Enonc´e noE437 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Diophante est `a mˆeme de gagner la bataille en 9 coups (choix deq1 `a q9).
Le tableau ci-dessous en donne le d´eroulement. La colonne f /v indique : – soit (symbole f) que le choix d’Hippolyte (somme ou diff´erence des pk
etqk de la ligne pr´ec´edente) est forc´e, car le choix contraire donnerait une puissance de 10 ;
– soit (symbolea, b, c) que le choix d’Hippolyte peut ˆetre diff´erent, et que la suite correspondant `a cette variante est `a rechercher plus bas dans le tableau face au mˆeme symbole entre parenth`eses.
Les points de suspension remplacent 1000 chiffres identiques au chiffre (0 ou 9) qui les borde `a gauche.
Quandpketqk sont (`a une puissance de 10 pr`es) 50 et 5 (ou l’inverse),pk+1 etqk+1 sont 45 et 55, puispk+2 sera 10 ou 100 et Diophante aura gagn´e.
n f /v pn qn
1 500. . .770. . .05 499. . .229. . .95 2 f p1−q1 = 1540. . .10 1459. . .90
3 a p2−q2 = 80. . .20 19. . .80
4 f p3−q3 = 60. . .40 39. . .60
5 f p4−q4 = 20. . .80 19. . .20
6 b p5−q5 = 160 140
7 c p6−q6 = 20 30
8 f p7+q7 = 50 5
3 (a) p2+q2= 300000. . . 200000. . . 4 f p3+q3= 500000. . . 50000. . . 6 (b) p5+q5 = 4000. . . 6000. . . 7 f q6−p6 = 2000. . . 3000. . . 8 f p7+q7 = 5000. . . 500. . .
7 (c) p6+q6 = 300 200
8 f p7+q7 = 500 50
Ainsi Diophante gagne d`esp10, et mˆeme d`esp6 dans la variante (a).
Qu’en serait-il avec une autre valeur dep1?
Si p1 n’est pas multiple de 5, Hippolyte pourra s’arranger pour garder un chiffre des unit´es diff´erent de 5 et 0, et pourra ´eviter les puissances de 10.
Mais si p1 est multiple de 5, Diophante pourra r´eduire (petit `a petit, sauf cas favorable comme ce palindrome plein de z´eros) le nombre des chiffres significatifs des pk par des coups forc´es. Cependant, je ne vois pas de loi simple pour majorer le nombre de coups de la partie en fonction du nombre de chiffres dep1.
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