• Aucun résultat trouvé

1) f (x)=ln( 2 x+1) ; 2) f (x)=ln(x 2 +4) ; 3) f (x)=ln ( x+2) ; 4) f (x)=ln(e x x) sur R.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "1) f (x)=ln( 2 x+1) ; 2) f (x)=ln(x 2 +4) ; 3) f (x)=ln ( x+2) ; 4) f (x)=ln(e x x) sur R."

Copied!
5
0
0

Texte intégral

(1)

TS – ch 10

Fiche d'exercices 10.2 Exercice 1

Dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur ]0;+∞[.

1) f (x)=x−lnx ; 2) f (x)=3x−2−2xlnx ; 3) f (x)=lnx

x ; 4) f (x)=1

4 x2(2 ln x−1)

Exercice 2

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition D, ses limites aux bornes de D puis dresser son tableau de variations.

1) f (x)=ln(−2x+1) ; 2) fx=lnx24 ; 3) f (x)=ln

(

x+x+12

)

; 4) f (x)=ln(exx) sur ℝ.

Exercice 3

La courbe C donnée ci-contre est la courbe

représentative d'une fonction f définie sur ]-1;+∞[ par f (x)=ax2+bx+c+2 ln(x+1) où a , b et c sont des nombres réels.

Soit A(0;2) et T la tangente à A en C. On sait de plus que T passe par B(2;0).

1) On donne f '(3)=1

2 . En utilisant ce résultat et des renseignements fournis par l'énoncé,

déterminer chacune des valeurs a, b et c. 2) Etudier les variations de f .

TS – ch 10

Fiche d'exercices 10.2 Exercice 1

Dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur ]0;+∞[.

2) f (x)=x−lnx ; 2) f (x)=3x−2−2xlnx ; 3) f (x)=lnx

x ; 4) f (x)=1

4 x2(2 ln x−1)

Exercice 2

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition D, ses limites aux bornes de D puis dresser son tableau de variations.

1) f (x)=ln(−2x+1) ; 2) f (x)=ln(x2+4) ; 3) f (x)=ln

(

x+x+12

)

; 4) f (x)=ln(exx) sur .

Exercice 3

La courbe C donnée ci-contre est la courbe

représentative d'une fonction f définie sur ]-1;+∞[ par f (x)=ax2+bx+c+2 ln(x+1) où a , b et c sont des nombres réels.

Soit A(0;2) et T la tangente à A en C. On sait de plus que T passe par B(2;0).

1) On donne f '3=1

2 . En utilisant ce résultat et des renseignements fournis par l'énoncé,

déterminer chacune des valeurs a, b et c. 2) Etudier les variations de f .

(2)

TS – ch 10

Correction - Fiche d'exercices 10.2 Exercice 1

3) f (x)=lnx x

* f est définie sur ]0;+∞[.

* lim

x→+∞

lnx

x =0 ( d’après le cours) lim

x0

lnx=−∞ et lim

x0

x=0 donc par limite de quotient lim

x0

lnx

x =−∞.

* f est dérivable sur ]0;+∞[. pour x ∈ ]0;+∞[ : f 'x=

1

x×x –1×lnx

x2 =1– lnx x2

. x20 donc f 'x est du signe de 1– lnx.

1– lnx0 ⇔ 1lnx ⇔ ex

x 0 e +∞

f '(x) + 0 –

f –∞

e1

0

4) f (x)=1

4 x2(2 ln x−1)

* f est définie sur ]0;+∞[.

* Limite en 0+ : FI « 0 × ∞ » Pour x ∈ ]0;+∞[ :fx=1

2x2lnx – 1 4x2. On admet que lim

x0

xnlnx=0 pour n entier.

D'où lim

x0

1

2 x2lnx=0 et lim

x0

1

4 x2=0 donc par limite de somme lim

x0

fx=0 .

Limite en + ∞ :

x ∞lim 1

4 x2=∞ et limx ∞2 lnx−1=∞ donc par limite de produit limx ∞ fx=∞

* f est dérivable sur ]0;+∞[. pour x ∈ ]0;+∞[ : f 'x=1

4

2x×2lnx –1x2×2x

f 'x=1

44xlnx –2x2x=xlnx.

x ∈ ]0;+∞[ donc x0 donc f 'x est du signe de lnx.

x 0 1 +∞

f '(x) – 0 +

f(x) 0

–0,25

+∞

(3)

Exercice 2

1) f (x)=ln(−2x+1)

* f est définie si 2x10 cad si x1

2 . D=

]

∞;12

[

.

* Posons X=2x1 .

Limite en –∞ : limx−∞ X=∞ et limX∞lnX=∞ dc par limite de fct composée limx−∞ fx=∞. Limite en 1

2 : lim

x1 2

X=0

et lim

X0

lnX=−∞ dc par limite de fct composée lim

x1 2

f x=−∞

.

* f est dérivable sur D et pour x ∈ D : f 'x= 2 2x1 . -2<0 et 2x10 pour x ∈ D donc f 'x0 .

x –∞ 1/2

f '(x)f(x) +∞

–∞

2) f x=lnx24

* f est définie si x240 . Or pr tt réel x, x20 donc x2440 donc f est définie sur ℝ.

