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Fonctions de 2 variables Eléments de topologie
1. Définition de la distance entre 2 points
Soit un point A de coordonnées 𝑥!,𝑦! et un point B de coordonnées 𝑥!,𝑦! . La distance de A à B, notée 𝑑 𝐴,𝐵 = 𝑥!−𝑥! !+ 𝑦!−𝑦! !
2. Notion de cercle
Un cercle 𝐶!,! de centre A et de rayon 𝑟>0 est un ensemble de points M du plan, de coordonnées
𝑥,𝑦 , tels que la distance de A à M soit égale à r.
En d’autres termes :
𝐶!,! = 𝑥,𝑦 ∈𝑅!,𝑑 𝐴,𝑀 =𝑟 Or :
𝑑 𝐴,𝑀 = 𝑥−𝑥! !+ 𝑦−𝑦! !=𝑟⇔ 𝑥−𝑥! !+ 𝑦−𝑦! ! =𝑟!
Dans le cas particulier du cercle de centre O, de coordonnées 0,0 et de rayon r, l’équation devient : 𝑥!+𝑦! =𝑟!
Le cercle trigonométrique de centre O et de rayon égal à 1, a alors pour équation : 𝑥!+𝑦! =1 3. Disque ouvert de 𝑹𝟐,
Un disque ouvert D (ou boule) de centre A et de rayon 𝑟>0 est un ensemble de points M, de coordonnées 𝑥,𝑦 , tels que 𝑑 𝐴,𝐵 <𝑟
4. Partie ouverte de 𝑹𝟐 (ou ouvert de 𝑹𝟐)
a. Définition
Une partie ouverte de 𝑅! est un sous-ensemble E de 𝑅! tel que, en chaque point de E, il existe un disque ouvert centré en ce point et contenu dans E
b. Exemples
𝑅! est un ensemble ouvert car un disque ouvert en un point quelconque de 𝑅! est toujours contenu dans 𝑅!
Tout disque ouvert un ensemble ouvert
Soit I et J deux intervalles ouverts de R ; l’ensemble I x J est un ensemble ouvert de 𝑅! 5. Disque fermé de 𝑹𝟐 (ou fermé de 𝑹𝟐)
Un cercle fermé D de centre A et de rayon 𝑟>0, noté 𝐷 𝑂,𝑟 , est un ensemble de points M, de coordonnées 𝑥,𝑦 , tels que 𝑑 𝐴,𝐵 ≤𝑟
2 6. Partie fermée de 𝑹𝟐
a. Définition
Une partie E de 𝑅! est fermée si son complémentaire est ouvert b. Exemples
Tout disque fermé un ensemble fermé car, en tout point de son complémentaire, il existe au moins un disque ouvert centré en ce point et ne rencontrant pas la boule fermée Soit I et J deux intervalles ouverts de R ; l’ensemble I x J est un ensemble fermé de 𝑅! 7. Partie bornée de 𝑹𝟐
a. Définition
Une partie E de 𝑅! est bornée s’il existe un réel 𝑟>0 tel que 𝐸 ⊂𝐷(𝑂,𝑟) où 𝐷(𝑂,𝑟) est un disque ouvert ou fermé
b. Exemples
Tout disque ouvert ou fermé est un ensemble borné
Soit I et J deux intervalles bornés de R ; l’ensemble I x J est un ensemble borné de 𝑅! 8. Extrema sur un ouvert
a. Rappel de la condition suffisante d’existence d’un extremum local
Soit f une fonction de classe 𝐶! sur un ouvert Ω de 𝑅!. Et soit (𝑎,𝑏) un point critique de f.
Condition nécessaire pour que f admette un extremum local en (𝑎,𝑏) : les valeurs propres de la hessienne de f en (𝑎,𝑏) sont non nulles et de même signe :
− Si les valeurs propres de ∇!𝑓(𝑎,𝑏) sont strictement positives, alors 𝑓(𝑎,𝑏) est un minimum local
− Si les valeurs propres de ∇!𝑓(𝑎,𝑏) sont strictement négatives, alors 𝑓(𝑎,𝑏) est un maximum local
b. Extremum sur un ouvert de 𝑹𝟐
Soit f une fonction définie sur un ouvert Ω de 𝑅!.
− f présente un maximum local en (𝑎,𝑏) de Ω si 𝑓 𝑎,𝑏 est un maximum.
En d’autres termes :
• ∃𝑟>0,𝐷 𝑎,𝑏 ,𝑟 ⊂Ω
• ∀ 𝑥,𝑦 ∈𝐷 𝑎,𝑏 ,𝑟 ,𝑓(𝑥,𝑦)≤𝑓(𝑎,𝑏)
− f présente un minimum local en (𝑎,𝑏) de Ω si 𝑓 𝑎,𝑏 est un minimum.
En d’autres termes :
• ∃𝑟>0,𝐷 𝑎,𝑏 ,𝑟 ⊂Ω
• ∀ 𝑥,𝑦 ∈𝐷 𝑎,𝑏 ,𝑟 ,𝑓(𝑥,𝑦)≥𝑓(𝑎,𝑏)
3
c. Condition nécessaire d’existence d’un extremum local Soit f une fonction de classe 𝐶! sur un ouvert Ω de 𝑅!
Condition nécessaire pour que f admette un extremum local en (𝑎,𝑏) de Ω : (𝑎,𝑏) est un point critique de f.
