3.2.3.2 Fluides complexes
De nombreux uides tels que les pâtes de dentifrice, les gels, le miel, les huiles lourdes, . . .s'écoulent comme un liquide si la contrainte de cisaillement dépasse une valeur critique et se comportent comme un solide dans le cas contraire. Dans le domaine naturel, les boues (eau + particules cohésives d'argile) sont un autre exemple de uide non newtonien, c'est-à-dire caractérisé par une relation non linéaire entreτij et dij. Il est du ressort de la rhéométrie que de caractériser le comportement rhéologique de ces uides. La gure3.3 donne l'allure des courbesτ( ˙γ), appelées rhéogrammes. L'axe des abscisses correspond à un uide parfait et l'axe des ordonnées à un solide idéal.
Figure 3.3 Rhéogramme = signature rhéologique de diérents uides non newtoniens.
3.2.3.3 Fluide parfait
Le uide parfait est un uide dont le tenseur des contraintes de cisaillement est identiquement nul. Il s'agit d'un uide qui n'existe pas dans la nature.
3.3 Classication des écoulements
3.3.1 Critères géométriques
3.3.1.1 Dimension spatiale
Bien évidemment, on peut identier la dimension spatiale : 1D : parfois utilisable pour un écoulement en conduite.
2D : plus simple à résoudre qu'en 3D, par exemple dans le cas d'invariance selon une direction de l'espace
3D : le cas général
Chapitre 3. Fluides particuliers et lois constitutives, classication des écoulements
3.3.1.2 Interne vs. externe
Un écoulement interne est complètement conné par des parois solides (conduite, pompe, compresseur, turbine, milieu poreux, . . .) ou bien écoulement en canal ouvert (euves, canaux d'irrigation, . . .).
Un écoulement externe est autour d'un objet immergé dans un uide sans limite (sous-marin en plongée, avion en vol, balle de golf, fusée,. . .).
Figure 3.4 Ecoulement externe (autour de la navette spatiale américaine).
3.3.2 Critères cinématiques
3.3.2.1 Stationnaire vs. instationnaire
Un écoulement est stationnaire si, en tout point de l'espace, ses propriétés sont constantes dans le temps.
Concrètement, toutes les dérivées partielles par rapport au temps ∂t∂ sont nulles.
A contrario, il sera qualié d'instationnaire s'il existe un ou plusieurs endroits où les propriétés de l'écou-lement varient dans le temps.
3.3.2.2 Isovolume
Un écoulement est dit isovolume ou isochore ou solénoïdal lorsque la divergence de la vitesse est nulle. Les anglos-saxons parlent de "divergence-free ow". Il est dit "non-solénoïdal" dans le cas contraire. Rappelons qu'un uide incompressible (son volume reste constant) est caractérisé par une divergence nulle de la vitesse (équation2.17en page26).
3.3.2.3 Rotationnel vs. irrotationnel
Dans un écoulement rotationnel, le vecteur tourbillon~Ωn'est pas nul partout dans le uide (dénition2.11 en page24).
A contrario, dans un écoulement irrotationnel, le rotationnel de la vitesse est nul. Si le domaine de l'écou-lement est dénué de "trous" (simpl'écou-lement connexe), alors il existe une fonction scalaireφappelée potentiel des vitesses, vériant5:
~ v≡ ∇φ
5. Une autre dénition se rencontre parfois :~v≡ −∇φ.
46
3.3. Classication des écoulements
Si, de plus, l'écoulement est à divergence nulle (div~v= 0), alors le laplacien du potentiel est nul. Il s'agit de l'équation de Laplace qui facilite la résolution de certains problèmes :
∆φ= 0 3.3.2.4 Subsonique vs. supersonique
Considérons un uide dans lequel la vitesse du son adiabatique (dénie dans la section3.1.3en page41) est vs. Un écoulement de ce uide sera qualié de subsonique (resp. supersonique) si sa vitesse V est inférieure (resp. supérieure) en tout point à la vitesse du son. On utilise souvent le nombre de Mach, dont la dénition est donnée dans les tableaux1.2et1.3 en page10:
M a≡ τson τconv avec
τson ≡ vL
s
τconv ≡ VL c'est-à-dire :
M a≡ V
vs ou bien M a=V.√
ρ.κS (3.17)
Le tableau3.1en page49donne la valeur de la vitesse du son et de la compressibilité pour un certain nombre de matériaux.
