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(1)

Ecole Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne

Mécanique des fluides et transferts

Document rédigé par Olivier BONNEFOY Mail : bonnefoy@emse.fr

Version : 6.3 du 6 septembre 2021 Dernière version : ici

Version destinée aux étudiants

(2)

Une mise à jour de ce document pourra bientôt être téléchargée sur : http://www.emse.fr/~bonnefoy/Public/MecaFlu-EMSE.pdf

2

(3)

Introduction

Le présent document est destiné aux étudiants de l'Ecole Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne.

Il présente les bases de la mécanique des uides et des transferts.

Bonne lecture.

Olivier Bonnefoy

Nota Bene : ce document est en cours d'élaboration. Il peut évidemment comporter des inexactitudes ou des erreurs. Merci de bien vouloir en avertir l'auteur (bonnefoy@emse.fr). Il vous en sera reconnaissant et intégrera vos remarques dans les mises à jour (voir adresse en couverture).

(4)

Introduction

ii

(5)

Table des matières

1 Analyse dimensionnelle 1

1.1 Introduction. . . 1

1.2 Méthodes . . . 3

1.2.1 Former des grandeurs adimensionnées . . . 3

1.2.2 Adimensionner une loi physique inconnue . . . 5

1.2.3 Adimensionner une loi physique connue . . . 6

1.2.4 Transposer des résultats d'une échelle à l'autre . . . 7

1.2.5 Identier l'importance d'un phénomène . . . 9

1.3 Application à la mécanique des uides et aux transferts . . . 10

1.3.1 Echelles caractéristiques . . . 10

1.3.2 Phénomènes les plus fréquents et temps caractéristiques associés . . . 10

1.3.3 Nombres adimensionnés les plus fréquents . . . 10

1.3.4 Adimensionnement de l'équation de Navier-Stokes . . . 11

1.4 Solutions des exercices . . . 14

2 Cinématique, forces et contraintes 17 2.1 Approches lagrangienne et eulérienne . . . 17

2.2 Dérivées partielle, totale et particulaire. . . 17

2.3 Représentations graphiques de l'écoulement . . . 20

2.3.1 Trajectoire d'une parcelle de uide . . . 20

2.3.2 Ligne d'émission . . . 21

2.3.3 Champ de vitesse. . . 21

2.3.4 Lignes de courant. . . 21

2.4 Décomposition du champ de vitesse. . . 23

2.4.1 Rotation. . . 24

2.4.2 Déformations . . . 26

2.4.3 Synthèse. . . 27

2.5 Forces et contraintes . . . 30

2.5.1 Force et vecteur-contrainte . . . 30

2.5.2 Tenseur des contraintes de Cauchy . . . 30

2.5.3 Pression hydrostatique. . . 32

2.5.4 Tenseur des contraintes de cisaillement. . . 32

2.6 Solutions des exercices . . . 34

3 Fluides particuliers et lois constitutives, classication des écoulements 39 3.1 Propriétés (thermodynamiques) des matériaux . . . 39

3.1.1 Masse volumique . . . 39

3.1.1.1 Inuence de la température (dilatabilité) . . . 40

3.1.1.2 Inuence de la pression (compressibilité) . . . 40

3.1.2 Capacités caloriques et coecient adiabatique . . . 40

3.1.3 Vitesse du son . . . 41

3.2 Equations constitutives . . . 41

(6)

Introduction

3.2.1 Comportement thermique . . . 42

3.2.2 Comportement chimique. . . 43

3.2.3 Comportement mécanique . . . 43

3.2.3.1 Fluide newtonien. . . 44

3.2.3.2 Fluides complexes . . . 45

3.2.3.3 Fluide parfait . . . 45

3.3 Classication des écoulements . . . 45

3.3.1 Critères géométriques . . . 45

3.3.1.1 Dimension spatiale. . . 45

3.3.1.2 Interne vs. externe . . . 46

3.3.2 Critères cinématiques . . . 46

3.3.2.1 Stationnaire vs. instationnaire . . . 46

3.3.2.2 Isovolume. . . 46

3.3.2.3 Rotationnel vs. irrotationnel . . . 46

3.3.2.4 Subsonique vs. supersonique . . . 47

3.3.2.5 Laminaire vs. turbulent . . . 47

3.3.2.6 Compressible vs. incompressible . . . 47

3.4 Données numériques . . . 48

3.5 Solutions des exercices . . . 51

4 Bilans locaux 53 4.1 Forme générale d'un bilan local . . . 53

4.2 Bilan local de masse . . . 55

4.2.1 Pour chaque constituant . . . 55

4.2.2 Pour le uide dans son ensemble . . . 56

4.2.3 Cas particulier d'un uide incompressible . . . 56

4.3 Bilan local de quantité de matière . . . 56

4.3.1 Liens entre les bilans de masse et de quantité de matière. . . 57

4.4 Bilan local de quantité de mouvement (linéaire) . . . 58

4.4.1 Cas général . . . 58

4.4.2 Cas particulier des uides newtoniens (équation de Navier-Stokes) . . . 59

4.5 Bilan local d'énergie mécanique . . . 61

4.5.1 Cas général . . . 61

4.5.2 Commentaire sur le sens physique du termeσT : (∇~v) . . . 62

4.5.3 Cas particulier pour un écoulement incompressible et stationnaire . . . 63

4.6 Bilan local d'énergie interne et d'enthalpie . . . 63

4.6.1 Bilan local d'énergie interne . . . 64

4.6.2 Bilan local d'enthalpie . . . 65

4.7 Conditions aux limites . . . 65

4.7.1 Mécaniques . . . 66

4.7.2 Thermiques . . . 67

4.7.3 Chimiques. . . 67

4.8 Synthèse . . . 69

4.9 Solutions des exercices . . . 70

5 Bilans macroscopiques 71 5.1 Les diérents volumes de contrôle . . . 72

5.2 Expression générale du bilan macroscopique . . . 72

5.2.1 Volume de contrôle quelconque . . . 72

5.2.2 Volume de contrôle matériel. . . 73

5.2.3 Volume de contrôle imaginaire xe . . . 73

5.3 Bilan macroscopique de masse. . . 73

5.4 Bilan macroscopique de quantité de mouvement . . . 73

5.5 Bilan macroscopique d'énergie (totale) . . . 74 iv

(7)

