Chimiques

oùγ12est la tension de surface entre les milieux 1 et 2 et oùRetR⁰sont les rayons de courbure principaux de l'ellipsoïde qui tangente l'interface. La pression est toujours plus élevée à l'intérieur de la concavité. L'égalité des contraintes tangentielles se traduit par :

T~1.~t=T~2.~t

oùT~i est le vecteur-contrainte déni par l'équation2.21en page30. Pour mémoire, ce vecteur contrainte est lié au tenseur des contraintes par la relation2.24qui s'énonceT~ =σ·~n_out. Par analyse dimensionnelle, on peut montrer que le vecteur contrainte est proportionnel à la viscosité dynamique. Par conséquent, pour un couple (X/uide parfait) ou bien (milieu dense/gaz), alors l'un des vecteurs contraintes est nul ou très faible devant l'autre et l'on écrireT~ =~0.

4.7.2 Thermiques

Conditions de Dirichlet. Sauf s'il y a une réaction chimique exothermique ou endothermique à l'interface (exemple : oxydation d'un métal par un gaz oxydant), il y a continuité de la température :

T1=T2

Conditions de Neumann. Sauf s'il y a une réaction chimique exothermique ou endothermique à l'inter-face (exemple : oxydation d'un métal par un gaz oxydant), il y a continuité du ux de chaleur :

~ q₁=~q₂

Si un des deux milieux est isolant thermique (conductivité thermique inniment faible), on parle de conditions adiabatiques et l'on a~q=~0.

Conditions de Newton. Lorsqu'on modélise le transfert de chaleur à l'échelle macroscopique, on ne s'intéresse pas aux détails du champ de température à proximité immédiate de l'interface mais on utilise la loi de Newton qui stipule que la somme des contributions conductive et convective (mais pas radiative) au transfert de chaleur total s'écrit :

q=h.(T_interface−T_∞)

où la température du solide au contact direct avec le uide est notéeT_interfaceet où la température du uide environnant, loin de l'interface, est notéeT_∞. Le paramètrehest appelé coecient d'échange de chaleur local [W/m²]. Il est lié au nombre sans dimension de Nusselt par la relation suivante :

Nu= h.L

λ avec Nu≡1 + q_conv

q_cond (4.51)

oùL représente la dimension caractéristique du système et λla conductivité thermique du uide. Lorsque le uide est au repos, le transfert thermique se fait uniquement par conduction (Nu= 1). Quand il y a un mouvement convectif, le transfert thermique est amélioré (Nu>1). Des corrélations permettent de trouver le nombre de Nusselt en fonction des nombres de Reynolds (caractérisant la nature de l'écoulement) et de Prandtl (caractérisant la nature du uide).

4.7.3 Chimiques

Conditions de Dirichlet. Sauf s'il y a une réaction chimique à l'interface, on écrit l'égalité des potentiels chimiques. Dans certains congurations, cette égalité implique l'égalité des concentrations (voir cours de thermodynamiques). On retiendra :

µ1=µ2

Chapitre 4. Bilans locaux

Conditions de Neumann. On écrit l'égalité des ux de matières (en mol/m²/s) sauf s'il y a une réaction chimique à l'interface qui consomme ou produit le constituant étudié.

68

4.8. Synthèse

4.8 Synthèse

Les tableaux 4.2et 4.3 donnent l'expression du bilan local pour plusieurs grandeurs extensives F. Ces expressions sont très générales. Elles s'appliquent à tous les matériaux (solide, liquide, gaz) et ne font pas d'approximations autres que l'absence de force électro-magnétique.

∂f

∂t =−div(f~v+ϕ_di) +s ou bien ρD^f_ρ

Dt =−divϕ_di+s pour f 6=ρ

Formulation eulérienne Formulation lagrangienne

Masse ^∂ρ_∂t =−div(ρ~v) ^Dρ_Dt =−ρ.div~v

QDM ^∂ρ~_∂t^v =−div(ρ~v⊗~v−σ) +ρ~g ρ^D~_Dt^v =divσ+ρ~g E. cin. ^∂e_∂t^c =−div ec.~v−σ^T.~v

+ρ~g.~v−σ^T : (∇~v) ρ^D¯_Dt^ec =div σ^T.~v

+ρ~g.~v−σ^T : (∇~v) E. pot. ^∂e_∂t^p =−div(ep.~v)−ρ.~g.~v ρ^D¯_Dt^ep =−ρ~g.~v

En. méca. ^∂e_∂t^m =−div e_m.~v−σ^T.~v

−σ^T : (∇~v) ρ^D¯_Dt^em =div σ^T.~v

−σ^T : (∇~v) E. int. ^∂u_∂t =−div(u.~v+~q) +σ^T : (∇~v) ρ^D¯_Dt^u =−div~q+σ^T : (∇~v) E. tot. ^∂e_∂t =−div e.~v+~q−σ^T.~v

ρ^D¯_Dt^e =−div ~q−σ^T.~v

Enth. ^∂h_∂t =−div(h.~v+~q) +τ^T : (∇~v) +^Dp_Dt ρ^D_Dt^¯h =−div~q+τ^T : (∇~v) +^Dp_Dt ρ¯cp.^DT_Dt =−div~q+τ^T : (∇~v)−_∂lnρ

∂lnT

p.^Dp_Dt Table 4.2 Bilans locaux, dans leur formulation eulérienne et lagrangienne. Les densités volumiques sont e_c≡ ¹₂ρv²,e_p≡ρΦ. Les grandeurs barréesf¯désignent les densités massiques :f¯≡f /ρ.

