DIMENSION D'UN ESPACE VECTORIEL ADMETTANT UNE PARTIE GENERATRICE FINIE - RANG D'UNE APPLICATION

(1)

DIMENSION D'UN ESPACE VECTORIEL ADMETTANT UNE PARTIE GENERATRICE FINIE - RANG D'UNE APPLICATION

LINEAIRE

1) Dimension d'un espace vectoriel admettant une partie génératrice finie

définition (famille génératrice, famille libre, famille liée, base)

On dit qu'une famille (x_i)_i_∈_I d'éléments de E est une famille génératrice de E si :

∑

∈

∈ ∈ = α

α

∃

∈

∀

I i

i i I

I i

i K x x

E

x , ( ) , (c'est-à-dire E=vect((x_i)_i_∈_I).

On dit qu'une famille (x_i)_i_∈_I d'éléments de E est une famille libre de E si :

(

, 0

)

0 ,

)

( ⎟⇒ ∀ ∈ α =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ α =

∈ α

∀

∑

∈

∈ i

I i

i i I

I i

i K x i I où les α_i sont des éléments de K.

Une famille qui n'est pas libre est appelée famille liée.

On dit qu'une famille (x_i)_i_∈_I d'éléments de E est une base de E si (x_i)_i_∈_I est à la fois une famille libre et génératrice de E.

propriétés immédiates

1) Toute sur-famille d'une famille génératrice est génératrice.

2) Toute sous-famille d'une famille libre est libre.

3) Toute sur-famille d'une famille liée est liée.

théorème

Soit E un K-espace vectoriel non nul de dimension finie. Si F est un sous espace de E admettant une famille génératrice de cardinal n∈N^*, alors toute famille de F de cardinal n + 1 est liée.

démonstration

Par récurrence sur n. Notons P(n) le théorème.

• n=1 :

On suppose que

{ }

e est une famille génératrice de F. Soient g₁,g₂ deux éléments de F. Il existe alors deux éléments de K, α₁,α₂ tels que g₁=α₁e et g₂ =α₂e.

Si g₁=0, alors

{

g1,g2

}

est liée.

Si g₁≠0, alors α₁ ≠0 donc ₁

1

1 g

e= α et donc ₁

1 2

2 g

g α

=α . Donc

{

g1,g2

}

est liée.

• Soit n∈N^*. Supposons P(n) vraie.

Supposons maintenant que F est un sous espace vectoriel admettant une famille génératrice de cardinal n+1 : (e_i)₁_≤_i_≤_n₊₁. Soit (g_i)₁_≤_i_≤_n₊₂ une famille de F de cardinal n+2.

, 1

2 1

, ≤ ≤ + = +α ₊

∀i i n g_i x_i _ie_n , où xi∈vect

(

(gi)₁_≤i_≤n

)

.

Soit G=vect

(

(gi)₁_≤i_≤n

)

. G est non nul de dimension finie n, admettant une famille génératrice de cardinal n.

Si tous les α_i sont nuls, alors

{

g1,...,g_n₊1

}

est liée donc (g_i)₁_≤_i_≤_n₊₂ est liée (sur-famille d'une famille liée).

(2)

S'il existe un α_i non nul, par exemple α₁, alors 1 ( )

1 1 1

1 g x

e_n −

=α

+ .

Donc ,2 2, ( ₁ ₁)

1

x g x

g n i

i _i _i ⁱ −

α +α

= +

≤

∀

₁

1 1

1

x x

g

g_i ⁱ _i ⁱ

α

−α α =

−α

Donc

2 2 1 1 ⎟⎟ ≤≤ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ α

−α

n i i

i g

g est une famille d'éléments de G de cardinal n+1. D'après l'hypothèse de récurrence, cette famille est liée. Il existe donc une famille (λ_i)₁_≤_i_≤_n₊₂ d'éléments de K non tous nuls

tels que 0

2

1 1

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ α

−α

∑

⁺ λ

= n

i

i i

i g g . (g_i)₁_≤_i_≤_n₊₂ est donc liée. Donc P(n+1) est vraie.

