Université de Cergy-Pontoise Avril 2013
Algèbre linéaire et bilinéaire
Licence de Mathématiques, troisième année Durée 3 heures, documents et calculatrice interdits
Question de cours 4 points
Énoncé et démonstration du lemme des noyaux. On se contentera de la première étape : cas où le polynôme P est produit de deux polynômes P1et P2premiers entre eux.
Premier exercice 3 points
Soit A∈ M4(R) la matrice définie par
A =
1 1 2 a
0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1
1. Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal, puis la réduite de Jordan de A.
2. Montrer que A = I + B où B est définie par
B =
0 1 2 a
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
est la décomposition de Dunford de A, et en déduire l’expression de An.
Second exercice 3 points
Soitqla forme quadratique définie surR4par :
q(x) =x21+x22+ 4x23+ 2x1x2−4x1x3+ 2x2x3+ 2x3x4
lorsquex= (x1, x2, x3, x4). On noteφla forme bilinéaire symétrique associée.
1. Déterminer la matrice deqdans la base canonique puis en donner le rang et la signature.
2. Soit F le sous-espace vectoriel deR4défini par
F ={x= (x1, x2, x3, x4)|x3= 0}
Donner une base de F, déterminer F⊥et montrer que F⊥⊂F.
Troisième exercice
Soit A la matrice deMn(R) de coefficients (aij) tels que
aj+1,j= 1 pourj∈ {1,2, . . . , n−1}
ai,j = 0 dans tous les autres cas.
1. Soitf l’endomorphisme deRndont la matrice dans la baseBest A. Calculerfk(ei) pour toutket toutide 1 àn. En déduire quef est nilpotent d’ordren. Quels sont ses polynômes minimaux et caractéristiques ?
2. Soitg un endomorphisme qui commute avecf (c’est-à-dire tel queg◦f =f ◦g). On note g(e1) =a0e1+a1e2+. . .+an−1en
Montrer quegcoïncide avec l’endomorphisme P(f) où P est le polynôme P(X) =a0+a1X +a2X2+. . .+an−1Xn−1
En déduire la forme de l’ensemble des matrices qui commutent avec la matrice A.
3. Montrer qu’il n’existe pas de matrice B telle que B2= A. On pourra commencer par mon- trer que B est un polynôme en A.
Quatrième exercice
On se place dansMn(R), avecn>1, et on définit sur E une relation binaire par ARB ⇐⇒ tAA =tBB
1. Vérifier que c’est une relation d’équivalence. Quelle est la classe de I ?
2. On noteOn(R) le groupe des matrices orthogonales. Montrer que s’il existe Ω∈On(R) telle que A =ΩB alors ARB.
3. On suppose que A est inversible et que ARB. Montrer qu’il existe O∈ On(R) telle que A = OB.
4. On suppose que E =Rnest muni de sa structure euclidienne canonique et que (fi)i=1..net (gi)i=1..nsont des vecteurs indépendants de E tels que
∀(i, j)∈ {1,2, . . . , n}2, hfi, fji=hgi, gji Montrer qu’il existe une isométrie transformant, pour touti,fi engi.
