qui est plutôt logique quand on réfléchit un peu …)

Méthode 2 : Comparaison de ^:^;<=

:_; à 1

Il faut, dans ce cas, que tous les termes de la suite soient strictement positifs.

- Si pour tout ∈ ℕ, ^:^;<=

:_; 1 , la suite est croissante.

- Si pour tout ∈ ℕ, ^:^;<=

:_; 9 1, la suite est décroissante.

Exemple 12 :

Soit est une suite géométrique de raison 1 > 0 et de premier terme > 0 alors, pour tout entier naturel , _" 2 1 et > 0 et donc ^?^;<=

?_; 1 Si 1 ……… , la suite est ………...

Si 1 ……… , la suite est ……….

Remarque 5 :

Le sens de variation de la suite 1 dépend de la raison 1 : Si 1 @ 0, la suite 1 n’est pas monotone ;

Si 0 @ 1 @ 1, la suite 1 est décroissante ;

Si 1 > 1, la suite 1 est croissante ;

Si 1 0 ou 1 1, la suite 1 est constante.

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Méthode 3 : Étude des variations d’une fonction

Soit une suite définie, pour tout ∈ ℕ, par où est une fonction définie sur 0; ∞

- Si est croissante, alors la suite est croissante.

- Si est décroissante, alors la suite est décroissante.

Exemple 13 :

1) Soit la suite définie, pour tout ∈ ℕ, par 3 2

La fonction : I ↦ 3I 2 est ……….. sur 0; ∞ donc est ………

1) Soit la suite définie, pour tout ∈ ℕ, par 3 ² 2 5

La fonction : I ↦ 3I² 2I 5 est ……….. sur 0; ∞ donc est

………

V – Notion intuitive de limite d’une suite

Les termes de cette suite semblent se rapprocher d’une valeur limite 0.

On dit que la suite tend vers 0 lorsque tend vers ∞.

On note lim

→"Q 0

Les termes de cette suite semblent devenir aussi grands que l’on veut.

On dit que la suite tend vers ∞ lorsque tend vers ∞.

On note lim

→"Q ∞