(1)CORRIGÉ EXERCICE1 5points 1

CORRIGÉ

EXERCICE1 5points

1. VRAI:onvér iequelesoordonnéesdes3pointsonviennent(onvér ieaussique(ABC)estunplanenalulant

lesoordonnéesde

¡!

ABet

¡!

AC:nonolinéaires)

2. FAUX:

¡!

DE (2;2;1)n'estpasolinéaireàunveteurnor malà(ABC)

¡

!

n(2;2;¡1)

3. VRAI:

¡!

AB(¡2;0;¡4),

¡¡!

CD(¡2;¡1;1)et

¡!

AB¢

¡¡!

CDÆ0

4. FAUX:Dn'appar tientpasàladroitedontlareprésentationparamétr iqueestdonnée:1Æ¡1Å2t()tÆ1,mais

alorszÆ1¡1Æ06Æz

D

5. VRAI:

¡

!

AI µ

¡ 7

5

;0,;¡ 14

5

¶

don

¡

!

AIÆ 7

10

¡!

AB.

EXERCICE2 5points

1. a) lim

x!¡1 x

2

ÆÅ1, lim

x!¡1 e

1¡ x

ÆÅ1,donparproduit

lim

x!¡1

f(x)ÆÅ1)

f(x)Æe£x 2

e

¡ x

,or lim

x!Å1 x

2

e¡xÆ0,don

lim

x!Å1 f(x)Æ0

OnendéduitqueC admetl'axedesabsissesommeasymptoteauvoisinagedeÅ1

b) festdér ivablesurRommeomposéeetproduitdefontionsdér ivablessurR.

f 0

(x)Æ(2¡x)xe 1¡ x

) Donf 0

(x)estdusignedex(2¡x).Onendéduitletableausuivant:

x ¡1 0 2 Å1

f 0

(x) ¡ 0 Å 0 ¡

Å1 4/e

f(x)

@@

@ R

@

@@R

x y

O 1

1

2. a) Classique:oneffetueuneIPPdeI

nÅ1 8

<

: u(x)Æx

nÅ1

u 0

(x)Æ(nÅ1)x n

v 0

(x)Æe 1¡ x

v(x)Æ¡e 1¡ x

etonobtient

I

nÅ1

Æ¡1Å(nÅ1)I

n

b) OnintègreI

1

parpar ties 8

<

:

u(x)Æx u 0

(x)Æ1

v 0

(x)Æe 1¡ x

v(x)Æ¡e 1¡ x

etonobtient

I

1 Æ¡1Å

Z

1

0 e

1¡ x

Æ¡1¡1ÅeÆe¡2

puis,

I

2

Æ¡1Å2I

1 Æ2e¡5

) I

2 Æ

Z

0

1f(x)dx:'estdonl'airedudomaineompr isentrelesdroitesd'équationsyÆ0,xÆ0,xÆ1etlaourbe

d'équationyÆf(x)

3. a) (I) : 06^x6¹

()06^1¡x6¹

()16^{e1¡ x}6^e

()x

n6^{xne1¡ x}6^exn

b) Onintègrealorsmembreàmembreladoubleinégalitépréédenteetonobtient

·

x nÅ1

nÅ1

¸1

0

6^In6^e

·

x nÅ1

nÅ1

¸1

0

'estàdire

1

nÅ1

6^In6 ^e

nÅ1

Lethéorèmedesgendar mesper metalorsdeonlureque

lim

n!Å1 I

n Æ0

ale

EXERCICE3NONSPÉ 5points

1. Voirours...

2. a) Arg(z 0

)ơArgzơ

¡

¡Argz

¢

ÆArgzleresteestimmédiat.

b) f(M)ÆM()zÆ1/z()zzÆ1()jzj 2

Æ1,donl'ensembledespointsinvar iantsestleerleunité.

) z

0

¡1

z 0

¡i Æ

1

z

¡1

1

z

¡i Æ

1¡z

1¡iz Æ

1

i µ

z¡1

zÅi

¶

Æ¡i µ

z¡1

zÅi

¶

Æ¡i

z¡1

z¡i

!

Æequ'ilfaut...

AlorsArg µ

z 0

¡1

z 0

¡i

¶

ÆArg(¡i)ÅArg µ

z¡1

z¡i

¶

Æ¡

¼

2

¡Arg µ

z¡1

z¡i

¶

Å2k¼,k2Z

3. a) Mestsurladroite(UV)pr ivéedeUetVsi,etseulementsi,ilexisteunréel¸nonnultelque

¡¡!

UMƸ

¡¡!