Grandeur F =f.V f ϕ_di s

Masse m ρ ~0 0

Q. de mouv. m~v ρ~v −σ ρ~g

En. cin. ¹₂mv^{2 1}₂ρv² −σ^T.~v ρ~g.~v−σ^T :∇~v

En. pot. mgz ρgz ~0 −ρ~g.~v

En. méca. ¹₂mv²+mgz ρ. ¹₂v²+gz

−σ^T.~v −σ^T :∇~v

En. int. U u ~q σ^T :∇~v

En. tot. ¹₂mv²+mgz+U ¹₂ρv²+ρgz+u ~q−σ^T.~v 0

Enthalpie H h ~q ^Dp_Dt+τ^T :∇~v

Table 4.3 Eléments pour écrire le bilan local.

On rappelle l'existence d'un formulaire en page84.

4.9 Solutions des exercices

Exercice 21 pour un uide incompressible, on sait par l'équation4.16 que div~v = 0. La dénition de la divergence (page 95) conduit à écrire ^∂v_∂x^x +^∂v_∂y^y = 0. Compte-tenu de la forme imposée de vx, on déduit que ^∂v_∂y^y =−A. Une intégration conduit àvy(x, y, t) =−A.y+f(x, t)oùf est une fonction quelconque (par exemple nulle).

Exercice 22 on s'inspire de l'exercice précédent. On trouve que ¹_r.^∂(r.v_∂r^r) = 0 de quoi on tire que r.v_r est une constante. Par conséquent, la fonctionf(r)est de la forme ^C_r avecC une constante.

Exercice 23 Pour un écoulement laminaire, on peut utiliser l'équation de Navier-Stokes4.29et la géométrie du système (~v=v_(r).~ezet p=p_(z)) pour trouver que la perte de charge estp0−pL=_π⁸.^µ.Q_R4^V.L.

Pour un écoulement turbulent, on ne peut pas utiliser l'équation de Navier-Stokes. En revanche, on peut utiliser le théorème de Bernoulli 4.41 qui s'écrit p0−pL = ¹₂ρ. v_L² −v²₀

. Puisque le prol de vitesse est invariant par translation selonz, les vitessesv₀ etv_L sont identiques, ce qui conduit àp₀−p_L= 0.

Les deux résultats sont diérents. Cela met en lumière le fait que le théorème de Bernoulli ne s'applique pas aux écoulements où la viscosité joue un rôle important.

Chapitre 5

Bilans macroscopiques

Dans de nombreux contextes liés à la mécanique des uides, on cherche à calculer des grandeurs telles que des débits, des températures, des forces, des puissances mécaniques ou thermiques. Dans ces situations, il n'est pas particulièrement utile de connaître le champ de température ou de vitesse en tout point du volume de contrôle. Au contraire, une grandeur macroscopique est souvent susante, au moins dans une première étape de dimensionnement.

Le schéma5.1montre un système macroscopique délimité par des pointillés rouges. Le uide qu'il contient reçoit une puissance mécanique externeW˙0 (par exemple par un ensemble arbre+hélice en rotation ou bien par un barreau magnétique mis en mouvement à distance) ainsi qu'une puissance thermique externeQ˙0(par exemple par contact avec un échangeur de chaleur situé au coeur du système ou bien par excitation des molécules par des micro-ondes). Le système est alimenté par plusieurs conduites. Les parois solides exercent sur le uide interne une forceF~_s/f et chauent le uide (densité de ux de chaleur par conduction~q).

Par dénition, l'approximation unidimensionnelle est valable lorsque l'écoulement est considéré comme unidimensionnel, c'est-à-dire lorsque les grandeurs p, T, ~v, ρ sont considérées comme uniformes sur la sectionS des conduites connectées au système étudié. L'indicei désigne le numéro de la conduite d'arri-vée/sortie.

Figure 5.1 Représentation schématique d'un système macroscopique quelconque.

Chapitre 5. Bilans macroscopiques

5.1 Les diérents volumes de contrôle

Le volume de contrôle Ωest la région de l'espace qui nous intéresse. Cette région est séparée de son environnement par une frontière notée∂Ω se déplaçant à la vitesse~v∂Ω. Il s'avère commode de distinguer trois types de volumes de contrôle :

volume matériel : il s'agit du volume occupé par de la matière a priori en mouvement. Dans ce cas, la vitesse de déplacement de la frontière est égale à la vitesse de déplacement (des molécules) de la matière :~v∂Ω=~v

volume imaginaire : il s'agit d'une zone de l'espace qui est dénie géométriquement, c'est-à-dire indépendamment de la matière qu'il peut contenir. On distingue deux situations :

frontière xe : la vitesse de la frontière est nulle :~v∂Ω=~0

frontière mobile : la vitesse de la frontière est une fonction arbitrairement choisie par la personne qui étudie le système :~v∂Ω=f(t).

Figure 5.2 Les trois types de volumes de contrôle macroscopiques.