• Donc P(n) est vraie pour tout entier naturel n non nul.

Corollaire

Si E est un K-espace vectoriel admettant une famille génératrice finie de cardinal n, alors : 1) Toute famille d'au moins n + 1 vecteurs est liée.

2) Toute famille libre est finie de cardinal au plus n.

démonstration

1) Soit G une famille d'au moins n + 1 vecteurs. On peut extraire de G une famille G' de n + 1 vecteurs. G' est liée d'après le théorème donc G est liée (G est une sur-famille d'une famille liée).

2) Soit G une famille libre. Si G est fini de cardinal au moins n ou si G est infinie, alors G est liée d'après 1). Contradiction. Donc G est finie, de cardinal au plus n.

définition (espace vectoriel de dimension finie)

On dit que E est un espace vectoriel de dimension finie s'il existe une famille génératrice finie de E.

Si E est un espace vectoriel de dimension finie admettant des bases, alors celles-ci sont finies.

théorème de la base incomplète

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, (e_i)_i_∈_I une famille génératrice quelconque de E et I

J ⊂ tel que (e_i)_i_∈_J soit une famille libre. Alors il existe un ensemble L, J ⊂L⊂I tel que (e_i)_i_∈_L soit une base de E.

démonstration

Soit B=

{

H/J ⊂H ⊂I,(e_i)_i_∈_Hestlibre

}

. O

B≠ / car J∈B.

E est de dimension finie donc il existe une famille génératrice finie de E ; notons la (g_i)_i_∈_M. )

( )

(

,card H card M B

H∈ ≤

∀ (voir corollaire précédent).

(3)

L'ensemble des cardinaux des éléments de B est une partie non vide (il existe au moins un vecteur ej non nul donc

{ }

ej est libre donc 1 appartient à cet ensemble) et majorée par card(M) donc admet un plus grand élément p.

Soit L∈B tel que card(L)= p. (e_i)_i_∈_L est libre car L∈B. Il reste à montrer que (e_i)_i_∈_L est génératrice.

Soit )F =vect((e_i)_i_∈_L . Supposons F ≠E. Il existe alors e_j∈(e_i)_i_∈_I tel que e_j∉F (sinon F=E).

Alors (e_i)_i_∈_L_∪_{{ }}_j est liée (par définition de L). Donc : Soient (α_i)_i_∈_L∈K^L,α_j∈K tels que

∑

α +α =0

∈ j j

L i

i

ie e .

=0

α_j sinon e e F

L i

i i j

j α ∈

−α

=

∑

∈

1 !

Donc 0

∑

α =

∈L i

i

ie donc ∀i∈L,α_i =0 car (e_i)_i_∈_L est libre.

Donc (e_i)_i_∈_L_∪_{{ }}_j est libre , ce qui contredit le fait qu'elle soit liée.

Donc F = E.

corollaire 1

Tout espace vectoriel de dimension finie a une base finie.

démonstration

Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie, il admet une famille génératrice finie (e_i)_i_∈_I.

{ }

⁰

≠

E donc , 0

0∈ 0 ≠

∃i I e_i .

{ }

ei₀ est donc libre. D'après le théorème de la base incomplète :

{ }

i L I

L ⊂ ⊂

∃ , ₀ tel que (e_i)_i_∈_L soit une base de E.

corollaire 2

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, l une famille libre et g une famille génératrice.

Alors on peut "compléter" l en une base de E, en n'utilisant que des éléments de g.

démonstration

E admet une famille génératrice finie (x_i)₁_≤_i_≤_n. Notons g=(g_i)_i_∈_I. 0

, 0

0∈ ≠

∃i I g_i (sinonE=

{ }

0 ). D'après le théorème de la base incomplète :

{ }

i L I g_i _i _I

L ⊂ ⊂ _∈

∃ , ₀ ,( ) base de E. (g_i)_i_∈_I étant libre, on a card(L)≤n. Il existe donc une sous famille de g qui est génératrice finie, que l'on notera (g_i)₁_≤_i_≤_p, avec p≤n.

