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Chapitre I : LES SUITES
I- Généralités sur les suites
1) Définition et notations Définition 1 :
1) Définir une suite par une formule explicite, c’est donner une relation entre le terme et l’entier , pour tout ∈ ℕ (ou ℕ∗ ou …).
2) Définir une suite par récurrence, c’est donner le premier terme et une relation entre chaque terme et le(s) précédent(s) pour tout ∈ ℕ (ou ℕ∗ ou …).
Exemples :
1) Pour tout ∈ ℕ, = −1 : on peut calculer directement = −1= −1 2) Pour tout ∈ ℕ∗, = 1 + : on peut calculer directement = 1 + = 3) On définit la suite par : = 4 et pour tout ∈ ℕ, = 2− 3
On peut calculer , , mais on ne peut pas calculer directement sans connaître les termes précédents.
Remarque : Si est une fonction définie sur un intervalle ; +∞ où ≥ 0, on définit une suite en posant = pour tout entier ≥ .
2) Les suites arithmétiques
Définition 2 : Dire qu’une suite est arithmétique signifie qu’il existe un nombre réel " tel que, pour tout entier naturel , = + ". Ce nombre réel " est appelé la raison de la suite .
Autrement dit : Pour tout entier naturel , − = " et donc la différence de deux termes consécutifs quelconques est constante.
# … Exemple : La suite définie par = −3 + 2 pour tout ∈ ℕ est une suite arithmétique : Son premier terme est = …….
Pour déterminer sa raison, on peut calculer = …….
On en déduit que " = …….
Formule explicite
Pour calculer un terme d’une suite arithmétique, la définition par récurrence impose de connaître le terme précédent. La formule qui va suivre permet de calculer un terme juste à l’aide de son rang :
Propriété 1 : Si est une suite arithmétique de premier terme et de raison ", alors, pour tout entier naturel , = + ".
Exemple : est la suite arithmétique de premier terme = 3 et de raison 5.
Alors, pour tout ∈ ℕ, = …….
On a donc directement : = …….
+" +" +" +"
2
Propriété 2 (généralisation) : Si est une suite arithmétique de raison ", alors, pour tous entiers naturels et %, = &+ − %".
Remarque : Cette formule est très pratique lorsque le 1er terme n’est pas .
Exemple : Si est une suite arithmétique de premier terme = −1 et de raison " = 3, alors, pour tout entier naturel ≥ …. , = ……..
Somme des entiers de 1 à
Propriété 3 : Pour tout entier naturel non nul ,
1 + 2 + ⋯ + = ( )
*+
= + 1 2 Exemples : 1) 1 + 2 + ⋯ + 1000 = ……..
2) 51 + 52 + ⋯ + 100 = ……..
3) Les suites géométriques
Définition 3 : Dire qu’une suite est géométrique signifie qu’il existe un nombre réel - tel que, pour tout entier naturel , = × -. Ce nombre réel - est appelé la raison de la suite .
Autrement dit : On obtient un terme en multipliant le précédent par une constante -.
# … Exemples :
1) La suite de premier terme = −1 et de raison : = −1 , = − , =…….. , =…….. , # = ……..
2) La suite de premier terme = 3 et de raison −2 : = 3 , = −6 , = …….. , = …….. , # = ……..
Formule explicite
Pour calculer un terme d’une suite géométrique, la définition par récurrence impose de connaître le terme précédent. La formule qui va suivre permet de calculer un terme juste à l’aide de son rang :
Propriété 4 : Si est une suite géométrique de premier terme et de raison -, alors, pour tout entier naturel , = × -.
Exemple : est la suite géométrique de premier terme = et de raison 2.
Alors, pour tout ∈ ℕ, = ……..
On a donc directement : = ……..
× - × - × - × -
3
Propriété 5 (généralisation) : Si est une suite géométrique de raison -, alors, pour tous entiers naturels et %, = &× -0&.