VM ,'està

dire(z¡z

U

)Ƹ(z¡z

V

)d'oùlerésultat.

b) D'aprèslaquestion2-,etavelesnotationsusuelles,l'afxez 0

deM 0

vér ie

Arg µ

z 0

¡1

z 0

¡i

¶

Æ¡

¼

2

¡Arg µ

z¡1

z¡i

¶

Å2k¼Æ¡

¼

2

¡0Åk¼,k2Z

Ainsi

³

¡¡!

VM 0

,

¡¡¡!

UM 0

´

Æ¡

¼

2

Åk¼,k2Z,i.e.(VM 0

)?(UM 0

).

M 0

dér itdonleerledediamètre[U,V℄pr ivédeUetV.

EXERCICE3SPÉ 5points

Par tieA:ours....

Par tieB

1. Ben19étantunnombrepremier,19et12sontpremiersentreeux,don,d'aprèslethéorèmedeBézout...

Comme19uÅ12vÆ1,ona12v´1(19)don13£12v´13(19).Or6£19u´0(19),donnalement

NÆ13£12vÅ6£19u´13(19)

Ladémonstrationestsimilairepourl'autreongr uenede(S).

2. a) Commen´13(19)etn

0

´13(19),alors,partransitivitén´n

0 (19).

Ou,sil'onpréfère (E) : 8

>

<

>

:

n´13(19) (L

1 )

n

0

´13(19) (L

2 )

(E)() 8

>

<

>

:

n´13(19)

n¡n

0

´0(19) (L

2 )(L

1 )¡(L

2 )

(E)() 8

>

<

>

:

n´13(19)

n´n

0 (19)

Ladémonstrationestsimilairepourl'autreongr uene.

b) . Sin´n

0

(12£19),alorsn¡n

0

´0(12£19),donilexisteunentierktelquen¡n

0

Æ12£19£k.Onendéduit

que12et19divisentn¡n

0

etdonque

n´n

0

(12£19)Æ) 8

>

<

>

: n´n

0 (19)

n´n

0 (12)

ale

. Si 8

>

<

>

: n´n

0 (19)

n´n

0 (12)

,alors 8

>

<

>

: n¡n

0

´0(19)

n¡n

0

´0(12)

19et12divisentn¡n

0

.Comme19et12sontpremiersentreeux,on

utilisealorsunorrolaireduthéorèmedeGausspouronlure.Rappelonssadémonstration.Ilexistedeux

entierspetqtelsquen¡n

0

Æ19petn¡n

0 Æ12q.

Onendéduitque19pÆ12q.Or12divise12q,don19p.Mais12estpremierave19,don,d'aprèslethéo-

rèmedeGauss,12divisep.Ilexistedonunentierp 0

telquepÆ12p 0

,d'oùn¡n

0

Æ19£(12p 0

).Laonlusion

endéoule.

3. a) Onpeututiliserl'algor ithmed'Eulideétendu.Onpeutaussiobser verlesmultiplessuessifsde19.Detoute

façononobtient¡5£19Å8£12Æ1.LavaleurdeNorrespondanteest678.

b) Enreprenantlesquestionsetnotationspréédentes,onobtie ntn

0

Æ678,etdonquetouteslessolutionsv ér ient

n´678(12£19)etdonquel'ensembledessolutionsde(S)est{678Å228k,k2Z}.Or678Æ228£2Å222,don

nalementl'ensembledessolutionsest

©

222Å228p,p2Z ª

4. Lenombrenestdonsolutionde(S).Ils'ér itdonsouslafor menÆ222Å228p.Or06^{222Ç228,don222estbien}

lerestedeladivisiondenpar228.

EXERCICE4 5points

1. Onfaitunarbreetonobtient

a) P(C

2 )Æ0,8

2

b) P(C

2

)Æ1¡0,8 2

) p

n ÆP(C

n

)Æ1¡0,8 n

d) p

n

È0,99()0,8 n

Ç0,01()nln (0,8)Çln(0,01)()nÈ20,63Ilfautdonattendre21tirs.

2. PÆ 1

4 p

1 Å

1

4 p

2 Å

1

4 p

3 Å

1

4 p

4

Æ 1

4

¡

4¡

¡

0,8Å0,8 2

Å0,8 3

Å0,8 4

¢¢

Æ1¡ 1

4 µ

0,8 1¡0,8

4

1¡0,8

¶

Æ1¡(1¡0,8 4

)

Æ0,8 4

Æ0,4096

3. Onobtientd 2

Æ 3

800

Æ0,00375,dond 2

ÇD

9

.Onnepeutnirépondreàettemauvaisequestion,nirejeterl'hypo-

thèsed'undééquilibréaveunr isqueinfér ieurà10%del'avoirfaitàtor t.

ale