Université de Cergy-Pontoise Juin 2013
Algèbre
Licence Mathématiques-Physique-Informatique, première année, seconde session
Durée 2 heures, documents et calculatrice interdits
Question de cours - 4 points
Soit R[X] l’anneau des polynômes à coefficients réels. On suppose que A et B sont deux polynômes deR[X], et queB n’est pas le polynôme nul.
1. Énoncer ce qu’est la division euclidienne deAparB.
2. Démontrer l’unicitédu quotient et du reste dans la division euclidienne de AparB.
Deuxième exercice - 5 points
SoitE =R3[X]l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à3. 1. Montrer queF etGdéfinis par
F ={P ∈E|P(0) = 0} et G={P ∈E |P0(0) = 0}
sont des sous-espaces vectoriels deE.
2. Déterminer F ∩ G. Les sous-espaces vectoriels F et G sont-ils en somme directe ?
Troisième exercice - 7 points
Soit E = R3, muni de la base canonique. On considère l’endomorphismef (ap- plication linéaire de E dansE) dont la matrice par rapport à la base canonique est :
A=
1 2 −5
2 0 3
3 −1 8
1. Déterminer l’image du vecteuruavec
u=
1 2
−1
2. Calculer le déterminant deAet en déduire queAest inversible.
3. DéterminerA−1.
4. Trouver un vecteurwtel que
f(w) =
1 2
−1
Quatrième exercice - 4 points
SoitE unR-espace vectoriel. Dans tout l’exercice,f etg désignent des endomor- phismes deE.
1. On suppose que
f ◦g = 0
où0désigne l’endomorphisme nul. Montrer que
Img ⊂Kerf
2. Réciproquement, montrer que si on supposeImg ⊂Kerf, alorsf ◦g = 0.
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