Introduction

5.6 Bilan macroscopique d'énergie mécanique . . . 75

6 Compléments 77 6.1 Corrélations empiriques pour écoulements typiques . . . 77

6.1.1 Ecoulement en conduite . . . 77

6.1.2 Ecoulement le long d'un plan . . . 78

6.1.3 Ecoulement autour d'une sphère . . . 79

7 Annexes mathématiques 81 7.1 Symboles de Kronecker et Levi-Civita, convention d'Einstein . . . 81

7.2 Tenseurs et produits tensoriels . . . 82

7.2.1 Tenseurs. . . 82

7.2.2 Produits tensoriels . . . 83

7.3 Opérateurs diérentiels . . . 84

7.3.1 Dénitions . . . 84

7.3.2 Formulaire . . . 84

7.4 Conventions sur la construction du tenseur des contraintes. . . 85

7.4.1 Normale entrante/sortante . . . 85

7.4.2 Assemblage vertical/horizontal . . . 85

7.4.3 Synthèse. . . 86

7.5 Démonstrations . . . 88

7.5.1 Bilan des forces . . . 88

7.5.2 Bilan des moments . . . 88

7.5.3 Systèmes électro-magnétiques . . . 89

7.5.4 Systèmes en rotation . . . 89

7.5.5 ThéorèmeΠ de Vaschy-Buckingham . . . 91

7.6 Théorèmes importants . . . 92

7.6.1 Théorème de Green-Ostrogradsky . . . 92

7.6.2 Théorème du gradient . . . 92

7.6.3 Théorème de transport de Reynolds . . . 93

7.7 Bilans en coordonnées cartésiennes (~ex, ~ey, ~ez) . . . 94

7.7.1 Produits tensoriels . . . 94

7.7.2 Opérateurs diérentiels . . . 94

7.7.3 Bilan local de masse et de quantité de matière . . . 96

7.7.3.1 Bilan local de masse . . . 96

7.7.3.2 Loi de Fick pour la diusion binaire . . . 96

7.7.3.3 Bilan local de quantité de matière . . . 96

7.7.4 Bilan local de quantité de mouvement (cas général). . . 96

7.7.5 Tenseur des taux de cisaillement . . . 97

7.7.6 Tenseur des contraintes de cisaillement pour un uide newtonien . . . 97

7.7.7 Bilan local de quantité de mouvement (équation de Navier-Stokes) . . . 97

7.7.8 Bilan local d'énergie . . . 98

7.7.8.1 Equation de la chaleur (cas général) . . . 98

7.7.8.2 Loi de Fourier pour la diusion de chaleur . . . 98

7.7.8.3 Equation de la chaleur (uide newtonien incompressible) . . . 98

7.8 Bilans en coordonnées cylindriques (~er, ~eθ, ~ez) . . . 100

7.8.1 Produits tensoriels . . . 101

7.8.2 Opérateurs diérentiels . . . 101

7.8.3 Bilan local de masse et de quantité de matière . . . 103

7.8.3.1 Bilan local de masse . . . 103

7.8.3.2 Loi de Fick pour la diusion binaire . . . 104

7.8.3.3 Bilan local de quantité de matière . . . 104

7.8.4 Bilan local de quantité de mouvement (cas général). . . 104

7.8.5 Tenseur des taux de cisaillement . . . 105

(8)

Introduction

7.8.6 Tenseur des contraintes de cisaillement pour un uide newtonien . . . 105

7.8.7 Bilan local de quantité de mouvement (équation de Navier-Stokes) . . . 105

7.8.8 Bilan local d'énergie . . . 106

7.8.8.1 Equation de la chaleur (cas général) . . . 106

7.8.8.2 Loi de Fourier pour la diusion de chaleur . . . 106

7.8.8.3 Equation de la chaleur (uide newtonien incompressible) . . . 106

7.9 Bilans en coordonnées sphériques(~er, ~eθ, ~eφ). . . 108

7.9.1 Opérateurs diérentiels . . . 109

7.9.2 Bilan local de masse et de quantité de matière . . . 110

7.9.2.1 Bilan local de masse . . . 110

7.9.2.2 Loi de Fick pour la diusion binaire . . . 111

7.9.2.3 Bilan local de quantité de matière . . . 111

7.9.3 Bilan local de quantité de mouvement (cas général). . . 111

7.9.4 Tenseur des taux de cisaillement . . . 112

7.9.5 Tenseur des contraintes de cisaillement pour un uide newtonien . . . 112

7.9.6 Bilan local de quantité de mouvement (équation de Navier-Stokes) . . . 113

7.9.7 Bilan local d'énergie . . . 113

7.9.7.1 Equation de la chaleur (cas général) . . . 113

7.9.7.2 Loi de Fourier pour la diusion de chaleur . . . 114

7.9.7.3 Equation de la chaleur (uide newtonien incompressible) . . . 114

7.10 Ressources documentaires . . . 115

7.10.1 Livres . . . 115

7.10.2 Polycopiés, fascicules. . . 115

7.10.3 Vidéos . . . 115

7.10.4 Sites webs . . . 115

7.10.5 Tutoriels. . . 115

8 Méthodologie et formulaire 117 9 Travaux dirigés 123 9.1 Exercice d'application sur la cinématique . . . 125

9.2 Convection libre et forcée simultanées . . . 126

9.3 Calcul de pertes de charge en conduite cylindrique . . . 127

9.4 Résistance à l'avancement d'un navire . . . 128

9.5 Maquette d'un camion en souerie . . . 129

9.6 Transfert de chaleur d'un lm ruisselant vers une surface solide froide . . . 130

9.7 Echauement dans un viscosimètre de Couette . . . 132

9.8 Ecoulement de deux uides immiscibles adjacents . . . 133

9.9 Prol de température dans une ailette de radiateur . . . 134

9.10 Refroidissement par transpiration . . . 136

9.11 Prol de température dans une résistance électrique . . . 137

9.12 Ecoulement d'un uide de Bingham en conduite. . . 138

9.13 Tuyère et aube . . . 139

9.14 Rendement d'une éolienne . . . 140

9.15 Absorbeur-neutralisateur. . . 141

9.16 Solidication d'une goutte sphérique par refroidissement . . . 143

9.17 Ressaut hydraulique . . . 144

9.18 Dimérisation catalytique . . . 145

9.19 Aéroglisseur jouet (hovercraft) . . . 146

9.20 Décollement d'un disque plan . . . 149

9.21 Disque brise-jet . . . 150

9.22 Ecoulements élongationnels . . . 153

9.23 Ecoulement dans un espace annulaire. . . 155

9.24 Ecoulement autour d'un cylindre . . . 157

vi

(9)

Chapitre 1

Analyse dimensionnelle

I have often been impressed by the scanty1 attention paid even by original workers in physics to the great principle of similitude. It happens not infrequently that results in the form of "laws"

are put forward as novelties on the basis of elaborate experiments, which might have been predicted a priori after a few minutes' consideration.