9. Extrema sur un fermé borné
a. Propriété
Toute fonction f continue sur une partie fermée et bornée de 𝑅! admet un maximum, un minimum et atteint toute valeur comprise entre ces bornes
b. Exemple On admet que :
− l’ensemble 𝓤 = 𝒙,𝒚 ,𝒙≥𝟎,𝒚≥𝟎,𝒙+𝒚≤𝟏 est un fermé de 𝑹𝟐
− l’ensemble 𝛀= 𝒙,𝒚 ,𝒙>𝟎,𝒚>𝟎,𝒙+𝒚<𝟏 est un ouvert de 𝑹𝟐 On considère : 𝒇 𝒙,𝒚 =𝟑𝒙𝟐+𝟐𝒚𝟐−𝟒𝒙−𝟑𝒚+𝟒𝒙𝒚+𝟑
Montrer que f admet un maximum et un minimum sur 𝓤 et préciser leurs valeurs 𝒰 est, par hypothèse, un ensemble fermé. Montrons qu’il est borné
∀ 𝑥,𝑦 ∈𝒰,0≤𝑥≤1,0≤𝑦≤1,𝑥!+𝑦! ≤ 𝑥+𝑦≤1⇒𝒰⊂𝐷 𝑂,1
𝑓 est donc continue sur le fermé borné 𝒰. Ainsi, f admet un maximum et un minimum.
Par ailleurs : 𝒰= Ω∪ℱ!∪ℱ!∪ℱ! avec : Ω= 𝑥,𝑦 ,𝑥>0,𝑦>0,𝑥+𝑦<1 ℱ! = 𝑥,𝑦 ,0≤𝑥≤1,𝑦=0 ℱ!= 𝑥,𝑦 ,0≤𝑦≤1,𝑥=0
ℱ!= 𝑥,𝑦 ,0≤𝑥≤1,𝑥+𝑦=1 est
Soit 𝑎,𝑏 ∈𝒰 tel que 𝑓(𝑎,𝑏) soit un extremum de f. Dans ce cas :
− soit 𝑎,𝑏 ∈Ω
− soit 𝑎,𝑏 ∈ℱ!∪ℱ!∪ℱ!
En d’autres termes, un extremum de f est atteint
− soit en un point critique de f appartenant à Ω, car Ω est un ouvert
− soit en un point de la frontière ℱ!∪ℱ!∪ℱ!
Recherche des points sur la frontière 𝓕𝟏∪𝓕𝟐∪𝓕𝟑 de 𝓤
− Sur ℱ!,la fonction s’écrit : 𝑔 𝑥 =𝑓 𝑥,0 =3𝑥!−4𝑥+3
0≤𝑥≤1
4 𝑔! 𝑥 =6𝑥−4>0⇔𝑥>2
3
x 0 2/3 1
g'(x) - 0 +
g(x)
3
5/3
2
Le maximum de f sur ℱ!est 𝑓 0,0 =3 Le maximum de f sur ℱ!est 𝑓 !!,0 =!!
− Sur ℱ!,la fonction s’écrit : ℎ 𝑥 =𝑓 0,𝑦 =2𝑦!−3𝑦+3
0≤𝑦≤1
ℎ! 𝑥 =4𝑦−3>0⇔𝑦 >3 4
x 0 3/4 1
h'(x) - 0 +
h(x)
3
15/8
2
Le maximum de f sur ℱ! est 𝑓 0,0 =3 Le maximum de f sur ℱ! est 𝑓 0,!! =!"!
− Sur ℱ!,la fonction s’écrit :
𝑘 𝑥 =𝑓 𝑥,1−𝑥 =3𝑥!+2𝑦!−4𝑥−3𝑦+4𝑥𝑦+3 0≤𝑥≤1
𝑘 𝑥 =𝑓 𝑥,1−𝑥 =3𝑥!+2(1−𝑥)!−4𝑥−3(1−𝑥)+4𝑥(1−𝑥)+3 0≤𝑥≤1
𝑘 𝑥 =𝑓 𝑥,1−𝑥 =3𝑥!+2−4𝑥+2𝑥!−4𝑥−3+3𝑥+4𝑥−4𝑥!+3 0≤𝑥≤1
𝑘 𝑥 =𝑓 𝑥,1−𝑥 =𝑥!−𝑥+2 0≤𝑥≤1
𝑘! 𝑥 =2𝑥−1>0⇔𝑥>1 2
x 0 1/2 1
k'(x) - 0 +
k(x)
2
7/4
2
5 Le maximum de f sur ℱ!est 𝑓 0,1 =2 Le maximum de f sur ℱ!est 𝑓 !!,!! =!!
Finalement, en notant sup le plus petit des majorants et inf le plus grand des minorants :
ℱ!∪ℱsup!∪ℱ!
𝑓 =max 3,3,2 =3=𝑓 0,0
ℱ!∪ℱinf!∪ℱ!(𝑓)=min 5 3,15
8 ,7 4 =5
3=𝑓(2 3,0) Recherche des points critiques sur 𝛀
∀ 𝑥,𝑦 ∈Ω,∇ 𝑥,𝑦 = 6𝑥+4𝑦−4 4𝑥+4𝑦−3
∇ 𝑥,𝑦 =0⇔ 3𝑥+2𝑦=2 4𝑥+4𝑦=3 Par substitution :
𝑥=2−2𝑦
3 ⇒42−2𝑦
3 +4𝑦=3⇒8−8𝑦+12𝑦=9⇒𝑦 =1
4⇒𝑥=2−21 4 3 =1
2 Ainsi, si f admet un extremum à l’intérieur de 𝒰, cet extremum est nécessairement en
!
!,!
! et 𝑓 !
!,!
! =!"
!
Or :
!"
! <3 qui est le plus petit des majorants. Donc 𝑓 !
!,!
! n’est pas un maximum. Le maximum n’est donc pas à à l’intérieur de 𝒰 mais sur la frontière. Dès lors le maximum global est atteint en 0,0 et vaut 3.
!"
! >!! qui est le plus petit des majorants. Donc 𝑓 !!,!! =!"! est le minimum global.
