TS – ch 10
Fiche d'exercices 10.2 Exercice 1
Dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur ]0;+∞[.
1) f (x)=x−lnx ; 2) f (x)=3x−2−2xlnx ; 3) f (x)=lnx
x ; 4) f (x)=1
4 x2(2 ln x−1)
Exercice 2
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition D, ses limites aux bornes de D puis dresser son tableau de variations.
1) f (x)=ln(−2x+1) ; 2) f x=lnx24 ; 3) f (x)=ln
(
x+x+12)
; 4) f (x)=ln(ex−x) sur ℝ.Exercice 3
La courbe C donnée ci-contre est la courbe
représentative d'une fonction f définie sur ]-1;+∞[ par f (x)=ax2+bx+c+2 ln(x+1) où a , b et c sont des nombres réels.
Soit A(0;2) et T la tangente à A en C. On sait de plus que T passe par B(2;0).
1) On donne f '(3)=1
2 . En utilisant ce résultat et des renseignements fournis par l'énoncé,
déterminer chacune des valeurs a, b et c. 2) Etudier les variations de f .
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Fiche d'exercices 10.2 Exercice 1
Dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur ]0;+∞[.
2) f (x)=x−lnx ; 2) f (x)=3x−2−2xlnx ; 3) f (x)=lnx
x ; 4) f (x)=1
4 x2(2 ln x−1)
Exercice 2
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition D, ses limites aux bornes de D puis dresser son tableau de variations.
1) f (x)=ln(−2x+1) ; 2) f (x)=ln(x2+4) ; 3) f (x)=ln
(
x+x+12)
; 4) f (x)=ln(ex−x) sur ℝ.Exercice 3
La courbe C donnée ci-contre est la courbe
représentative d'une fonction f définie sur ]-1;+∞[ par f (x)=ax2+bx+c+2 ln(x+1) où a , b et c sont des nombres réels.
Soit A(0;2) et T la tangente à A en C. On sait de plus que T passe par B(2;0).
1) On donne f '3=1
2 . En utilisant ce résultat et des renseignements fournis par l'énoncé,
déterminer chacune des valeurs a, b et c. 2) Etudier les variations de f .
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Correction - Fiche d'exercices 10.2 Exercice 1
3) f (x)=lnx x
* f est définie sur ]0;+∞[.
* lim
x→+∞
lnx
x =0 ( d’après le cours) lim
x0
lnx=−∞ et lim
x0
x=0 donc par limite de quotient lim
x0
lnx
x =−∞.
* f est dérivable sur ]0;+∞[. pour x ∈ ]0;+∞[ : f 'x=
1
x×x –1×lnx
x2 =1– lnx x2
. x20 donc f 'x est du signe de 1– lnx.
1– lnx0 ⇔ 1lnx ⇔ ex
x 0 e +∞
f '(x) + 0 –
f –∞
e–1
0
4) f (x)=1
4 x2(2 ln x−1)
* f est définie sur ]0;+∞[.
* Limite en 0+ : FI « 0 × ∞ » Pour x ∈ ]0;+∞[ :f x=1
2x2lnx – 1 4x2. On admet que lim
x0
xnlnx=0 pour n entier.
D'où lim
x0
1
2 x2lnx=0 et lim
x0
1
4 x2=0 donc par limite de somme lim
x0
fx=0 .
Limite en + ∞ :
x ∞lim 1
4 x2=∞ et limx ∞2 lnx−1=∞ donc par limite de produit limx ∞ fx=∞
* f est dérivable sur ]0;+∞[. pour x ∈ ]0;+∞[ : f 'x=1
4
2x×2lnx –1x2×2x
f 'x=1
44xlnx –2x2x=xlnx.
x ∈ ]0;+∞[ donc x0 donc f 'x est du signe de lnx.
x 0 1 +∞
f '(x) – 0 +
f(x) 0
–0,25
+∞
Exercice 2
1) f (x)=ln(−2x+1)
* f est définie si –2x10 cad si x1
2 . D=
]
–∞;12[
.* Posons X=–2x1 .
Limite en –∞ : limx−∞ X=∞ et limX∞lnX=∞ dc par limite de fct composée limx−∞ fx=∞. Limite en 1
2 : lim
x1 2
− X=0
et lim
X0
lnX=−∞ dc par limite de fct composée lim
x1 2
−
f x=−∞
.
* f est dérivable sur D et pour x ∈ D : f 'x= –2 –2x1 . -2<0 et –2x10 pour x ∈ D donc f 'x0 .
x –∞ 1/2
f '(x) – f(x) +∞
–∞
2) f x=lnx24
* f est définie si x240 . Or pr tt réel x, x20 donc x2440 donc f est définie sur ℝ.
