EXERCICE1
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct³ O,→−
u,−→ v´
. Soient A et B les points d’affixes respectiveszA=1−i etzB=7+7
2i.
1. On considère la droite (d) d’équation 4x+3y=1.
Démontrer que l’ensemble des points de (d) dont les coordonnées sont en- tières est l’ensemble des pointsMk(3k+1,−4k−1) lorsquekdécrit l’ensemble des entiers relatifs.
2. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui trans- forme B enM−1(−2 ; 3).
3. Soitsla transformation du plan qui à tout pointMd’affixezassocie le point M′d’affixe
z′=2 3iz+1
3−5 3i.
Déterminer l’image de A pars, puis donner la nature et les éléments caracté- ristiques des.
4. On note B1 l’image de B pars et pour tout entier naturel n non nul, Bn+1
l’image de Bnpars.
a. Déterminer la longueur ABn+1en fonction de ABn.
b. À partir de quel entiernle point Bn, appartient t-il au disque de centre A et de rayon 10−2?
c. Déterminer l’ensemble des entiersn pour lesquels A, B1et Bn sont ali- gnés.
EXERCICE2
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct³ O,−→
u,→− v´
. L’unité graphique est 2cm.
Le but de cet exercice est d’étudier la similitude plane indirectef d’écriture com- plexe :
z′=ip
2z+2ip 2−2, et d’en donner deux décompositions.
I. Restitution organisée de connaissances
On rappelle que l’écriture complexe d’une similitude plane directe autre qu’une translation est de la formez′=az+b, oùaetbsont des nombres complexes avec a6=1.
Déterminer en fonction deaet debl’affixe du centre d’une telle similitude plane directe.
II. Première décomposition def
Soitgla similitude plane directe d’écriture complexe : z′=ip
2z+2ip 2−2.
1. Préciser les éléments caractéristiques deg(centre, rapport, angle).
2. Déterminer une réflexionstelle quef =g◦s, III. Deuxième décomposition def
1. Montrer quef admet un unique point invariant notéΩ. Déterminer l’affixeω deΩ.
2. SoitDla droite d’équation :y=x+2.
Montrer que pour tout point N appartenant àD, le point f(N) appartient aussi àD.
3. Soitσla réflexion d’axeDetkla transformation définie par :k=f◦σ. a. Donner l’écriture complexe deσ.
(Indication : on pourra poserz′=az+bet utiliser deux points invariants parσpour déterminer les nombres complexesaetb.)
b. En déduire que l’écriture complexe dekest :z′=p 2z+2p
2−2.
c. Donner la nature de la transformationket préciser ses éléments carac- téristiques.
4. Déduire de ce qui précède une écriture de la similitude indirecte f comme composée d’une réflexion et d’une homothétie,
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