- Lord Rayleigh, Nature (1915)

1.1 Introduction

L'analyse dimensionnelle est un ensembe de techniques permettant de :

diminuer le nombre de grandeurs nécessaires à la description d'un phénomène physique minimiser le nombre de mesures nécessaires à la détermination d'une loi physique inconnue étudier les solutions asymptotiques d'une loi physique en identiant les termes prépondérants établir un lien entre des mesures obtenues sur le dispositif réel et sur une maquette de taille diérente

Dénitions

Dans un problème de physique, plusieurs grandeurs physiques xi interviennent : diamètre, vitesse, durée, masse, . . . Elles sont liées par une loi physique qui, bien souvent, permet de connaître la réponse du système lorsqu'une sollicitation lui est appliquée :

f(x1, . . . , xn) = 0

Dans certains cas particuliers, la théorie permet d'établir une expression analytique de cette loi. Par exemple, la vitesse de vidange d'un réservoir sous l'eet de la gravité est donnée par la formule de Torricelli v=√

2gh et l'intensité du courant électriqueI induit par la diérence de potentielU est donnée par la loi d'OhmI=U/R. Dans la grande majorité des situations intéressantes pour un ingénieur, toutefois, on sait que les grandeurs sont liées mais il n'est pas possible d'écrire explicitement une équation ou de la résoudre.

Par exemple, la puissanceP requise pour qu'un avion vole à la vitesse~vdans une zone étendue de turbulences n'est pas calculable par une équation simple. On peut simplement écriref(~v,P, . . .) = 0.

Chaque grandeur peut s'exprimer avec un nombre inni d'unités. Par exemple, le diamètre d'une sphère peut s'exprimer enµm, cm, pouces, miles, km, année-lumière, . . . Il est important d'être très vigilant sur les unités car les conséquences d'une erreur peuvent être funestes. A titre d'illustration, la sonde spatiale "Mars Climate Orbiter" (193 millions de dollars) n'a pas atteint sa cible car les unités étaient Foot-Pound-Second chez le constructeur (Lockheed Martin) et Mètre-Kilogramme-Seconde chez le gestionnaire des communica- tions entre le satellite et le centre de contrôle de Pasadena (Jet Propulsion Laboratory).

1. scanty = peu abondante, insusante

(10)

Chapitre 1. Analyse dimensionnelle

En revanche, il existe un nombre ni de dimensions. Pour toute la physique, on en recense seulement sept. Le choix des sept dimensions de base comporte une part d'arbitraire. Celles retenues par le Système International sont : masse (M), longueur (L), temps (T), température (θ), intensité électrique (I), intensité lumineuse (J) et quantité de matière (N).

L'équation aux dimensions d'une grandeur quelconque x relie sa dimension, notée [x] à celles des dimensions de base. Dans le Système International, la forme générale est :

[x] =Ma1La2Ta3θa4Ia5Ja6Na7

De manière triviale, une grandeur sans dimension est telle que tous les exposantsai sont nuls2.

Grandeur Symbole Unité SI Equation aux dimensions

Longueur L m L

Surface S m2 L2

Volume V m3 L3

Fréquence f Hz T−1

Durée ∆t s T

Vitesse v m/s L.T−1

Accélération a, g m/s2 L.T−2

Masse m kg M

Masse volumique ρ kg/m3 M.L−3

Quantité de mouvement P~ kg.m/s M.L.T−1

Pression, contrainte p, σ, τ Pa M.L−1.T−2

Force F N M.L.T−2

Couple C N.m M.L2.T−2

Puissance P W M.L2.T−3

Energie E, Ec J M.L2.T−2

Viscosité dynamique µ Pa.s M.L−1.T−1

Tension supercielle σ J/m2 M.T−2

Conductivité thermique λ W/m/K M.L.T−3−1

Coecient d'échange de chaleur h W/m2/K M.T−3−1 Capacité calorique massique ¯cp J/K/kg L2.T−2−1

Viscosité cinématique ν m2/s L2.T−1

Coecient de diusion moléculaire DAB m2/s L2.T−1

Diusivité thermique α m2/s L2.T−1

Gradient, divergence ∇ m−1 L−1

Laplacien ∆ m−2 L−2

Table 1.1 Equations aux dimensions des grandeurs usuelles en mécanique des uides.

Exercice 1. en utilisant le Système International, donner l'équation aux dimensions du produitρ.V2 et du produitρ.ν2. Commenter.

2. On remarquera qu'il existe des grandeurs sans dimension mais avec une unité. Par exemple, l'angle est le rapport de deux longueurs (l'arc divisé par le rayon) et s'exprime en radian.

2

(11)

1.2. Méthodes

1.2 Méthodes

1.2.1 Former des grandeurs adimensionnées

Méthode

On décrit ici la procédure pour construire un ensemble depgrandeurs adimensionnées à partir dengrandeurs physiques. Cette procédure s'appuie sur le théorèmeΠ de Vaschy-Buckingham (démonstration en page91).

1. identier lesngrandeurs physiquesxidu problème. Il peut s'agir de paramètres constants, de fonctions ou de variables. Il est important de toutes les recenser.

2. écrire l'équation aux dimensions de chaque grandeurxi :

[xi] =

M

Y

m=1

Dammi

3. construire la matrice dimensionnelleAdénie par :

A≡

a11 . . . a1n

... ... ...

aM1 . . . aM n

4. calculer le rangrde la matrice dimensionnelle

5. choisir r grandeurs de base que l'on notera bi. Ces grandeurs doivent être dimensionnellement indépendantes. On peut choisir lesbiparmi lesxi sixi est invariant (par exemple la gravité). Sixi est une fonction ou une variable, on peut utiliser les conditions aux limites ou bien les conditions initiales (qui sont des constantes). Il est parfois astucieux de former des grandeurs de base en prenant des produits, quotients ou puissances des xi.