Notons l=(e_i)₁_≤_i_≤_r, avec r≤n. Soit (e'_i)₁_≤_i_≤_p₊_r définie par :

⎩⎨

⎧

=

≤

=

≤

+i i r

i i

g e p i si

e e r i si

' , 1

' ,

1 .

On applique le théorème de la base incomplète avec L=

{

1,...,r

}

et I=

{

1,...,p+r

}

.

théorème de la dimension

Dans un K-espace vectoriel non nul de dimension finie, toutes les bases ont le même nombre d'éléments. Ce nombre est appelé dimension de E.

(4)

démonstration

Soient B et B' deux bases de E.

B' est génératrice et B est libre donc card(B)≤card(B'). B est génératrice et B' est libre donc card(B')≤card(B). Donc )card(B)=card(B' .

2) Rang d'une application linéaire

définition (rang d'une famille de vecteurs)

Soit E un K-espace vectoriel. Soit x=(x_i)_i_∈_I une famille d'éléments de E. Si le sous espace vectoriel engendré par x est de dimension finie r, on dit que x est une famille de rang r et on note

r x rg( )= .

définition (rang d'une application linéaire)

Soit u une application linéaire de E dans F. Si Im(u) est de dimension finie, dim(Im(u)) est appelé rang de u, note rg(u).

théorème du rang

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies et u une application linéaire de E dans F.

Alors dim(Ker u)+dim(Imu)=dim(E). démonstration

Soit )n=dim(E . )Ker(u est de dimension finie p (p≤n). Notons (e_i)₁_≤_i_≤_p une base de Ker(u). Alors (e_i)₁_≤_i_≤_p est une famille libre de E. D'après le théorème de la base incomplète, il existe

n

p e

e ₊₁,..., éléments de E tel que (e_i)₁_≤_i_≤_n soit une base de E.

montrons que

(

u(e_i)

)

_p₊₁_≤_i_≤_n est une base de Im(u)

• C'est une famille libre :

Soit (α_i)_p₊₁_≤_i_≤_n des éléments de K tels que ( ) 0

1

=

∑

α

+

= n

p i

i

iu e .

Alors ( ) 0

1

=

∑

α

+

= n

p i

i ie u

Donc ( )

1

u Ker e

n

p i

i

i ∈

∑

α

+

=

donc

∑ ∑

= +

≤ =

≤ ∈ α = α

α

∃ ^p

i i i n

p i

i i p p i

i K e e

1 1

1 ,

) (

donc 0

1 1

= α

−

α

∑

= = + n

p i

i i p

i i

ie e

donc tous les α_i sont nuls (car (e_i)₁_≤_i_≤_n est une base de E).

donc

(

u(ei)

)

_p₊₁_≤_i_≤_n est libre.

(5)

• C'est une famille génératrice :

Soit y∈F. Il existe x∈E tel que y=u(x).

∑

=

≤

≤ ∈ = α

α

∃ ⁿ

i i i n

n i

i K x e

1

1 ,

)

( . Alors ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ α

=

∑

= n

i i ie u

y

1

.

Donc

∑

=

α

= ⁿ

i

i iu e y

1

)

( (linéarité de u)

donc

∑ ∑

+

=

α + α

= ⁿ

p i

i i p

i

iu e u e

y

1 1

) ( )

(

donc

∑

+

=

α

= ⁿ

p i

i iu e y

1

)

( car pour 1≤i≤ p,e_i∈Ker(u) donc

(

u(e_i)

)

_p₊₁_≤_i_≤_n est une famille génératrice.

théorème

Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie commune n. Soit u une application linéaire de E dans F. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

(1) u est injective (2) u est surjective (3) u est bijective démonstration

• (1) implique (2) :

Supposons u injective. Alors Ker(u)=

{ }

0 et donc dim(Ker(u))=0. D'après le théorème du rang, ))

( ( ) ( ))

(Im(u dim E dim Ker u

dim = − donc dim(Im(u))=n et donc u est surjective.

