Espaces vectoriels
Denis Vekemans∗
Exercice 1 L’ensembleR2 muni des lois suivantes est-il un espace vectoriel surR? (1) (x, y) + (x′, y′) = (x+x′, y+y′) etλ(x, y) = (λx, λy).
(2) (x, y) + (x′, y′) = (y+y′, x+x′) etλ(x, y) = (λx, λy).
(3) (x, y) + (x′, y′) = (x+x′, y+y′) etλ(x, y) = (λx, y).
(4) (x, y) + (x′, y′) = (0,0)etλ(x, y) = (λx, λy).
(5) (x, y) + (x′, y′) = (x+x′, y+y′) etλ(x, y) = (λx,0).
Exercice 2 SoitKun corps. On définit sur Kn l’opération +par
(x1, x2,· · · , xn) + (y1, y2,· · · , yn) = (x1+y1, x2+y2,· · ·, xn+yn)
et pour tout λ∈Ket tout(x1, x2,· · ·, xn)∈Kn, on pose
λ(x1, x2,· · · , xn) = (λx1, λx2,· · · , λxn).
Montrer queKn, muni de ces opérations, est un espace vectoriel surK.
Exercice 3 Soit E l’ensemble des suites réelles. Montrer que E, muni des opérations naturelles : addi- tion des suites et multiplication d’une suite par un réel, est un espace vectoriel sur R.
Exercice 4 Les sous-ensemblesF suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels deR2? (1) F =Z2.
(2) F ={(x, y)∈R2 ; |x|=|y|}. (3) F ={(x, y)∈R2 ; x+ 2y= 0}.
Exercice 5 (1) On considère le sous-ensembleF ={(x, y, z)∈R3 ; y= 0} deR3. (a) Montrer queF est un sous-espace vectoriel de R3.
(b) Le complémentaire deF dansR3 est-il un sous-espace vectoriel deR3?
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
(2) Soient E un espace vectoriel etF un sous-espace vectoriel de E.
Le complémentaire de F dansE peut-il être un sous-espace vectoriel deE?
Exercice 6 SoitE l’ensemble des fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles, continues sur[0,1].
Montrer que E est un espace vectoriel sur R (pour l’addition des fonctions et la multiplication d’une fonction par un réel).
On considère les sous-ensembles suivants de E; préciser ceux qui sont des sous-espaces vectoriels de E : (1) les fonctions f qui vérifient 2f(0) =f(1);
(2) les fonctions f qui vérifient f(1) =f(0) + 1;
(3) les fonctions f qui vérifient f(x) =f(1−x),∀x∈[0,1]; (4) les fonctions qui sont monotones sur [0,1];
(5) les fonctions f qui vérifient x2f(3)(x)−f(x) = 0,∀x∈[0,1]; (6) les fonctions polynômes de degré 4;
(7) les fonctions polynômes de degré au plus égal à 4ou nulles ;
(8) les fonctions polynômes pde degré au plus égal à3 ou nulles telles quep(1) =p(2) = 0.
(9) les fonctions polynômes pde degré au plus égal à2 ou nulles telles queR1
0 p(t)dt= 0.
(10)les fonctions polynômes pde degré au plus égal à3 ou nulles telles quep′(2) =p′′(2) = 0.
Exercice 7 SoitE l’ensemble des suites réelles.
Montrer queE est un espace vectoriel surR(pour l’addition des suites réelles et la multiplication d’une suite réelle par un réel).
On considère les sous-ensembles suivants de E; préciser ceux qui sont des sous-espaces vectoriels de E : (1) les suites (un) qui sont bornées ;
(2) les suites (un) qui sont arithmétiques ; (3) les suites (un) qui sont géométriques ;
(4) les suites (un) qui sont géométriques de raison −2; (5) les suites (un) qui sont périodiques ;
(6) les suites (un) qui vérifient un+3=un+2−un.
Exercice 8 On considère les deux sous-espaces vectorielsF =h(1,1,0); (0,1,−2)ietG=h(2,1,2); (1,0,2)i de R3. Montrer que F =G.
Exercice 9 Soientu= (1,1,1,1)etv= (1,2,3,4)deux vecteurs deR4.
Déterminer aetbpour que w= (1,−1, a, b)appartienne au sous-espace vectoriel engendré par u etv.
Exercice 10 Les sous-espaces vectorielsE =h(3,0,1,2)i etF ={(x, y, z, t)tels que x+ 3y−z+ 2t= 0} de R4 sont-ils supplémentaires dansR4?
Exercice 11 Dans chacun des cas suivants, déterminer le sous-espace vectoriel engendré parAdans l’espace
vectoriel E, et donner un supplémentaire deAdansE.
(1) E =R2 etA={(0,1)}.
(2) E =R3 etA={(1,0,0),(1,1,0)}.
Exercice 12 Pour chacune des familles deR2 suivantes, dire si elle est génératrice, libre ou si elle constitue une base de R2.
(1) F1 ={(2,1),(4,1)}.
(2) F2 ={(−1,2),(4,3),(6,−1)}. (3) F3 ={(2,−3),(1,5),(0,0)}. (4) F4 ={(1,1)}.
Exercice 13 Soitu= (2,1,1),v= (1,3,1)etw= (−2,1,3)trois vecteurs deR3.
Montrer qu’ils constituent une base de R3 et déterminer les coordonnées du vecteur t = (1,1,1) dans cette base.
Exercice 14
F ={(1,1,1),(2,0,−1),(−1,1,2),(3,1,0)}. 1. La familleF de vecteurs de R3 est-elle libre ?