Exemple : Si est une suite géométrique de premier terme = 3 et de raison - = −2, alors, pour tout entier naturel ≥ …. , = ……..
Somme des puissances successives
Propriété 6 : Si - ≠ 1, pour tout entier naturel non nul , 1 + - + -+ ⋯ + - = ( -*
*+
= 1 − - 1 − - Exemple :
1 − 2 + 4 − 8 + 16 − 32 + 64 − 128 = ……..
4) Sens de variation a) Définition
Définition 4 : Soit une suite définie pour tout ∈ ℕ.
1) Dire que la suite est croissante signifie que, pour tout 3 ∈ ℕ, ≥ 2) Dire que la suite est strictement croissante signifie que, pour tout 3 ∈ ℕ, >
3) Dire que la suite est décroissante signifie que, pour tout 3 ∈ ℕ, ≤ 4) Dire que la suite est strictement décroissante signifie que, pour tout 3 ∈ ℕ, <
5) Dire que la suite est constante signifie que, pour tout 3 ∈ ℕ, =
Remarque : on dit que la suite est stationnaire si elle est constante à partir d’un rang % ∈ ℕ Autrement dit, si pour tout entier ≥ %, = , la suite est stationnaire.
b) Étude des variations
Méthode 1 : Etude du signe de la différence −
- Si pour tout ∈ ℕ, − ≥ 0, la suite est croissante.
- Si pour tout ∈ ℕ, − ≤ 0, la suite est décroissante.
Exemple : Soit une suite arithmétique de raison " alors, pour tout entier naturel , − = "
Si " ……… , la suite est ………...
Si " ……… , la suite est ……….
Méthode 2 : Comparaison de 789:
78 à 1
Il faut, dans ce cas, que tous les termes de la suite soient strictement positifs.
- Si pour tout ∈ ℕ, 789:
78 ≥ 1 , la suite est croissante.
- Si pour tout ∈ ℕ, 7789:
8 ≤ 1, la suite est décroissante.
4
Exemple : Soit est une suite géométrique de raison - > 0 et de premier terme > 0 alors, pour tout entier naturel , = × - et > 0 et donc ;89:;
8 = - Si - ……… , la suite est ………...
Si - ……… , la suite est ……….
(Ici, ça n’est pas si évident … car le signe du premier terme de la suite a un rôle important) Méthode 3 : Etude des variations d’une fonction
Soit une suite définie, pour tout ∈ ℕ, par = où est une fonction définie sur 0; +∞
- Si est croissante, alors la suite est croissante.
- Si est décroissante, alors la suite est décroissante.
Exemples :
1) Soit la suite définie, pour tout ∈ ℕ, par = −3 + 2
La fonction : = ↦ −3= + 2 est ……….. sur 0; +∞ donc est ………
2) Soit la suite définie, pour tout ∈ ℕ, par = 3² + 2 − 5
La fonction : = ↦ 3=² + 2= − 5 est ……….. sur 0; +∞ donc est ………
Remarque : on peut aussi déterminer la monotonie en étudiant le signe de − 5) Représentation graphique d’une suite
L’objectif est de représenter la suite définie par son premier terme = 9 et la relation =78A
5 II- Le raisonnement par récurrence
Axiome de récurrence :
Soit B une propriété dépendant de l’entier naturel . On suppose que l’on a les deux assertions suivantes : □ B0 est vraie : « initialisation »
□ Pour un certain en<er naturel ), B) vraie implique B) + 1 vraie : « hérédité » Alors B est vraie pour tout ∈ ℕ .
Remarque :
Le premier rang de la propriété B n’est pas forcément 0. Si la propriété n’est vraie qu’à partir du rang , l’initialisation doit se faire pour ce rang-là.
Exemples :
1) Soit ∈ ℕ. On note B la propriété : « 4− 1 est un multiple de 3 » Démontrer par récurrence que la propriété B est vraie pour tout ∈ ℕ. 2) Démontrer par récurrence que, pour tout ∈ ℕ∗, 1 + 2 + ⋯ + = III- Comportement d’une suite
1) Suites majorées, minorées, bornées
Définition 5 : Soit une suite définie pour tout ∈ ℕ.