• (2) implique (1) :

Supposons u surjective. Alors Im(u)=F donc dim(Im(u))=n. D'après le théorème du rang, ))

(Im(

) ( ))

(

(Ker u dim E dim u

dim = − donc dim(Ker(u))=0 donc Ker(u)=

{ }

0 et donc u est injective.

• (1) implique (2) donc (1) implique (3). Comme (3) implique (1), on en déduit que (1) est équivalent à (3)

• (2) implique (1) donc (2) implique (3). Comme (3) implique (2), on en déduit que (2) est équivalent à (3)

proposition

Soient E, F et G des K espaces vectoriels de dimension finie, u une application linéaire de E dans F, v une application linéaire de F dans G. Alors rg(u)=rg(vDu)−dim(Ker(v)∩Im(u)).

démonstration

Soit f la restriction de v à Im(u).

f est linéaire de Im(u) dans G donc, d'après le théorème du rang, ))

(Im(

)) (Im(

)) (

(Ker f dim f dim u

dim + = .

Or, )dim(Im(f))=rg(vDu car Im(vDu)=v(Im(u)). Donc :

(6)

)) Im(

) ( ( ) (

)) ( ( ) ( ) (

u v

Ker dim u v rg

f Ker dim u v rg u rg

∩

−

=

−

= D

D

car )Ker(f)=Ker(v)∩Im(u .

proposition

E, F et G désignent des K espaces vectoriels, u une application linéaire de E dans F, v une application linéaire de F dans G. Alors :

(i) ))rg(vDu)≤min(rg(u),rg(v .

(ii) Si u est bijective, alors rg(vDu)=rg(v). (iii) Si v est bijective, alors rg(vDu)=rg(u). démonstration

(i)

) Im(

)

Im(vDu ⊂ v donc rg(vDu)≤rg(v).

D'après la proposition précédente, rg(vDu)≤rg(u). Par conséquent, rg(vDu)≤min(rg(u),rg(v)). (ii)

Si u est bijective, Im(u)=F donc Im(vDu)=v(F)=Im(v) donc rg(vDu)=rg(v). (iii)

Si v est bijective, alors Ker(v)=

{ }

0 donc dim(Ker(v)∩Im(u))=0 donc rg(vDu)=rg(u) d'après la proposition précédente.

proposition

Soient E et F deux K-espaces vectoriel de dimension finie. Alors E et F sont de même dimension si et seulement si E et F sont isomorphes.

démonstration

• Supposons E et F isomorphes.

Notons u un isomorphisme entre E et F, et n=dim(E). Soit (e_i)₁_≤_i_≤_n une base de E. Montrons que

n i

ei

u( ))₁_≤_≤

( est une base de F.

Soit (α_i)₁_≤_i_≤_n∈K^I tel que ( ) 0

1

=

∑

α

= n

i

iu e .

Alors 0

1

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∑

α

= n

i i ie

u (linéarité de u).

Donc

∑

=

n α

i i ie

1

0 (car u est injective donc Ker(u)=

{ }

0 ) Donc 0∀i,1≤i≤n,α_i = .

n i

ei

u( ))₁_≤_≤

( est donc une famille libre de F.

Soit y∈F. ∃!x∈E,u(x)= y.

∑

=

≤

≤ = α

α

∃ ⁿ

i i i n

i

i x e

1

1 ,

)

( . Alors

∑

=

α

= ⁿ

i

i iu e y

1

) ( .

(7)

Par conséquent E et F sont de même dimension.

• Supposons E et F de même dimension. Notons n cette dimension.

Soit (e_i)₁_≤_i_≤_n une base de E.

Soit (f_i)₁_≤_i_≤_n une base de F.

Soit u l'application linéaire telle que : ∀i,1≤i≤n,u(e_i)= f_i. u est surjective :

Soit y∈F.

