3. G´ eom´ etrie synth´ etique
R´epondez uniquement `a l’int´erieur des cadres. Esquissez, au brouillon, un croquis de l’ensemble de l’exercice avant d’entamer les calculs.
Des mesures sur un dessin ne constituent pas une d´emonstration.
Soit un triangle rectangleABC (avecABC[ = 90◦ etBC = 2AB) et un point Dquelconque sur le segmentBC. On trace un cercleC passant parA,BetD, et on nommeE l’intersection deC avec l’hypot´enuse AC.
3.a
. Illustrez l’´enonc´e par un dessin(Faites un brouillon au dos d’une autre page avant de remplir ce cadre.)
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3.b
. Que vaut l’angle \AED? Justifiez g´eom´etriquement votre raisonnement.\AED=
Indiquez votre raisonnement ci-dessous. Reportez ensuite la solution dans le cadre en haut.
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3.c
. On d´efinit maintenant le rapportλ =S0/S de la surfaceS0 du quadrilat`ere ABDE et de la surface S du triangleDEC. On d´enote ´egalement par hla longueur DE.Que vautAB en fonction deh et λ?
AB=
Indiquez votre raisonnement ci-dessous. Reportez ensuite la solution dans le cadre en haut.
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3. G´ eom´ etrie synth´ etique 3.a
. On consid`ere le dessin suivant :Les formes C1 et C2 sont des demi-cercles (de centres c1 et c2) et dont les diam`etres sont respectivement superpos´es aux cˆot´esABetDC du rectangleABCD. Par ailleurs:
ces deux demi-cercles sont tangents entre eux au point T; C1 est tangent `a BC en B;
et C2 est tangent `a BC en C. La droite passant par A et T est tangente aux deux demi-cercles et intersecte BC enE.
Que vaut le rapport de longueurT E/BE? En outre, si la surface du rectangle ABCD vaut 1, que vaut l’aire du triangle AEC (en vert) ?
(indice: pensez `a exploiter les tangences)
T E
BE = AireAEC =
Ecrivez ici votre raisonnement; reportez les solutions dans les deux cadres ci-dessus.
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(Suite du raisonnement de la question 3.a)
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3.b
. On consid`ere le trap`eze ABCD de hauteur H (avec AB parall`ele `a CD) repr´esent´e ci-dessous :On trace une droite P Q parall`ele `a AB et passant par l’intersection E des diagonales du trap`eze. Ces deux droites sont s´epar´ees par une distance h.
Les segmentsAB,CD, P E etEQ ont respectivement une longueur x, y, u etv.
Que vautu/v ? Et que vaut la longueur P Q (c.-`a-d. u+v)uniquement en fonction dex et y ?
u
v = P Q=
Ecrivez ici votre raisonnement; reportez les solutions dans les deux cadres ci-dessus.
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(Suite du raisonnement de la question 3.b)
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