1) La suite est majorée s’il existe un réel C tel que, pour tout 3 ∈ ℕ, ≤ C 2) La suite est minorée s’il existe un réel D tel que, pour tout 3 ∈ ℕ, ≥ D 3) La suite est bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
Remarques :
i. On peut énoncer le 3) de la même façon que les deux autres points :
La suite est bornée s’il existe deux réels D et C tels que, pour tout 3 ∈ ℕ, D ≤ ≤ C ii. On dit que D est un minorant de la suite et C un majorant.
Exemples :
1) Soit la suite définie pour tout ∈ ℕ∗ par =. Pour tout ∈ ℕ∗,
> 0 donc la suite est minorée par 0. 0 est donc un minorant de mais ce n’est pas le seul, en effet, tous les nombres négatifs sont aussi des minorants de la suite.
De même, pout tout ∈ ℕ∗,
≤ 1 : la suite est majorée par 1 (mais aussi par tout autre réel supérieur à 1) On peut donc en déduire que la suite est bornée.
2) Soit la suite définie pour tout ∈ ℕ par = ² + 1.
Pour tout ∈ ℕ, ² + 1 ≥ 1 donc la suite est minorée par 1.
1 est donc un minorant de mais c’est aussi le minimum de la suite : en effet, = 1.
6 2) Limite d’une suite
Définition 6 : La suite admet pour limite le réel ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs à partir d’un certain rang.
On écrit alors :
→Jlim = ℓ
On dit que la suite converge vers ℓ ou encore que la suite est convergente.
Exemple : Montrer que :
→Jlim 1 = 0
Définition 7 : Soit K ∈ ℝ. La suite admet pour limite +∞ (resp. −∞) si tout intervalle de la forme MK; +∞ (resp. M−∞; K) contient toutes les valeurs à partir d’un certain rang.
On écrit alors :
→Jlim = +∞ resp. −∞
Exemples : 1) Montrer que :
→Jlim √ = +∞
2) Montrer que :
→Jlim 1 − ² = −∞
Remarques :
i. Dans les deux cas de la définition, on dit que la suite est divergente.
ii. Il existe un autre type de suites divergentes : celles qui n’ont pas de limite comme par exemple les suites définies sur ℕ par = sin (elle « oscille ») et = 3−1+ 1 (elle change de signe de manière régulière)
IV- Opérations sur les limites de suites
On considère deux suites de nombres réels et admettant une limite finie ou infinie.
1) Somme de suites
Limite de ℓ ℓ ℓ +∞ −∞ +∞
Limite de ℓ′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
Limite de +
Exemple :
Soit la suite U² +V
W :
On sait que lim→J² = +∞ et lim→J1
= 0 donc par somme, lim→J+1
= +∞
7 2) Produit de suites
Limite de ℓ ℓ > 0 ℓ < 0 ℓ > 0 ℓ < 0 +∞ −∞ +∞ 0 0
Limite de ℓ′ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞
Limite de ×
Exemples :
a) Soit la suite ² − W:
On sait que lim→J² = +∞ et lim→J− = −∞ donc par somme, on est en présence d’une FI.
On écrit ² − = − 1 et, par produit, le calcul de limite est possible :
→Jlim ² − = +∞
b Étudier lim→J3² + 2 − 6 puis lim→J3² − 2 − 6.
3) Quotient de suites
Dans cette partie, on considère que la suite ne s’annule jamais.
