1) Puissance d’un nombre

Puissances

1) Puissance d’un nombre

a) Puissance d’exposant positif:

Définition : Quel que soit le nombre a et quel que soit l’entier n supérieur à 1 :

n facteurs

...

a

   a a   a a

est une puissance de a et se lit : « a exposant n »

De plus : a

 a et a

 1

Exemples :

2

      2 2 2 2 2 32

( 5) 

        ( 5) ( 5) ( 5) ( 125)

2009

 2009 7

 1 ( 5) 

     ( 5) ( 5) 25

Remarque : a

se lit également : « a au carré » et a

se lit : « a au cube ».

b) Puissance d’exposant négatif :

Définition : Quel que soit le nombre a non nul et quel que soit l’entier n :

1 a

a





En particulier : ¹ 1

a a



 et ² 1 ₂

a a





Exemples :

3 3

1 1

2 0,125

2 8



   ² 1 ₂ 1

( 5) 0, 04

( 5) 25



  



c) Propriétés et règle de priorité :

Propriétés : Quels que soient les nombres relatifs a et b non nuls et les nombres entiers m et n :

a

 a

 a

n n m

m

a a

a



a

 b

 ( ) ab

Exemples :

5 4 5 4 9

3   3 3

 3

3 3 ( 5) 3 5 8

5

7 7 7 7

7

  



   2

 5

  (2 5)

 10

Règle de priorité:

- En l’absence de parenthèses, on calcule les puissances avant d’effectuer les autres opérations (

, , et

    ).

- En présence de parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses.

Exemples : 5 3    

5 9 45 (5 3)  ²  8 ²  64 5

 4

 125 16 109   2) Cas particulier : les puissances de 10

a) Calcul d’une puissance de 10 :

Propriété : Quel que soit l’entier positif n :

n zéros n zéros

10

 10...0 et 10   

 0, 0...01  

Exemples :

10

 1 000 000 10

²  0, 01

b) Puissance de puissance de 10 :

Propriété : Quels que soient les nombres entiers m et n :   ¹⁰

^{ 10}

Exemples :

          ¹⁰

^{ 10}

^{ 10}

^{ 10}

^{ 10}

^{ 10}

^{ 10}

c) Produit par une puissance de 10 :

Propriété :

Pour multiplier un nombre décimal par 10

(n est un entier positif) on déplace la virgule de n rangs vers la droite.

Pour multiplier un nombre décimal par 10

(n est un entier positif) on déplace la virgule de n rangs vers la gauche.

Exemples :

25,1 10 

 2 510 000 La virgule est décalée de 5 rangs vers la droite.

251,76 10 

4  0, 025 176 La virgule est décalée de 4 rangs vers la gauche.

3) La notation scientifique

a) Ecrire un nombre en notation scientifique

Définition : Un nombre positif est écrit en notation scientifique quand il est écrit sous la forme : a  10

où :

 a est un nombre décimal tel que 1   a 10 (c'est-à-dire que a s’écrit avec un seul chiffre autre que zéro avant la virgule),

 n est un nombre entier relatif.

Exemples :

7, 45 10

G   G est écrit en notation scientifique.

0,38 10 4

H   H n’est pas écrit en notation scientifique car le chiffre avant la virgule est zéro.

8, 257 5

I   I n’est pas écrit en notation scientifique car le deuxième facteur n’est pas une puissance de 10.

Remarque : On peut donner un ordre de grandeur en écrivant un encadrement entre deux puissances de 10 d’un nombre écrit en notation scientifique.

Par exemples : 10 ⁴  2, 438 10  ⁴  10 ⁵ 10

⁴  7, 48 10 

⁴  10

³