6. former n échelles caractéristiques Xi. Pour cela, identier les r−1 coecients αji tels que les dimensions de Xi et xi soient les mêmes :

Xi ≡Y

j6=i

bαjji tel que [Xi] = [xi]

Dans un problème donné, il est possible d'avoir plusieurs échelles caractéristiques de même dimension (deux temps caractéristiques, deux longueurs caractéristiques, . . .).

7. formerngrandeurs sans dimension en prenant le ratioxi/Xi : La grandeur adimensionnée xi

Xi est notée

Ni lorsquexi est un paramètre constant xi lorsquexi est une fonction ou une variable 8. éliminer lesr grandeurs adimensionnées sans intérêt : constantes, multiples ou puissances d'un autre

nombre adimensionné, . . .

Il reste lesp≡n−rgrandeurs adimensionnées recherchées.

(12)

Chapitre 1. Analyse dimensionnelle

Figure 1.1 Nécessité de choisir des grandeurs liées par une relation de cause à eet. Source.

Exemple

Considérons un objet sphérique chutant dans le vide sous l'eet de la gravité et essayons de prévoir la durée de chute. Les grandeurs physiques a priori pertinentes sont la durée de la chuteτ, la hauteur initiale h0, la vitesse initiale v0, le diamètre d, la masse m et l'accélération de la pesanteur g. Le nombre n de grandeurs est égal à 6. La loi physique s'énonce ainsi :

f(τ, h0, d, m, g, v0) = 0 La matrice dimensionnelle peut s'écrire sous la forme d'un tableau :

τ h0 d m g v0

M 0 0 0 1 0 0

L 0 1 1 0 1 1

T 1 0 0 0 -2 -1

θ 0 0 0 0 0 0

I 0 0 0 0 0 0

J 0 0 0 0 0 0

N 0 0 0 0 0 0

Le rangrde cette matrice est égal à 3. Nous choisissons autant de grandeurs de base dimensionnellement indépendantes ; par exemplem, g et v0. En utilisant ces grandeurs de base, formons maintenant autant de nombres adimensionnés qu'il y a de variables physiques3:

















N1v τ

0.g−1

N2v2h0 0.g−1

N3v2d 0.g−1

N4mm N5gg N6vv0

0

3. On peut utiliser la méthode du pivot de Gauss en supplément à l'intuition.

4

(13)

1.2. Méthodes

Les trois dernières grandeurs adimensionnées sont des constantes, égales à l'unité, et n'ont aucun intérêt.

Le nombrepde grandeurs adimensionnées pertinentes est donc égal à 3, ce qui était prévisible (p≡n−r).

Exercice 2. la puissance P nécessaire au fonctionnement d'une pompe axiale dépend de la masse volumique ρ du uide, de sa viscosité dynamiqueµ, de la vitesse angulaire Ω et du diamètreD du rotor, du débit volumique Qet de la charge hydraulique∆H qui est générée (égale à l'augmentation de pression ∆pdivisée par le produitρ.~g). Quels sont les nombres adimensionnés pertinents ? Exercice 3. trouver la vitesse caractéristique d'un uide s'écoulant dans un milieu poreux sous l'eet d'un gradient de pression. Application à de l'eau s'égouttant par gravité dans un pot de eur.

1.2.2 Adimensionner une loi physique inconnue

Méthode

Considérons une loi physique faisant intervenirngrandeurs physiquesx1, . . . , xn :

f(x1, . . . , xn) = 0 (1.1)

Si cette loi est inconnue, on cherchera à établir une corrélation empirique entre ces grandeurs. Pour minimiser le nombre d'expériences ou de simulations numériques, on peut avantageusement former p grandeurs adi- mensionnées selon la procédure décrite dans la section précédente. En eet, la loi physique sera équivalente4 à l'équation suivante, dite "loi physique adimensionnée" :

g(N1, . . . , Np) = 0 ⇔ N1=h(N2, . . . , Np) (1.2) dont le nombre de variables est strictement inférieur à n. Dans le cas particulier où il n'y a qu'un nombre adimensionné (p= 1), alors cette équation s'écrit simplementN1=constante. De manière générale, lorsque les diérents phénomènes sont découplés, les corrélations ont souvent la forme d'un produit de fonctions, elles-mêmes souvent lois de puissance :

N1=A.h2(N2).h3(N3). . . avec hi(Ni) =Niki

Lorsque les phénomènes sont couplés, l'expression analytique des corrélations est plus dicile à établir.

Exemple

Dans le prolongement de l'exemple de la section précédente, on peut écrire les équivalences suivantes :

f(τ, h0, d, m, g, v0) = 0 ⇔ N1=h(N2, N3) avec





N1τ.gv

0

N2hv02.g 0

N3d.gv2 0

On peut formuler quelques commentaires :

la loi adimensionnée ne fait intervenir que 3 grandeurs alors que la loi physique en fait intervenir 6.

l'analyse dimensionnelle montre que la masse n'inuence pas la durée de chute dans le vide, en accord avec les observations faites par Galilée (1564-1642).

l'analyse dimensionnelle ne permet pas d'en savoir davantage. Seules des expériences, des simulations numériques ou un calcul théorique permettront de préciser la forme de l'équationN1=h(N2, N3). En l'occurence, on verrait queN3n'a aucune inuence surN1 (la taille de l'objet n'a pas d'inuence sur la durée de chute dans le vide). La loi physique se résumerait alors àN1 =h(N2). Graphiquement, la corrélation serait représentée par une courbe maîtresse dans le planN1−N2.

4. Pour établir cette équivalence, on peut essayer d'isoler la grandeur adimensionnée faisant apparaître la sollicitation du système. Cette dernière est en principe unique. La réponse (physique) du système à cette sollicitation est souvent unique mais peut présenter diérentes solutions si le système est dans un état métastable ou instable.

(14)

Chapitre 1. Analyse dimensionnelle

1.2.3 Adimensionner une loi physique connue

Méthode

Lorsque la loi physique est connue, on peut facilement établir l'expression analytique de la loi physique adimensionnée. Il sut pour cela de remplacer chaque occurence dexi par :

le produitxi.Xi s'il s'agit d'une fonction ou d'une variable le produitNi.Xi s'il s'agit d'un paramètre constant

puis de réaliser les simplications nécessaires pour éliminer les échelles caractéristiquesXi.