3.3.2.5 Laminaire vs. turbulent
Un écoulement est laminaire lorsque l'ensemble du uide s'écoule plus ou moins dans la même direction, de manière régulière, en couches parallèles glissant les unes sur les autres. Il n'y a pas de mouvements trans-verses à la direction de l'écoulement.
Un écoulement est turbulent lorsque le uide s'écoule de manière désorganisée, avec des tourbillons qui provoquent un mélange du uide et/ou des couches uides qui se décollent les unes des autres.
Le nombre de Reynolds permet de quantier l'importance relative des forces visqueuses (qui tendent à rendre l'écoulement laminaire) et des forces inertielles (qui tendent à rendre l'écoulement turbulent). On rappelle sa dénition, donnée dans les tableaux1.2et 1.3en page10:
Re≡ τvisc τconv avec
τvisc ≡ Lν2 τconv ≡ VL
où τvisc est le temps caractéristique du transport diusif de la quantité de mouvement et τconv celui du transport convectif de la quantité de mouvement. Compte-tenu de la dénition de la viscosité cinématique ν≡µ/ρ, on peut aussi écrire le nombre de Reynolds en faisant intervenir la viscosité dynamiqueµ:
Re≡ρ.V.L
µ (3.18)
Important : choix de la longueur caractéristique L. Il dépend du problème étudié. Il y a une part d'adaptation et donc d'arbitraire. Toutefois, bien souvent, il s'agit de la plus petite dimension physique.
Ainsi, on retiendra le diamètre d'une longue canalisation, le diamètre d'une sphère solide dans un grand volume, l'épaisseur d'un prol pour une aile d'avion, . . .
3.3.2.6 Compressible vs. incompressible
Un écoulement est incompressible lorsque le volume d'une parcelle6de uide n'évolue pas au cours de son mouvement. Cela signie que la masse volumique est uniforme dans l'espace. Dans un écoulement compres-sible, le volume d'une parcelle de uide peut changer avec sa position. Cela implique que la masse volumique
6. On appelle parcelle de uide un ensemble de molécules contigües. Sa masse est connue et constante mais son volume, sa température, sa vitesse moyenne, . . .peuvent varier au cours du temps.
Chapitre 3. Fluides particuliers et lois constitutives, classication des écoulements
n'est pas uniforme dans l'espace. Pour quantier l'importance de la compressibilité, on adoptera la dénition suivante :
L'écoulement est incompressible si et seulement si δρ
ρ 1 (3.19)
Pour un uide incompressible, par dénition, la masse volumique est mathématiquement constante et donc le rapport δρ/ρ est identiquement nul. Il s'ensuit qu'un écoulement de uide incompressible est toujours incompressible. C'est le cas des écoulements de liquides, à l'exception des situations telles que la cavitation ou le coup de bélier.
Pour un uide compressible, en utilisant les dénitions de la compressibilité adiabatiqueκS (équation 3.2 en page39) et de la vitesse du sonvs(équation3.7en page41), on peut faire apparaître l'écart de pression δpobservé dans le système en écoulement7 :
L'écoulement est incompressible si et seulement si 1 v2s.δp
ρ 1 (3.20)
Ecoulement inertiel. Dans le cas d'un écoulement rapide dominé par l'inertie (nombre de Reynolds élevé), les écarts de pressionδpsont de l'ordre de grandeur deρ.V2. Il s'ensuit que δρρ ∝M a2et donc :
Un écoulement inertiel est incompressible si et seulement siM a21 (3.21) Dans la pratique, un écoulement inertiel est déclaré incompressible lorsqueM a <0,3.
Ecoulement visqueux. Dans le cas d'un écoulement lent dominé par la viscosité (nombre de Reynolds faible), les écarts de pression sont de l'ordre de grandeur deµ.V /L. Il s'ensuit que δρρ ∝ M aRe2 et donc :
Un écoulement visqueux est incompressible si et seulement siM a2Re (3.22) Cette condition est plus restrictive que celle pour les écoulements inertiels.