Exercice 1:
1/soit la fonction définie par : (x)=ex(2-x)-2.
a/ étudier les variations de .
b/ montrer que l’équation (x)=0 admet dans R exactement deux solutions, on notera a la solution non nulle vérifiant 1a2.
c/ en déduire le signe de (x)
2/ soit f la fonction définie sur R par : f(x)= 0 1
2
si x e
x
x
0 si x=0 a/ montrer que f est continue sur R
b/ montrer que f est dérivable sur R et que pour tous xR* ; f’(x)=
) 1 (
) (
2
e x x
x
.
c/ montrer que f(a)=a(2-a).
d/ étudier les variations de f puis construire sa courbe dans repère orthonormé (on prendra a=1,6).
Exercice 2: les courbes seront tracées dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O,i,j).
I/ 1/a) étudier la fonction définie par: (x)=
x
² log
x . b) tracer .
2/ a) démontrer que l'équation (x)=e admet deux solutions dans ]1,+∞[ que l'on comparera à e, e², e3, e4.
b) résolvez dans ]1,+∞[ l'inéquation (x)<x.
3/ démontrer que 1
x log
)) x ( lim log(
x
4/ démontrer que réalise une bijection de ]0,1[ sur un intervalle J que l'on précisera.
5/a) démontrer que l'équation (x)=
n
1 , nIN* admet dans ]0,1[ une unique solution n .
a) étudier les variation de la suite (n).
b) en déduire la suite n) converge vers un réel l que l'on déterminera.
Exercice 3 : soit U la suite définie sur N par U0=2 et Un+1= eUn1 . soit f : x e1/x définie sur R+*
.
1/ déterminer les fonctions dérivée f’ et f’’ et étudier le ses de variations de f.
2/ montrer que l’équation f(x)=x admet une solution unique lR+*
; prouver que l]3/2,2[.
3/ tracer dans un repère orthonormé du plans la courbe de f ; représenter graphiquement les premiers termes de la suite U.
4/ a/ démontrer que pour tout nN on a Un]3/2,2[
b/ montrer que pour tout x]3/2,2[ e92 f x 4e21 ) 1 ( 9 '
4
.
c/ déduisez-en qu’il existe un réel k de ]0,1[ tel que pour tout x[3/2,2]
on a : /f’(x)/ k.
d/ montrer que pour tout nN ; on a /Un+1-l/ k /Un-l/
e/ montrer que la suite U converge vers l
f/ montrer en utilisant les variation de f que Un+1-l et Un-l sont de signe contraires ; déduisez-en que le réel l est compris entre Un et Un+1.
Exercice 4:
on se propose d’étudier la suite U définie par U0=1/2 et Un+1=
2
n Un
U e 1/ soit la fonction définie sur [0,1] par f(x) =
2 x
ex a/ calculer f’(x) et f’’(x).
b/ étudier le sens de variations de f trouver f([0,1]
c/ démontrer que pour tout x[0,1], 1/4 f’(x) 2/3
d/ montrer que l’équation f(x)=x admet une solution unique dans [0,1]
2/ a/ prouver que si la suite U admet une limite l alors f(l)=l b/ démontrer que pour tout nN
3 0 1 2
l U
l U
n
n ; déduisez que la suite U converge vers l et déterminer un entier n0 tel que si n n0 alors /Un-l/ 10 –3.
Exercice 5:
Partie A
On considère la fonction g définie sur R par g(x) = (x + 1)2e x. Soit C la représentation graphique de la fonction g dans le repère orthonormal(O;i,j), unité graphique 2 cm.
1. Calculer la dérivée g´ de g.
Montrer que g´(x) est du signe de (1 x2). En déduire les variations de g.
2. Montrer que : a)
x
lim g( x )
. b)
x
lim g( x ) 0
et préciser l'asymptote à C correspondante.
3. Tracer la courbe C dans le repère (O;i,j). On placera en particulier les points de la courbe d'abscisses respectives 2 ; 1 ; 0 ; 1 et 3.