Dans le cas où la loi physique fait intervenir une dérivée ou une intégrale, on utilise les règles suivantes : dx1

dx2

=X1

X2

.dx1 dx2 Z

x1.dx2=X1.X2. Z

x1.dx2

L'adimensionnement d'une loi physique connue permet réduire le nombre de grandeurs et donc de faciliter son calcul. Quand la loi se présente sous la forme d'une somme de plusieurs termes, l'adimensionnement permet également d'évaluer l'ordre de grandeur des diérents termes et ainsi, plus facilement, de considérer les cas asymptotiques où l'un ou l'autre des termes, et donc des phénomènes physiques associés, est négligeable ou prépondérant devant les autres.

Exemple

Toujours dans le prolongement de l'exemple de la section précédente, la théorie permet de relier le dépla- cement de l'objet à la durée de chute. Il sut d'appliquer le principe fondamental de la dynamique et de réaliser une intégration :

x(t) tel que dx

dt =g.t+v0

Parmi les 4 grandeurs physiques (x1, x2, x3, x4) = (x, t, g, v0), les deux premières sont des fonctions ou des variables tandis que les deux dernières sont des paramètres constants. Ces quatre grandeurs font intervenir deux dimensions (LetT) et le rang de la matrice dimensionnelle estr= 2. Pour les deux grandeurs de base, il est naturel de choisir les paramètres constants : (b1, b2) = (g, v0). Cela permet de construire les échelles caractéristiquesXi et les grandeurs sans dimension suivantes :









X1vg20 X2vg0 X3≡g X4≡v0

et





xXx

1

tXt

2

N3Xg

3

N4Xv0

4

En remplaçant les grandeurs physiquesxipar les produitsxi.XiouNi.Xi, on peut réécrire la loi physique : dx

dt =g.t+v0 ⇔ d(x.X1)

d(t.X2) = (N3.X3).(t.X2) + (N4.X4)

Ce qui conduit, en remplaçant les échelles caractéristiques Xi par leur valeur puis en divisant membre à membre parv0à la loi physique adimensionnée :

x(t) tel que dx

dt =t+ 1

Cette équation permet de voir que pour les temps courts (t1), la vitesse reste quasiment identique à sa valeur initiale et, que pour des temps longs (t1) la vitesse croît proportionnellement au temps. De plus, cette démarche permet de dénir le temps caractéristique vg0.

Exercice 4. évaluer le temps caractéristique de la décharge d'un condensateur dans un circuit RC.

6

(15)

1.2. Méthodes

Exercice 5. évaluer le temps caractéristique des oscillations d'un pendule oscillant obéissant à la loi θ¨+Lg.sinθ= 0.

Exercice 6. considérons une EDP de convection-diusion-réaction :

∂c

∂t+V.∇c=D.∇2c−k.c

Adimensionner cette équation. Mettre en évidence trois temps caractéristiques du système physique re- présenté par cette équation. Faire apparaître ces temps caractéristiques dans la dénition des nombres adimensionnés pertinents. Quelle approximation peut-on faire dans le cas où la réaction a lieu dans un réacteur d'un litre alimenté en continu par de l'eau circulant à 10 cm/s (on prendra un coecient de diusion de 3.10−9 m2.s−1) ?

1.2.4 Transposer des résultats d'une échelle à l'autre

Méthode

En ingénierie, la conception d'un nouveau système, sa construction et son utilisation présentent parfois des risques humains, techniques ou nanciers. C'est le cas lorsque les connaissances manquent et notamment lorsque les équations gouvernant son évolution (i) ne sont pas connues (ii) sont connues mais non solubles ou bien (iii) sont connues et solubles mais leur solution (théorique ou numérique) n'a pas été validée ex- périmentalement. Dans ces situations, il est parfois judicieux de mener des expériences préalables sur des maquettes, qui sont souvent de taille réduite mais peuvent également être plus grandes que le prototype (sys- tème à taille réelle). Si certaines conditions sont respectées, l'analyse dimensionnelle permet de transposer les résultats d'une échelle à l'autre. Cette approche est fréquemment mise en oeuvre lorsque des uides sont en écoulement. Dans ce cas, les maquettes sont placées dans une souerie aérodynamique (voitures, avions, hélicoptères, drones, fusées, navettes), un bassin des carènes (navires et sous-marins) ou autre (réacteur chimique, pompe, hydrologie uviale ou maritime).

Considérons un problème de physique dont la loi physique adimensionnée, connue ou inconnue, s'énonce de la manière suivante :

N1=h(N2, . . . , Np) (1.3)

Puisque la loi physique est la même quelle que soit la taille du système considéré, l'égalité des nombres adimensionnésN2, . . . , Npaux deux échelles entraîne l'égalité deN1aux deux échelles. Dans la littérature, le système à pleine échelle est souvent appelé prototype et les grandeurs associées sont désignées par l'exposant P ou bien 1(écoulement principal, premier écoulement) tandis que le système modèle est appelé maquette (exposantM ou2 pour "second écoulement").

N2P = N2M ... ...

NpP = NpM

 ⇒ N1P =N1M

Similitude complète : on dit que deux systèmes sont similaires, ou en complète similitude, lorsque les conditions suivantes sont remplies :

tous les nombres adimensionnés sont identiques

les conditions aux limites adimensionnées sont identiques

les conditions initiales adimensionnées sont identiques (pour les systèmes instationnaires)

De la première condition, on peut déduire que la forme géométrique est invariante : dans une similitude complète, les deux systèmes sont homothétiques l'un de l'autre. Parmi toutes les invariances, certains au- teurs distinguent la similitude géométrique (invariance des rapports de longueur), la similitude cinématique (invariance des rapports de vitesse) et la similitude dynamique (invariance des rapports de force).

(16)

Chapitre 1. Analyse dimensionnelle

Similitude incomplète : on parle de similitude incomplète lorsqu'au moins une condition de similitude n'est pas remplie. Cette situation se rencontre notamment lorsque :

les matériaux imposés par la similitude sont trop malcommodes d'emploi ou bien tout simplement n'existent pas

les sollicitations ne peuvent pas être contrôlées. Par exemple, l'intensité de la force de gravitation est la même quelle que soit la taille du système (sauf chute libre, centrifugation et changement de planète).

un phénomène est négligeable à une échelle et prépondérant, ou au moins inuant, à une autre échelle.

Par exemple, l'eet de la tension supercielle jouera probablement un rôle important pour un système millimétrique mais sera négligeable pour un système de la taille de l'océan.