* Posons X=x24 .

Limite en –∞ : limx−∞ X=∞ et limX∞lnX=∞ dc par limite de fct composée limx−∞ fx=∞. Limite en + ∞ : limx ∞X=∞ et limX∞lnX=∞ dc par limite de fct composée limx∞ f x=∞.

* f est dérivable sur ℝ et pour x ∈ ℝ : f 'x= 2x x24 . Pour tout réel x, x240 donc f 'x est du signe de 2x.

x –∞ 0 +∞

f '(x) – 0 +

f +∞

ln 4

+∞

3) f x=ln

x1x2

* f est définie si x1

x20 et x2≠0.

tableau de signes du quotient → D=]–∞;2[ ∪]1 ;∞[.

* Posons X=x1 x2 .

Limite en –∞ : limx −∞ X= lim

x −∞

x

x =1 et limX1lnX=0 dc par limite de fct composée limx −∞ fx=0 . Limite en + ∞ : de même limx ∞ fx=0 .

Limite en -2- : lim

x −2

x1=−1 et lim

x −2

x2=0 donc par limite de quotient lim

x −2

x1

x2=∞ cad lim

x −2

X=∞ comme limX∞lnX=∞ dc par limite de fct composée lim

x−2

fx=∞. Limite en - 1 + : lim

x−1

x1=0 et limx −1

x2=1 donc par limite de quotient lim

x −1

x1

x2=0 cad lim

x −1

X=0 comme lim

X0

lnX=−∞ dc par limite de fct composée lim

x −1

fx=−∞.

* f est dérivable sur D et pour x D, posons ∈ ux=x1 x2.

(4)

Pour tout réel x, u 'x=1×x2–1×x1

x22 = 1

x22 . f 'x=u 'x

ux = x2

x22x1= 1

x2x1 .

x –∞ –2 –1 +∞

1 + ⋮ + ⋮ +

x+2 – 0 + ⋮ +

x+1 – ⋮ – 0 +

f '(x) + 0 – 0 +

x –∞ –2 –1 +∞

f '(x) + +

f (x) 0

+∞

–∞

0

4) f (x)=ln(exx)

* On admet que f est définie sur ℝ.

* Posons X=exx.

Limite en –∞ : limx −∞ex=0 puis par limite de somme limx−∞ X=∞ , de plus limX∞lnX=∞ dc par limite de fct composée limx−∞ f x=∞.

Limite en + ∞ :

Comme X est écrit on a une FI « +∞–∞ ».

Pour tout réel x, ex– x=ex1 1 ex x

. ….. d'où limx ∞exx=∞

limx∞ X=∞ et limX∞lnX=∞ dc par limite de fct composée limx ∞ fx=∞.

* f est dérivable sur ℝ et pour x ∈ ℝ, f 'x=ex1 ex– x ex– x0 sur ℝ (admis) et ex10 ⇔x0

x –∞ 0 +∞

f '(x) – 0 + f(x) +∞

0

+∞

Exercice 3

1) f est dérivable sur I=]-1;+∞[ et pour x ∈ I f 'x=2axb2× 1 x1 . A ∈ C donc f 0=2.

T est la tangente en A à C donc le coefficient directeur de T est f '0. De plus, A et B appartiennent à T donc f '0=yA– yB

xA– xB

=20 02=–1 .

Les réels a, b et c sont donc solution du système :

(5)

{

f 'f 'f0=0=23=121 ;

{

6cabb2 ln21=–1=224=112 ;

{

6ab==c=12121223 ;

{

b=–a=c=2363 ;

Ainsi fx=1

2x23x22 lnx1. 2) * Posons X=x1 .

Limite en 1 : lim

x−1

X=0 et lim

X0

lnX=−∞ dc par limite de fct composée lim

x−1

fx=−∞. Limite en + ∞ : limx ∞X=∞ et limX∞lnX=∞ dc par limite de fct composée limx∞ f x=∞.

* Pour x ∈ I f 'x=2×1

2x –3 2

x1=x –3x12

x1 =x2x –3x –32

x1 =x22x –1

x1 .

x ∈ I donc x10 donc f 'x est du signe de x22x –1 . x22x –1 :  = 8 ; 2 racines x1=2

8

2 et x2=2

8

2 .

x –1 x2 x1 +∞

f '(x) + 0 – 0 +

f(x)

–∞

fx2

f x1 +∞

Références

Documents relatifs

On it` ere ind´ efiniment ce processus de construction et on note P n le polygone obtenu apr` es la n−i` eme application du proc´ ed´ e de construction... Une banque propose

En déduire la position la position relative des courbes de ln et de √3. x pour x

On obtiendra donc l'équivalence demandée par un simple théorème d'encadrement à condition de démontrer d'abord que la somme des k 1 est négligeable

On obtiendra donc l'équivalence demandée par un simple théorème d'encadrement à condition de démontrer d'abord que la somme des k 1 est négligeable

Définition : Le cercle trigonométrique est un cercle de centre O et de rayon 1 sur lequel on a choisi un sens de parcours, le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé

Retrouver alors l'expression de la dérivée de la fonction Arctan.. Montrer que f est une bijection et déterminer sa

[r]

[r]