Université de Cergy-Pontoise Mai 2015
Algèbre Linéaire et Bilinéaire
Licence Mathématiques-Physique-Informatique, troisème année Durée 3 heures, documents et calculatrice interdits
Deux questions techniques - 5 points
1. SoitA une matrice à coefficients réels dont les polynômes caractéristiques et minimaux sont :
χA(X) =X4(X−2)3, µA(X) =X2(X−2)3
Donner toutes les réduites de Jordan compatibles avec ces hypothèses, et préciser chaque fois la dimension du noyau deA. Justifier votre réponse.
2. Donner la décomposition de Gauss, la signature et le rang de la forme quadratique réelle définie par
q(x) =x21+ 5x22+ 4x1x2−2x1x4−4x2x3−4x2x4
oùxdésigne un vecteur de coordonnées(x1, x2, x3, x4). On détaillera les calculs.
Exercice 1 - 5 points
SoitA∈ M3(C)la matrice définie par
A=
−2 −4 −1
0 1 0
9 12 4
On noteInla matrice de l’identité dansMn(K).
1. Déterminer et factoriser le polynôme caractéristique deA.
2. Déterminer le polynôme minimal deAet en déduire la forme de la réduite de Jordan de A. On ne demande pas de donner une base de Jordan deA.
3. Montrer que si on poseD =I3etN =A−D, alorsA =D+N est la décomposition de Dunford deA.
4. D’une façon générale (Aest une matrice deMn(K), oùKest un corps commutatif) démon- trer que la décomposition de Dunford deAs’écritA=D+NavecD=λInetN=A−D si et seulement si le polynôme caractéristique deAestχA= (−1)n(X−λ)n.
Exercice 2 - 5 points
1. Dans cette questionE=R3, etqest la forme quadratique définie par q(x) =x21+x22−x23
où(x1, x2, x3)sont les coordonnées dex∈Edans la base canonique. On noteraφla forme bilinéaire associée àq. Siaest un nombre réel, on se donne deux vecteursuetvpar
u=
0 1 0
, v=
a 1 1
Montrer queuetvsont indépendants. On noteFle planvect(u, v), etq′la restriction deqà F. Déterminer la matrice deq′dans la base(u, v)deF, puis la signature deq′, en fonction dea.
2. Dans cette questionEest unRespace vectoriel de dimensionn. Soitqune forme quadra- tique de signature(n−1,1).
(a) Montrer qu’il existe un vecteurxtel queq(x)<0.
(b) Montrer que la restriction deqàH = vect(x)⊥est définie positive.
Exercice 3 - 5 points
SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien>2(Kest un corps commutatif). Soitf un endomorphisme deE. On se propose de démontrer le résultat suivant :
λest racine simpledu polynôme minimal defsi et seulement siE= Ker(f−λidE)⊕Im(f−λidE).
Dans tout l’exercice, on suppose queλest valeur propre def, donc racine au moins simple du polynôme minimal.
1. Montrer que
E= Ker(f−λidE)⊕Im(f −λidE) ⇐⇒ E= Ker(f−λidE) + Im(f −λidE)
2. On suppose queE = Ker(f −λidE) + Im(f −λidE)et que le polynôme minimal def s’écrit
µf(X) = (X−λ)2Q(X) oùQest un polynôme deK[X]. Montrer que
P(X) = (X−λ)Q(X)
est un polynôme annulateur def et en déduire
E= Ker(f−λidE)⊕Im(f−λidE)impliqueλest racine simple du polynôme minimal de f.
3. On suppose que le polynôme minimal def s’écritµf(X) = (X −λ)Q(X)oùQ(λ) 6= 0.
Montrer qu’il existe deux polynômesA(X)etB(X)tels que1 =A(X)Q(X)+B(X)(X−λ) et en déduire qu’alors
E= Ker(f −λidE)⊕Im(f−λidE)
L1 JeanDELCOURT Année 2014/2015 Page 2/ 5