L'extrapolation des résultats n'est alors pas justiable rigoureusement d'un point de vue mathématique. En pratique, il arrive toutefois que cette diculté puisse être négligée ou contournée :

si la fonctionN1=h(N2, . . . , Np)reste quasi-constante quelle que soit la valeur deNp (surRou un intervalle deR), l'extrapolation sera correcte même siNpn'est pas identiques pour les deux systèmes, en renonçant à une pure homothétie et en introduisant une distorsion géométrique (par exemple une

échelle de largeur et une de longueur), on peut tout de même obtenir des résultats.

Exemple

Cherchons à évaluer la puissance consommée par un sous-marin opérant à VP=2,6 m.s−1 dans une eau de mer de masse volumique ρP=1010 kg.m−3 et de viscosité cinématique νP=1,3.10−6 m2.s−1. Pour cela, on construit un modèle réduit dans un rapport LM/LP = 1/20 que l'on place dans un canal d'eau douce (ρM=988 kg.m−3 et νM=0,65.10−6 m2.s−1). En se plaçant dans des conditions de similitude, on mesure la force de pousséeFM qui s'exerce sur la maquette ; elle est de 500 kN.

Le problème est décrit parn= 5grandeurs physiques : la tailleLet la vitesseV du sous-marin, la masse volumique ρ et la viscosité cinématique ν du uide, la force de traînée F. Ces grandeurs font intervenir r= 3 dimensions (L,M,T). La loi physique du problème relie doncp=n−r= 2 nombres adimensionnés.

Choisissonsr= 3grandeurs de base dimensionnellement indépendantes ; par exemple la tailleL[L], la vitesse V [L.T−1] et la force F [M.L.T−2]. Nous pouvons construiren= 5nombres sans dimension :









N1LL N2VV

N3F.L−2ρ.V−2

N4L.Vν N5FF

On voit que seuls deux nombres adimensionnés sont pertinents :N3etN4. La similitude entre le sous-marin à pleine échelle et la maquette impose l'égalité des nombres adimensionnés pertinents :

N3P = N3M

N4P = N4M soit

( ρP

FP.L−2P .VP−2 = ρM

FM.L−2M.VM−2 νP

LP.VP = LνM

M.VM

De la deuxième équation, on tire la vitesse (très rapide) que doit avoir la maquette : VM =VPM

νP .LP

LM d'où VM = 26m.s−1 De la première équation, on tire la force de traînée du sous-marin à pleine échelle :

FP =FMP

ρM. νP

νM 2

d'où FP = 2045kN

En utilisant la formuleP =F.V, on trouve que la puissance consommée par le sous-marin réel est de 5,32 MW. On verra dans la section 1.3 que, à un coecient près, les nombres adimensionnésN3 et N4 sont les inverses du coecient de traînéeCx et du nombre de ReynoldsRerespectivement.

8

(17)

1.2. Méthodes

Exercice 7. on considère un modèle réduit au tiers de la pompe étudiée dans un exercice de la section 1.2.1. Calculer la puissancePP nécessaire pour faire tourner le prototype à 300 rpm ainsi que son débit sachant que la puissancePM consommée par la maquette est de 2 hp lorsque cette dernière fonctionne edans des conditions de similitude caractérisées par : ΩM = 900 rpm, DM = 5 in,∆HM = 10 ft, QM = 3ft3.s−1.

1.2.5 Identier l'importance d'un phénomène

Méthode

Dans certains situations, il arrive qu'un phénomène soit négligeable devant un autre. Cela permet de simplier la modélisation et de faciliter sa résolution. Pour identier l'importance relative de deux phéno- mènes, on peut ré-écrire les nombres adimensionnels sous la forme d'un ratio de deux durées caractéristiques, chacune étant associée à un phénomène. Cela est souvent possible. Si le nombre adimensionné est proche de l'unité, cela signie que les deux phénomènes ont des durées caractéristiques comparables. Ils se déroulent sur des domaines spatiaux d'étendue comparable en des temps comparables ; on dit alors que le couplage est fort. En revanche, si le ratio des deux temps caractéristiques s'éloigne beaucoup de l'unité, on dit que les phénomènes sont découplés : un phénomène rapide (constante de temps faible) coexiste avec un phénomène lent (constante de temps élevée).

Dans cette situation de découplage, le comportement du système est piloté par un seul des deux phéno- mènes, c'est-à-dire qu'une variation d'un paramètre intervenant dans le temps caractéristique de ce phéno- mène a une inuence directe (le plus souvent proportionnelle ou inversement porportionnelle) sur le compor- tement de ce système. Deux cas principaux sont à distinguer :

Deux phénomènes en parallèle (1/τ = 1/τrapide+ 1/τlent ≈ 1/τrapide) : le système est piloté par le phénomène le plus rapide. On peut négliger la contribution du phénomène lent.

Deux phénomènes en série (τ=τrapidelent≈τlent) : le système est piloté par le phénomène le plus lent. On peut négliger la contribution du phénomène rapide.

Ces réexions sont à la base des stratégies d'intensication des procédés : adapter la taille des systèmes, les matériaux et les conditions opératoires de manière à maximiser l'ecacité5.

Exemple

Considérons le transfert de chaleur d'un solide vers un uide. On distingue trois phénomènes : 1. la conduction dans le solide avec un temps caractéristique :τ1Lα2s

s

2. la conduction dans le uide avec un temps caractéristique :τ2Lα2f

f

3. la convection dans le uide avec un temps caractéristique : τ3Lfhf.cpf avecλ=α.ρ.cp

L'importance relative de ces phénomènes peut être évaluée par les trois nombres adimensionnés suivants : N u≡ h.Lλf

f = ττ2

3 : nombre de Nusselt, utile pour comparer la conduction dans le uide à la convection dans le uide

Bi ≡ h.Lλ f

s = ττ1

3.ρρs.cps

f.cpf : nombre de Biot, utile pour comparer la conduction dans le solide à la convection dans le uide

N ≡ ααf

s = ττ1

2 : nombre sans nom particulier, utile pour comparer la conduction dans le uide à la conduction dans le solide

5. Lire par exemple page 84 de "Green Process Engineering : From Concepts to Industrial Applications" By Martine Poux, Patrick Cognet, Christophe Gourdon 2015, ISBN : 1482208172.