2. Déterminer une base du sous-espaceF engendré par la familleF. 3. Quelle est la dimension deF?
Exercice 15 SoitF l’ensemble des vecteursu= (x, y, z)∈R3 tels que ( x−y+ 3z= 0
2x+y+z= 0 .
1. Montrer queF est un sous-espace vectoriel de R3. 2. Trouver une base deF et en déduire dimF.
Exercice 16 Soit u = (x, y, z) ∈ R3. Déterminer une base de R3 dans laquelle u a pour composantes (y+z, x+z, x+y)?
Exercice 17 Montrer que la familleF suivante de polynômes de R2[X]est une base deR2[X].
F ={(X+ 1, X2, X(X−1)}.
Soit le polynôme aX2+bX+c∈R2[X]. Calculer, ses composantes dans la baseF. Exercice 18 Donner une base de l’espace vectoriel
1.
(x, y, z)∈R3 tels que x+y=y+z= 0 . 2.
{P ∈R3[x]tels queP(x) =P(1−x)}. 3.
{u= (un) telles queun∈R etun+un+2= 0}.
Exercice 19 Soient a, b et c trois réels distincts. Déterminer une base de R2[X] dans laquelle le poly- nôme P a pour composantes P(a), P′(b), P′′(c)
. Exercice 20
1. A quelle condition sur le réela, la famille F suivante de vecteurs deR3 est-elle une base deR3? F ={(a,1,1),(1, a,1),(1,1, a)}.
2. A quelle condition sur les réelsa,b,c, la famille F suivante de polynômes de R2[X]est-elle une base de R2[X]?
F ={(X−a)2,(X−b)2,(X−c)2}.
Exercice 21 Dans l’espace vectoriel des suites numériques réelles, quel est le rang du système(u, v, w, x, y) où
u= (2n)n ; v= (3n)n; w= (2n+ 3n)n ; x= (2n+1+ 3n+1)n ; y= (22n+ 32n)n ?
Exercice 22 Dans l’espace vectoriel des fonctions continues de R dans R, quel est le rang du système (f1, f2, f3) où
f1(x) = sin(x+ 1) ; f2(x) = sin(x+ 2) ; f3(x) = sin(x+ 3) ?
Exercice 23 Dans l’espace vectoriel des fonctions continues de R dans R, quel est le rang du système (f1, f2, f3) où
f1(x) = sin(x) ; f2(x) = sin(sin(x)) ; f3(x) = sin(sin(sin(x))) ?
Exercice 24 Dans l’espace vectoriel des fonctions continues de R dans R, quel est le rang du système (f1, f2, f3, f4) où
f1(x) =ex ; f2(x) =e−x ; f3(x) = cosh(x) ; f4(x) = sinh(x) ?
Exercice 25 Dans l’espace vectoriel des fonctions continues de]−1,1[dansR, quel est le rang du système (f1, f2, f3, f4) où
f1(x) =
r1−x
1 +x ; f2(x) =
r1 +x
1−x ; f3(x) = 1
√1−x2 ; f4(x) = x
√1−x2 ?
Exercice 26
1. Dans l’espace vectoriel des fonctions continues deRdansR, montrer que le système(f0, f1, . . . , fn) où
∀k∈ {0,1, . . . , n}, fk(x) = cosk(x) est de rang n+ 1.
2. (a) CalculerIp,q=Rπ
0 cos(px) cos(qx)dx pourp∈N,q∈N.
(b) Dans l’espace vectoriel des fonctions continues deRdansR, montrer que le système(g0, g1, . . . , gn) où
∀k∈ {0,1, . . . , n}, gk(x) = cos(kx) est de rang n+ 1.
3. Montrer que
hfk, k∈ {0,1, . . . , n}i=hgk, k∈ {0,1, . . . , n}i.
Exercice 27 SoitK un corps et soitn≥1.
Pour tout k∈ {1,· · · , n}, on définitek=
ek(1)
... ek(n)
∈Kn en posant
ek(j) =
( 1 si j=k 0 sinon.
Montrer que {ek |1≤k≤n}est une base deKn appeléebase canonique de Kn.
Exercice 28 SoitE un espace vectoriel. SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels de E.
(1) Montrer que F∩Gest un sous-espace vectoriel de E.
(2) Supposons que E=R2,F =h(1,0)i etG=h(0,1)i. L’ensemble F ∪Gest-il un sous-espace vectoriel de E?
(3) Montrer que F∪Gest un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F ⊂G ouG⊂F.
Exercice 29 SoitEun espace vectoriel etA,BetCtrois sous-espaces deE. Montrer que siA+C=B+C, A∩C=B∩C etA⊂B, alors A=B.
Exercice 30 SoitE un espace vectoriel etA,B etC trois sous-espaces de E.
1. Montrer queA+ (B∩C)⊂(A+B)∩(A+C). Justifier que l’inclusion est stricte.
2. Vérifier qu’il existe une inclusion entre les ensembles A∩(B+C)et (A∩B) + (A∩C). Justifier que l’inclusion est stricte.
Exercice 31 SoitE un espace vectoriel de dimension finienet soient F etGdeux sous espaces vectoriels de E tels quedimF+ dimG > n. Montrer que F∩G6={0}.
Exercice 32 SoitE unR-espace vectoriel de dimension finie4et soientF etGdeux sous espaces vectoriels de E de dimension3 tels queF 6=G. Déterminer la dimension deF∩G.
Références
[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.
[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.
[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI, PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.