∑

=

≤

≤ ∈ = α

α

∃ ⁿ

i i i n

n i

i K y f

1

1 ,

)

( .

Soit

∑

=

α

= ⁿ

i i ie x

1

. On a u(x)= y donc u est surjective.

u est injective : Soit x∈Ker(u).

∑

=

∈ ∈ = α

α

∃ ⁿ

i i i I

I i

i K x e

1

, )

( .

0 ) (x =

u donc

∑

=

n α

i

i iu e

1

0 )

( et donc

∑

=

n α

i i if

1

0 . Donc 0∀i,1≤i≤n,α_i = et donc x=0.

{ }

0 ) (u =

Ker et donc u est injective.

u est donc bijective et donc E et F sont isomorphes.

proposition

Si E et F sont deux K-espaces vectoriels de dimensions finies, alors E×Fest de dimension finie et )

( ) ( )

(E F dim E dim F

dim × = + .

démonstration

Soit (e_i)₁_≤_i_≤_n une base de E. Soit (f_i)₁_≤_i_≤_p une base de F. Montrons que

(

(ei)₁_≤i_≤n

)

∪

(

(fi)₁_≤i_≤p

)

est une base de E×F :

• C'est une famille libre :

Soient (α_i)₁_≤_i_≤_n∈Kⁿ et (β_i)₁_≤_i_≤_p∈K^p tels que : 0

) , 0 ( )

0 , (

1 1

= β

+

α

∑

= = p

i

i i n

i i

i e f

Alors ); (0;0

1 1

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∑

α

∑

β

=

p

i i i n

i i

ie f .

Donc : 0

1

=

∑

α

= n

i i

ie donc ∀i,1≤i≤n,α_i =0 car (e_i)₁_≤_i_≤_n est une base de E.

∑

=

p β

i i if

1

0 donc ∀i,1≤i≤ p,β_i =0 car (f_i)₁_≤_i_≤_p est une base de F.

(

(ei)₁_≤i_≤n

)

∪

(

(fi)₁_≤i_≤p

)

est donc une famille libre de E×F .

• C'est une famille génératrice :

(8)

Soit (x;y)∈E×F. E

x∈ donc :

∑

=

≤

≤ ∈ = α

α

∃ ⁿ

i i i n

n i

i K x e

1

1 ,

)

( .

F

y∈ donc :

∑

=

≤

≤ ∈ = β

β

∃ ^p

i i i p

p i

i K y f

1

1 ,

)

( .

Alors

∑ ∑

=

β + α

= ^p

i

i i n

i i

i e f

y x

1 1

)

; 0 ( )

0

; ( )

;

( .

(

(ei)₁_≤i_≤n

)

∪

(

(fi)₁_≤i_≤p

)

est donc une famille génératrice de E×F. F

E× est donc de dimension finie et dim(E×F)=dim(E)+dim(F).

théorème

Soient E un K-espace vectoriel, F et G deux sous espaces vectoriels de E de dimension finie. Alors G

F∩ et F+G sont de dimension finie et on a : dim(F∩G)+dim(F+G)=dim(F)+dim(G). démonstration

Considérons l'application suivante : y

x y x

E G F u

+

→

× 6 ) , ( :

u est une application linéaire de F×G dans E et Im(u)=F+G. F et G sont de dimension finie donc Ker(u) est de dimension finie (et donc Im(u) est de dimension finie d'après le théorème du rang).

Déterminons Ker(u) : y x

y x u Ker y

x

−

=

⇔

= +

⇔

∈ ( ) 0

) ,

(

Donc Ker(u)=

{

(x,−x),x∈F

}

. Soit :

) , (

) ( :

x x x

u Ker G

F

−

→

∩ φ

6

φest un isomorphisme donc dim(Ker(u))=dim(F∩G).

Comme on a dim(Im(u))=dim(F+G) et dim(F×G)=dim(F)+dim(G), le théorème est prouvé.