(18)

Chapitre 1. Analyse dimensionnelle

1.3 Application à la mécanique des uides et aux transferts

1.3.1 Echelles caractéristiques

En mécanique des uides, les échelles caractéristiques sont presque toujours parmi les suivantes : longueur (L)

vitesse (V)

pression (∆pouρ.V2) force (F ouρ.ν2)

diérence de température ∆T

Le choix de la longueur caractéristique L dépend du problème étudié. Il y a une part d'adaptation et donc d'arbitraire. Toutefois, bien souvent, il s'agit de la plus petite dimension physique. Ainsi, on retiendra le diamètre d'une longue canalisation, le diamètre d'une sphère solide dans un grand volume, l'épaisseur d'un prol pour une aile d'avion, . . .

1.3.2 Phénomènes les plus fréquents et temps caractéristiques associés

Les phénomènes les plus souvent rencontrés en mécanique des uides possèdent chacun une durée caracté- ristique donnée dans le tableau1.2.

Phénomène Temps caractéristique

Diusion de chaleur τdi thermLα2 Diusion de matière τdi matDL2

AB

Diusion de QDM τviscLν2 Convection de QDM τconvVL Onde gravitaire τgravLgL Onde acoustique τsonvL

s

Freinage visqueux τfreinρ18.µs.d2s Convection de chaleur τconv thermL.ρ.ch p

Tension de surface τsurf≡ qρ.L3

σ

Thermo-capillarité τthermo-cap≡q ρ.L3

∂σ

∂T.∆T

Réaction chimique d'ordre 1 τchimk1

Table 1.2 Durée caractéristique des diérents phénomènes.

1.3.3 Nombres adimensionnés les plus fréquents

A partir de ces dernières, on peut construire un certain nombre de grandeurs adimensionnées qui com- parent l'intensité relative de deux phénomènes. Le tableau 1.3 présente les dénitions les plus fréquentes.

Il est à noter que, pour un jeu de n grandeurs physiques xi, il existe plusieurs jeux de p nombres sans dimensionNi. On passe aisément de l'un à l'autre en constituant des produits, quotients ou puissances. Par exemple, à la place du couple(N1, N2), on pourrait utiliser le couple N13, N2ou 4.N1,√

N2 ou encore (N1.N2, N2/N1). Pour certains nombres adimensionnés N, le tableau1.4 indique la terminologie spécique utilisée pour désigner l'état du système lorsque les valeurs de N sont très petites ou très grandes devant l'unité (situation de découplage).

10

(19)

1.3. Application à la mécanique des uides et aux transferts

Les grandeurs utilisées dans ces tableaux sont les suivantes : vitesseV [m.s−1], distanceL[m], diamètre d [m], coecient de diusion DAB [m2.s−1], viscosité cinématique ν [m2.s−1], masse volumique du uide ρ[kg.m−3], pression p[Pa], gravitég [m.s−2], vitesse du son adiabatique vs [m.s−1], tension supercielleσ [J.m−2], aire de sectionA[m2], diusivité thermiqueα[m2.s−1], coecient de transfert de chaleurh[W.m−2], capacité calorique massique cp [J.K−1.kg−1], conductivité thermique λ [W.m−1.K−1]. La constante de vitessek de la réaction chimique est en [s−1] pour une réaction volumique et en [m.s−1] pour une réaction surfacique.

1.3.4 Adimensionnement de l'équation de Navier-Stokes

L'écoulement de uide newtonien incompressible (avecλ= 0et viscositéµconstante) est décrit par l'équation de Navier-Stokes (équation4.29en page59) :

ρ ∂

∂t+~v· ∇

~v=−∇p+µ.∆~v+ρ~g

Les grandeurs physiques sont au nombre den= 7:~v,p,x,t pour les fonctions ou variables etρ,µ,~g pour les paramètres constants. Comme le rang r de la matrice dimensionnelle est égal à 3, il faut trouver trois grandeurs de base bi. Comme on va le constater, il s'avère pratique de choisir L, V et ρV2. Les échelles caractéristiquesXi et les grandeurs adimensionnées sont alors :

































vXv

1 avec X1≡V

pXp

2 avec X2≡ρV2

xXx

3 avec X3≡L

tXt

4 avec X4LV

N5Xρ

5 avec X5ρVV22 N6Xµ

6 avec X6ρVV2.L N7Xg

7 avec X7VL2

On s'aperçoit que les nombres adimensionnésN6et N7sont liés à des nombres classiques : N6= 1

Re avec Re≡ρ.V.L µ N7= 1

F r2 avec F r≡ V

√gL

En remplaçant les grandeurs physiques xi par les produits xi.Xi ou Ni.Xi, l'équation de Navier-Stokes devient :

∂~v

∂t + (~v· ∇)~v=−∇p+ 1

Re.∆~v+ 1 F r2. ~g

k~gk

avec les opérateurs∇≡L.∇et∆≡L2.∆. L'étude des solutions asymptotiques est facilitée. Par exemple, en régime stationnaire et en négligeant la gravité, l'équation de Navier-Stokes devient :

p=−(~v· ∇)~v+ 1 Re.∆~v

Pour un nombre de Reynolds très grand devant l'unité, l'équation de Navier-Stokes devient l'équation d'Euler, valable pour un uide parfait (µ= 0) mais aussi pour un uide réel dans un écoulement turbulent (Re→ ∞) :

p=−~v~v

Pour un nombre de Reynolds très petit devant l'unité, l'écoulement est dominé par les forces visqueuses et l'on parle d'écoulement rampant (creeping ow) ou écoulement de Stokes. Dans ce cas, l'équation se réduit à :

p= 1

Re.∆~v+ 1 F r2. ~g

k~gk

(20)

Chapitre 1. Analyse dimensionnelle

Système Nom Symbole Expression Ratio de temps

Un uide Reynolds Re ρ.V.Lµ = V.Lν τviscconv

Peclet P e DV.L

AB τdi matconv

Schmidt Sc Dν

AB τdi matvisc

Euler Eu 1∆p

2ρV2 n/a

Froude F r Vg.L τgravconv

Mach M a vV

s τsonconv

Deux uides Weber W e ρ.L.Vσ 2surfconv)2

Bond Bo ∆ρ.g.Lσ 2surfgrav)2

Capillaire Ca µ.Vσsurf)2/(τconvvisc)

Ohnesorge Oh ρ.σ.Lµ τsurfvisc

Fluide+Solide Stokes St ρSµ.L.d2S.V τfreinconv

Coe de traînée Cx=CD 1F /A

2ρ.V2 n/a

Fluide+Thermique Prandtl P r αν τdi thermvisc

Peclet thermique P eθ V.L

α τdi thermconv

Lewis Le Dα

AB τdi matdi therm

Nusselt N u h.Lλ f

f τdi thermconv therm Marangoni M L.ρ.α.ν∂T∂σ.∆Tdi thermvisc)/(τthermo-cap)2

Fluide+Chimie Damköhler I DaI k.LV τconvchim

Damköhler II (surf) DaIIsurf Dk.L

AB τdi matchim

Damköhler II (vol) DaIIvol Dk.L2

AB τdi matchim

Table 1.3 Nombres adimensionnés classiques en mécanique des uides et transferts.

