Dynamique des contacts

(1)

Sujet propos´e par O. Pantzolivier.pantz@polytechnique.org Objectif

Le but de ce Miniprojet consiste à implémenter un schéma numérique simple simulant le comportement d’un solide quasi-rigide percutant une fondation rigide. Dans un premier temps, on se limitera au cas unidimensionnel en implémentant ce schéma en dimension 1 sousscilab. Le cas bidimensionnel sera considéré dans un second temps et mise en œuvre à l’aide du logiciel d’éléments finisFreeFem++.

Position du probl`eme

On considère un solide quasi-rigide de configuration de référence Ω, ouvert de Rⁿ (par la suite, on considérera le casn= 1 ou 2). On noteu: [0, T]×Ω→Rⁿ le déplacement du solide au court de l’intervalle de temps d’étude [0, T]. Le solide étant supposé presque rigide, son mouvement est essentiellement composé d’une rotation et d’une translation. Afin de pouvoir linéariser le problème, on suppose que la composante de rotation du mouvement est nulle (ce qui est vrai dans certaines configurations particulières) et que de ce fait, le gradient∇ude la déformation est proche de l’identité. Sous ses hypothèses, il est raisonnable de supposer que le comportement du solide est linéaire élastique. De ce fait, le système est défini par







ρ^∂_∂t²^u2 = divσ+f dans ]0, T[×Ω u(t= 0) =u0 sur Ω

∂u

∂t(t= 0) =v₀ sur Ω

(1)

où σ est le tenseur des contraintes internes, f les forces appliquées au solide et ρla masse volumique du solide. Le comportement du solide étant supposé

´elastique lin´eaire, on a

σ=Ae(u), (2)

oùA est la loi de Hook ete(u) est le gradient symétrisé

e(u) = (∇u+∇u^T)/2. (3)

Pour fermer le système, il reste à définir quelles sont les conditions aux limites imposées sur le bord de Ω.

On suppose que les mouvements du solide sont limitées par la présence d’un obstacle rigideωdéfinit par

ω={x∈Rⁿ : F(x)>0}.

Ainsi, pour tout (t, x)∈]0, T[×∂Ω, on a

F(x+u(t, x))≤0. (4)

Deux cas se pr´esentent. Soit F(x+u(t, x)) = 0. Dans ce cas, le point x est en contact avec l’obstacle rigide au tempstet le solide exerce une force (qu’on

(2)

suppose sans frottement) empêchant la pénétration du solide Ω dans la fondation rigideω. SoitF(x+u(t, x))<0: Au tempst, le point xn’est pas en contact avec la fondation rigide et ne subit aucune force de réaction de sa part. On peut résumer ces deux situations sous la forme condensée suivante

λ^CF(x+u(t, x)) = 0 sur ]0, T[×∂Ω (5) σ·n=λ^CN sur ]0, T[×∂Ω (6)

λ^C≥0 sur ]0, T[×∂Ω (7)

où n est la normale extérieure à Ω, N la normale extérieure à ω et λ^C est l’intensité de la force de contact exercée par la fondation sur le solide.

R´esolution Num´erique: Le cas unidimensionnel

On considère dans un premier temps le cas unidimensionnel, c’est à dire où Ω =]aC, aN[ est un intervalle ouvert deR. On suppose de plus queω=]− ∞,0[

de sorte que

F(x) =−x.

Evidemment, seule l’extr´´ emit´ea_Cde Ω peut entrer en contact avec la fondation rigide. Les ´equations (1-7) se simplifient sous la forme

ρ∂²u

∂t² −a∂²u

∂x² =f sur ]0, T[×Ω (8)

u(t= 0) =u0 sur Ω (9)

∂u

∂t(t= 0) =v₀ sur Ω (10)

∂u

∂x(a_N) = 0 sur ]0, T[ (11)

a∂u

∂x(aC) +λ^C= 0 sur ]0, T[ (12)

u(aC) +aC≥0 sur ]0, T[ (13)

λ^C(u(a_C) +a_C) = 0 sur ]0, T[ (14)

λ^C≥0 sur ]0, T[. (15)

On se propose d’implémenter le schéma de type Newmark avec (δ=θ= 1/2) afin de résoudre ce problème, tout en l’adaptant afin de prendre en compte la condition de contact. En d’autres termes, on va déterminer uⁿ_i 'u(n∆t, aC+ i∆x) solution de

ρ

uⁿ⁺¹_i −2uⁿ_i +uⁿ⁻¹_i (∆t)²

−a 2

uⁿ⁺¹_i+1 −2uⁿ⁺¹_i +uⁿ⁺¹_i−1 (∆x)²

+uⁿ⁻¹_i+1 −2uⁿ⁻¹_i +uⁿ⁻¹_i−1 (∆x)²

!