1f cas : lim→J ≠ 0
Limite de ℓ ℓ ℓ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞
Limite de ℓ′ ≠ 0 +∞ −∞ ℓ′ > 0 ℓ′ > 0 ℓg< 0 ℓg< 0 +∞ +∞ −∞ −∞
Limite de U7;88V 2f cas : lim→J = 0
Limite de ℓ > 0 ou +∞ ℓ > 0 ou +∞ ℓ < 0 ou −∞ ℓ < 0 ou −∞ 0
Limite de 0 00 0 00 0
Limite de U7;8
8V Exemples :
a Soit la suite i −5
+ 2jW: on sait que lim→J+ 2 = +∞ et lim→J−5 = −5 donc, par quotient ∶ lim −5
+ 2 = 0
8 b Étudier lim→Ji2 − 6
3 + 1j puis lim→Jl² − 6 3 + 1m.
V- Propriétés sur les limites de suites 1) Limites et comparaison
Théorème 1 : Soit et deux suites définies pour tout ∈ ℕ.
Si, à partir d’un certain rang, ≤ , et si lim
→J = +∞, alors lim
→J = +∞
Théorème 2 : Soit et deux suites définies pour tout ∈ ℕ.
Si, à partir d’un certain rang, ≤ , et si lim
→J = −∞, alors lim
→J = −∞
Théorème 3 : ou théorème des gendarmes
Soit , et n trois suites définies pour tout ∈ ℕ.
Si, à partir d’un certain rang, ≤ ≤ n ,
et si et n convergent vers une même limite ℓ , alors converge aussi vers ℓ
.
2) Limites des suites arithmétiques et géométriques
Propriété 7 : Soit une suite arithmétique de raison " et de premier terme . Si " > 0, alors lim
→J =………..
Si " < 0, alors lim
→J =………..
Si " = 0, alors converge vers car c’est une suite constante.
Propriété 8 : Soit - ∈ ℝ.
Si - > 1, alors lim
→J- =………..
Si - = 1, alors lim
→J- =………..
Si −1 < - < 1, alors lim
→J- =………..
Si - ≤ −1, alors la suite -W ………..
Propriété 9 : Conséquence de la propriété 8.
Soit une suite géométrique de raison - et de premier terme . Si - > 1 et > 0, alors lim
→J =………..
Si - > 1 et < 0, alors lim
→J =………..
Si - = 1, alors lim
→J =………..
Si −1 < - < 1, alors lim
→J =………..
Si - ≤ −1, alors la suite W ………..
9
Remarque : le cas - > 1 et = 0 n’a pas été précisé dans la propriété car, dans ce cas, la suite est constante égale à 0, elle est donc convergente de limite 0.
3) Limites des suites monotones
Propriété 10 : Soit une suite croissante définie sur ℕ.
Si la suite converge vers un réel ℓ, alors est majorée par ℓ.
Exemple : la suite définie sur ℕ par = 3 − est croissante et converge vers 3, elle est donc majorée par 3.
Remarque : on peut aussi énoncer un résultat similaire pour les suites décroissantes.
Théorème 4 : Une suite convergente est une suite bornée.
Exemple : la suite définie sur ℕ par = 3 − converge vers 3. Elle est majorée par 3 et minorée par son premier terme (car croissante), à savoir 1.
Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse : une suite bornée n’est pas forcément convergente.
La suite définie sur ℕ par = −1 est bornée par -1 et 1 mais est divergente (elle n’a pas de limite).
Propriété 11 : contraposée du théorème 4
Théorème 5 (admis) : Théorème de convergence monotone
1) Si une suite est croissante et majorée, alors elle est convergente.
2) Si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente.
Tapez une équation ici.
Remarque : Ce résultat permet de démontrer qu’une suite monotone converge. En revanche, il ne donne pas la limite de la suite.
Exemple : Soit la suite définie sur ℕ par suite =
et = − On montre d’abord par récurrence que, pour tout ∈ ℕ, 0 < < 1
La suite est décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente.
Théorème 6 :
1) Si une suite est croissante et non majorée, alors elle a pour limite +∞. 2) Si une suite est décroissante et non minorée, alors elle a pour limite −∞.
Remarque : les réciproques des théorèmes 5 et 6 sont fausses.