12

(21)

1.3. Application à la mécanique des uides et aux transferts

Nom N N 1 N1 Intérêt / domaine

Reynolds Re Laminaire Turbulent Régime d'écoulement

Stokes St Particules pilotées

par uide Deux phases décou-

plées Couplage entre les deux phases d'une suspension

Froude Fr Subcritique (uvial) Supercritique (tor-

rentiel) Régime d'écoulement à surface libre, hydraulique uviale et maritime Mach Ma Subsonique Supersonique Eet de la compressibilité du uide, aé-

rodynamisme Peclet Peθ Particules soumises à

agitation brownienne Particules entraî-

nées par uide Rhéologie

Table 1.4 Domaines asymptotiques.

(22)

1.4 Solutions des exercices

Exercice 1 l'équation aux dimensions du produitρ.V2est[ρ.V2] =M.L−1.T−2. On constate que ce dernier produit est homogène à une pression. Celle du produitρ.ν2est[ρ.ν2] =M.L.T−2. On constate que ce dernier produit est homogène à une force.

Exercice 2 la matrice dimensionnelle peut s'écrire sous la forme d'un tableau :

P ρ µ Ω D Q ∆H

M 1 1 1 0 0 0 0

L 2 -3 -1 0 1 3 1

T -3 0 -1 -1 0 -1 0

Le rangrde cette matrice est égal à 3. Nous choisissons autant de grandeurs de base dimensionnellement indépendantes ; par exemple ρ,Ω et D. En utilisant ces grandeurs de base, formons maintenant autant de nombres adimensionnés qu'il y a de variables physiques :









































N1ρ.ΩP3.D5 N2ρρ N3ρ.Ω.Dµ 2

N4 N5DD N6Ω.DQ3

N7∆HD

Les grandeurs adimensionnéesN2,N4 etN5 sont des constantes, égales à l'unité, et n'ont aucun intérêt. Le nombrepde grandeurs adimensionnées pertinentes est donc égal à 4, ce qui était prévisible (p≡n−r). Pour caractériser le fonctionnement de ce type de pompe, on cherchera la corrélation entre les quatre grandeurs suivantes :

P

ρ.Ω3.D5 =f Q

Ω.D3,∆H D , µ

ρ.Ω.D2

Exercice 3 les grandeurs physiques sont : matériau liquide : viscosité dynamique µ matériau solide : taille des poresd

sollicitation : gradient de pression ∆p/Lou bien gravitég réponse : vitessev

L'analyse montre qu'il y a un nombre adimensionné : µ.v/d∆p/L2. Il est donc constant. Si l'on considère qu'il est proche de l'unité, alors une première estimation de la vitesse est donnée par v ≈ ∆pL .dµ2. Application numérique :v≈ ρgdµ21000.9,81.(10−4)2

10−3 ≈10cm.s−1.

Exercice 4 la tension est donnée par dVdt +RC1 .V = 0ce qui permet de dénir le tempsτ ≡RC. Exercice 5 τ≡q

L g.

(23)

1.4. Solutions des exercices

Exercice 6 Réponse courte : les transferts de matière par diusion sont souvent très lents par rapport aux transferts convectifs. Il sut de résoudre ∂c∂t +V.∇c =−N6.c avec N6= V k

0/L0.

Réponse complète : les grandeurs physiques sont au nombre den= 6:(x1, x2, x3, x4, x5, x6) = (x, t, c, V, D, k). Ce sont respectivement l'espacex(caché dans le gradient et le laplacien), le tempst, un scalairecqui peut être la concentration (en mol.m−3, dimension [N.L−3]), la vitesseV du uide (en m.s−1, dimension [L.T−1]), le coecient de diusion D (en m2.s−1, dimension [L2.T−1]) et la constante cinétique de réaction k (en s−1, dimension [T−1]). Il y a r = 2 dimensions. On s'attend à voir apparaître p = n−r = 4 nombres adimensionnés. Pour adimensionner l'équation, il convient de dénir r = 2grandeurs de base. Arbitraire- ment, choisissons une longueur caractéristiqueL0et une vitesse caractéristiqueV0. On s'assure qu'elles sont dimensionnellement indépendantes. Pour chacune des grandeursxi, on forme une échelle caractéristiqueXi

de même dimension en utilisant ces deux grandeurs de base :





































x → X1≡L0

t → X2LV0

0

c → X3NL30 0

V → X4≡V0

D → X5≡L0.V0

k → X6VL0

0

Partant de là, on peut dénir autant de grandeurs adimensionnées (les variables sont désignées par une astérisque tandis que les constantes sont désignées par la lettreN) :





































xXx

1

tXt

2

cXc

3

VXV

4

N5XD

5

N6Xk

6

Dans l'EDP, on remplace chacune des 6 grandeursxi par le produitxi.Xi ouNi.Xi. Elle devient :

∂c.(1/L30)

∂t.(L0/V0)+V.V0.∂c.(1/L30)

∂x.L0

= (N5.L0.V0).∂2c.(1/L30)

∂(x.L0)2 −N6.(V0/L0).c.(1/L30) En multipliant l'équation parL40/V0, on obtient l'équation adimensionnée que l'on cherchait :

∂c

∂t +V.∇c=N5.∇∗2c−N6.c avec

N5 = LD

0.V0

N6 = V k

0/L0

Il y a trois phénomènes physiques : la convection (V.∇c), la diusion (D.∇2c) et la réaction (k.c). L'EDP montre que chacun de ces trois termes est homogène à∂c/∂t. Par conséquent, on peut écrire :









Convection : [c][t] = [V].[x][c]

Diusion : [c][t] = [D].[x][c]2

Réaction : [c][t] = [k].[c]

d'où









τconvLV0

0

τdi matLD20 τchim1k

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