=f_i (16)

(3)

et

−a 2

uⁿ⁺¹_j+1 −uⁿ⁺¹_j

∆x +uⁿ⁻¹_j+1 −uⁿ⁻¹_j

∆x

!

=g_jⁿ⁺¹ (17)

aveci= 1, . . . , N,j∈ {0, N},fi =f(aC+i∆x),g_Nⁿ⁺¹= 0,

g₀ⁿ⁺¹=λⁿ⁺¹_C (18)

et 





λⁿ⁺¹_C ≥0

λⁿ⁺¹_C (a_C+uⁿ⁺¹₀ ) = 0 aC+uⁿ⁺¹₀ ≥0.

(19)

Question 1. Quelle est l’énergie totale du système ? Montrer que l’énergie du système est constante au court du temps. Remarque: Pour simplifier, on pourra supposer que le solide n’entre en contact avec le support rigide qu’un nombre fini de fois.

Question 2. On introduit l’énergie discrétisée suivante

En=1 2

N

X

i=1

ρ

uⁿ⁺¹_i −uⁿ_i

∆t ²

∆x+1 4

N

X

i=0

a

"

uⁿ⁺¹_i+1 −uⁿ⁺¹_i

∆x

!²

+

uⁿ_i+1−uⁿ_i

∆x

²#

∆x−1 2

N

X

i=1

f_i(uⁿ⁺¹_i +uⁿ_i)∆x Montrer qu’en l’absence de contacts, cette dernière est conservée au court du temps et qu’elle est décroissante en présence de contact.

A cause de la condition de contact sans frottement, le système (16-19) est non linéaire. Il s’en suit que la résolution de ce problème discrétisé n’est pas

évidente. On se propose de le résoudre de manière itérative en recherchant la force de contact par approximations successives. Plus précisément, supposons u_n,u_n−1,λⁿ_C,λⁿ⁻¹_C ont déjà été calculés. Pour tout réelλ_C>0, on noteT(λ_C) la solution du système linéaire (16-18) où on a supposéλⁿ⁺¹_C =λ_C. En d’autres termes,T(λ_C)∈R^N⁺² est solution du système

ρ

T(λC)i−2uⁿ_i +uⁿ⁻¹_i (∆t)²

−a 2

T(λC)i+1−2T(λC)i+T(λC)_i−1 (∆x)²

+uⁿ⁻¹_i+1 −2uⁿ⁻¹_i +uⁿ⁻¹_i−1 (∆x)²

!

=fi

et

−a 2

T(λ_C)_j+1−T(λ)_j

∆x +uⁿ⁻¹_j+1 −uⁿ⁻¹_j

∆x

!

=g_jⁿ⁺¹

(4)

aveci= 1, . . . , N,j∈ {0, N},fi =f(aC+i∆x),g_Nⁿ⁺¹= 0, gⁿ⁺¹₀ =λC.

Enfin, on pose

R(λ_C) = max(λ_C−α(a_C+T(λ_C)),0), o`uαest un petit r´eel positif.

Question 3. V´erifier que λ_C est un point fixe de R si et seulement si les conditions (19) avec sont satisfaites (λ_C=λⁿ⁺¹_C ).

La résolution du système discrétisé complet consiste donc à déterminerλⁿ⁺¹_C solution de

λⁿ⁺¹_C =R(λⁿ⁺¹_C ).

L’algorithme qui en d´ecoule est le suivant

1. Initialisation

On posen= 0,u⁰_i =u0(aC+i∆x),u¹_i =u⁰_i + ∆tv0(aC+i∆x) et λ⁰_C=λ¹_C = 0.

2. It´erations

a. Pour toutn >1, on pose λ^n,0_C =λⁿ⁻¹_C etj = 0.

b. CalculerT(λ^n,j_C ) puis de λ^n,j+1_C =R(λ^j,n_C ).

c. Si|λ^n,j+1_C −λ^n,j_C |< ε petit, on passe à l’étape 3, sinon, on incrémentej est on retourne à l’étape 2.b

3. Sin∆t < T, on incrémentenet on passe à l’étape 2, sinon on stoppe.

Question 4. Implémenter l’algorithme précédent sousscilab.