* Posons X=x24 .
Limite en –∞ : limx−∞ X=∞ et limX∞lnX=∞ dc par limite de fct composée limx−∞ fx=∞. Limite en + ∞ : limx ∞X=∞ et limX∞lnX=∞ dc par limite de fct composée limx∞ f x=∞.
* f est dérivable sur ℝ et pour x ∈ ℝ : f 'x= 2x x24 . Pour tout réel x, x240 donc f 'x est du signe de 2x.
x –∞ 0 +∞
f '(x) – 0 +
f +∞
ln 4
+∞
3) f x=ln
x1x2
* f est définie si x1
x20 et x2≠0.
tableau de signes du quotient → D=]–∞;–2[ ∪]–1 ;∞[.
* Posons X=x1 x2 .
Limite en –∞ : limx −∞ X= lim
x −∞
x
x =1 et limX1lnX=0 dc par limite de fct composée limx −∞ fx=0 . Limite en + ∞ : de même limx ∞ fx=0 .
Limite en -2- : lim
x −2−
x1=−1 et lim
x −2−
x2=0− donc par limite de quotient lim
x −2−
x1
x2=∞ cad lim
x −2−
X=∞ comme limX∞lnX=∞ dc par limite de fct composée lim
x−2−
fx=∞. Limite en - 1 + : lim
x−1
x1=0 et limx −1
x2=1 donc par limite de quotient lim
x −1
x1
x2=0 cad lim
x −1
X=0 comme lim
X0
lnX=−∞ dc par limite de fct composée lim
x −1
f x=−∞.
* f est dérivable sur D et pour x D, posons ∈ ux=x1 x2.
Pour tout réel x, u 'x=1×x2–1×x1
x22 = 1
x22 . f 'x=u 'x
ux = x2
x22x1= 1
x2x1 .
x –∞ –2 –1 +∞
1 + ⋮ + ⋮ +
x+2 – 0 + ⋮ +
x+1 – ⋮ – 0 +
f '(x) + 0 – 0 +
x –∞ –2 –1 +∞
f '(x) + +
f (x) 0
+∞
–∞
0
4) f (x)=ln(ex−x)
* On admet que f est définie sur ℝ.
* Posons X=ex−x.
Limite en –∞ : limx −∞ex=0 puis par limite de somme limx−∞ X=∞ , de plus limX∞lnX=∞ dc par limite de fct composée limx−∞ f x=∞.
Limite en + ∞ :
Comme X est écrit on a une FI « +∞–∞ ».
Pour tout réel x, ex– x=ex1– 1 ex x
. ….. d'où limx ∞ex−x=∞
limx∞ X=∞ et limX∞lnX=∞ dc par limite de fct composée limx ∞ fx=∞.
* f est dérivable sur ℝ et pour x ∈ ℝ, f 'x=ex–1 ex– x ex– x0 sur ℝ (admis) et ex–10 ⇔x0
x –∞ 0 +∞
f '(x) – 0 + f(x) +∞
0
+∞
Exercice 3
1) f est dérivable sur I=]-1;+∞[ et pour x ∈ I f 'x=2axb2× 1 x1 . A ∈ C donc f 0=2.
T est la tangente en A à C donc le coefficient directeur de T est f '0. De plus, A et B appartiennent à T donc f '0=yA– yB
xA– xB
=2–0 0–2=–1 .
Les réels a, b et c sont donc solution du système :
{
f 'f 'f0=0=23=–121 ;{
6cabb2 ln21=–1=224=112 ;{
6ab==c=12–1–2–1223 ;{
b=–a=c=2363 ;Ainsi f x=1
2x2–3x22 lnx1. 2) * Posons X=x1 .
Limite en –1 : lim
x−1
X=0 et lim
X0
lnX=−∞ dc par limite de fct composée lim
x−1
f x=−∞. Limite en + ∞ : limx ∞X=∞ et limX∞lnX=∞ dc par limite de fct composée limx∞ f x=∞.
* Pour x ∈ I f 'x=2×1
2x –3 2
x1=x –3x12
x1 =x2x –3x –32
x1 =x2–2x –1
x1 .
x ∈ I donc x10 donc f 'x est du signe de x2–2x –1 . x2–2x –1 : = 8 ; 2 racines x1=–2
82 et x2=–2–
82 .
x –1 x2 x1 +∞
f '(x) + 0 – 0 +
f(x)
–∞
f x2
f x1 +∞