4. a) Par une lecture graphique, indiquer, suivant les valeurs du nombre réel k 0, le nombre de solutions de l'équation g(x) = k.
b) Prouver rigoureusement que l'équation g(x) = 2 admet une solution et une seule. Prouver que appartient à l'intervalle [ 2 ; 1].
c) Montrer que vérifie la relation 1 2e .2
Partie B
On appelle f la fonction définie sur l'intervalle I = [ 2 ; 1] par :
x
f ( x ) 1 2e .2
a) Étudier les variations de f sur I.
b) En déduire que, pour tout élément x de I, f(x) appartient à I.
c) Montrer que, pour tout élément x de I, f '( x ) 1 .
2e d) montrer que, pour tout élément x de I, on a :
f ( x ) 1 x .
2
Exercice 6 : soit nIN* ; on considère la fonction fn définie par : fn(x)= xenx1 si x>0 et fn(0)=0.
1/a/ montrer que fn est continue et dérivable sur IR+.
b/ calculer f’n(x), en déduire que fn est strictement croissante sur IR+. 2/a/ calculer
x
f n ( x )
b/ étudier les variations de la fonction g :u eu 1 u sur IR+ et de la fonction h : t e t 1 t t²
2
, t 0 .
c/ en déduire que pour tout x> 0 ; 0 fn( x ) ( x 1) 1 n 2n² x
.
d/ montrer alors que la droite Dn :y=x-
n
1 est asymptote à la courbe n de fn.
Préciser la position relative de n et Dn. 3/a/ donner le tableau de variations de fn.
b/ tracer la courbe 1 et son asymptote en précisant la tangente en 0.
c/ montrer que pour tout nIN, n=h(O,1/n)(1) b/ construire 2 sur le meme graphique que 1. 4/ montrer que pour tout x[0,1], fn(x) x.
5/a/ montrer que pour tout nIN*, l’équation xenx1 1 a une seul solution n dans ]0,+[.
b/ démontrer que n est solution de l’équation xlogx=
n 1
6/a/ étudier les variation de h :xxlogx sur [1,+[.
b/ prouver que 1]1,76,1,77(
c/ montrer que n est décroissante en déduire qu’elle converge vers 1.
démontrer que h()=0 en déduire . Exercice 7 :
I/soit f la fonction définie sur IR parf(x)=log(1+e-x) ; on note sa courbe dans un repère orthonormé.
1/ dresser le tableau de variations de f.
2/ montrer que admet une asymptote oblique :y= -c ; étudier la position de et D.
3/ tracer et D (unité 4cm), préciser la tangente à au point d’abscisse 0.
4/ soit x0 un réel non nul ; on note M et N les points de d’abscisses respectives x0 et –x0.
a/ vérifier que f(x0 )-f(-x0)=-x0 ; en déduire que la droite (MN) garde une direction fixe que l’on précisera.
b/ montrer que l’on a f’(x0)+f’(-x0)=-1 ; en déduire que les tangentes à en M et N se coupent sur (Oy)
c/ illustrer sur les résultats précédentes en prenant x0=1.
II/ soit m un paramètre réel non nul ; on considère la fonction fm définie sur IR par fm(x)=f(mx).
1/ étudier suivant m les variations de fm
2/ préciser les asymptotes de m courbe de fm dans chaque cas 3/ montrer que pour tout xIR, f - m(x)-fm(x)=mx
4/ soit un réel, résoudre l’équation fm(x)= et préciser le signe de la solution de cette équation.
III/ soit U la suite définie sur IN* par : U1=1+e-1 et Un+1=Un(1+e-(n+1)) 1/ montrer qu pour tout t>0 ; t t² log( 1 t ) t
2 .
2/ en déduire que pour tout xIR :
x e 2x x
f ( x )
e e
2
.
3/a/ montrer que la suite U est strictement croissante.
b/ montrer que pour tout nIN* ; log(Un)=f(1)+f(2)+….+f(n).
c/ on pose 1 n 2 n
k 2k
k 1 k 1
1 1
S et S
e e
;
montrer que S1-
2
1 S2 < log(Un) <S1.
4/ a/ si a]1,+[ calculer la somme
a ... 1
² a
1 a 1
n
et montrer qu’elle admet une limite que l’on calculera.
b/ montrer que la suite U est majorée et convergente ; soit l sa limite.
c/ montrer que
1 e ) 1 l ) log(
1
² e ( 2
1 e
2 ; en déduire une valeur approchée de l à 0,1 prés.