Question 5. On souhaite vérifier la propriété de décroissance de l’énergie discrétisée. Tracer l’évolution de l’énergie discrétisée en fonction du temps avec le jeu de paramètres physiques suivants: Ω =]0,1[,ρ=a= 1,f =−1,u0= 1, v0 = 0 et T = 10, et les paramètres de discrétisation N = 100, ε = 10⁻¹⁰,

∆t = 0.05, α = 10 .Tracer ´egalement (sur un autre graphique) la force de contact exerc´ee par l’obstacle en fonction du temps.

Question 6. Déterminer la formulation variationnelle associée au système (8-15). Déterminer la solution explicite de ce problème dans le cas Ω =]0,1[, ρ=a= 1,f = 0,u₀= 1, v₀ =−1 etT = 4. . Indications: On cherchera une solutionutelle que∂u/∂xsoit constante par morceaux.

(5)

Question 7. Quelle est l’erreur obtenue (en normeL²) entre la solution exacte et la solution calculée numériquement au temps finalT = 4 (On utilisera les mêmes paramètres de discrétisation que lors de la précédente application numérique). Note: Si U est un vecteur comportant N + 2 composantes, on définit la normeL²deU par

kUk=X

|Ui|²∆x^1/2

R´esolution Num´erique: Le cas bidimensionnel

On se propose d’implémenter la méthode précédente en utilisant la même schéma en temps, mais en adoptant une discrétisation en espace de type éléments finis. On considère le cas où ω =R×]− ∞,0[. La contrainte est alors définie par

F(x1, x2) =−x2.

On suppose de plus que Ω est un solide élastique isotrope de module de Young E et de coefficient de Poissonν. On rappelle que les coefficients de Lamé sont définis par

λ= νE

(1 +ν)(1−2ν) µ= E 2(1 +nu)

Question 8. Déterminer la formulation variationnelle vérifiée par la solution udu système (1-3) et (6) en supposant λ_C donné.

Question 9. Proposer une discrétisation de ce système de type différences finies en temps (identique à celle proposée dans le cas unidimensionnel) et de type éléments finisP¹en espace.

Question 10. Proposer une extension de l’algorithme introduit précédemment au cas bidimensionnel permettant de déterminer de manière itérative la force de contact discrétisée λⁿ⁺¹_C , appartenant à l’espace des fonctions P1 du bord du maillage de Ω. On utilisera un critère de convergence des multiplicateurs de Lagrange basé sur la normeL^∞ de la différence entre deux multiplicateurs de Lagrange successifs.

Question 11. Quelle est l’énergie du système au tempst? Montrer qu’on peut introduire une énergie discrétisée, conservée en l’absence de contacts. Mon- trer que quitte à utiliser la technique dite de “masse lumping” pour évaluer l’intégrale associée aux forces de contacts, l’énergie discrétisée est décroissante (pas nécessairement strictement), même en présence de contacts.

Question 12. Impl´ementer l’algorithme sousFreeFem++.

Question 13. On souhaite valider l’algorithme sur un cas test simple. On consid`ere le cas Ω =]−h, h[×]0, L[ avecu0= (0,1), v0= (0,−1), ρ= 1,ν = 0,

(6)

E = 1, f = 0, T = 4, L = 1 et h = 0.03. Déterminer la solution exacte du problème d’évolution obtenu. Calculer l’erreur L² moyenne obtenue entre la solution numérique et la solutionL² au tempsT = 4. On choisira de mailler Ω

`

a l’aide d’un maillage structur´e comptant 100 mailles par unit´e de longueur et

∆t= 0.05. Tracer l’´evolution de l’´energie et de la somme des multiplicateurs de Lagrange

λ_C = Z

∂Ω

λ_Cds

en fonction du temps.

Question 14. Tracer l’évolution de l’énergie et de la somme des multiplicateurs de Lagrange en fonction du temps en utilisant mêmes paramètres que lors de la question précédente, mais pour un temps final T = 10, une force f = −1 et une vitesse initiale nulle. L’énergie discrétisée est-elle bien décroissante ? Interpréter.

Question 15. Même question que précédemment, mais avecν= 1.

Question 16. Question subsidiaire: Représenter le solide déformé pour différents temps de l’évolution (en utilisant la commandemovemesh). On pourra changer tous les paramètres de la géométrie (cas du disque par exemple) au coefficients de Lamé (il est conseiller d’augmenter le module de Young pour que le solide ne soit pas trop mou et éviter des erreur de typeretournement de triangle sousFreefem++).